Les polynômes de la forme

a;" -1- Aj x^~^ -+- A^~^ -+-... .-\- -^„i '^ -+• -4„i

détermiués coûformément à ce qui vient d'être dit, différeront moins de zéro, entre les limites x= — 1 et3;==:-i-l, que tous les polynômes de la même espèce, et qui seront, comme eux, constamment croissants ou constamment décroissants entre les limites indiquées de la variable x. En d'autres termes, l'écart entre zéro et tout polynôme satisfaisant aux mêmes conditions ne saurait être inférieur à L, limite des écarts entre zéro et la valeur des polynômes que nous examinons. Les valeurs de L que nous venons de trouver nous permettent d'énoncer le théorème suivant:

Théorème, Si un polynôme de la forme

ne cesse de croître ou de décroître depuis x = — 1 jusqu'à x = -t- l sa valew numérique ne saurait être, dans ces limites, inférieure à

A.2.3 iV

2 l j-3-5 in—iiJ ' ^* ** ^^^ ^'^ nombre pair,

^j^^, si n est impair.

Dans la dernière formule, il faut prendre dans l'expression n ± 1 le signe -+- ou le signe — , selon que le polynôme cherché croît ou décroît depuis X = — 1 jusqu'à a; = -I- 1 .

Ce théorème nous permettra d'en déduire un autre plus simple, en remplaçant les valeurs exactes de L par des valeurs approchées, mais inférieures aux premières. En effet, ces valeurs approchées s'obtiennent aisément à l'aide de la formule de Wallis

2m am->-2 2m-i-2 ' 2m-i-l ' 2m-i-l ' '2in-t-3 '

Notamment, si l'on fait

et

l'expressioL de y devient

et

T T'T'y'T*'' ■ 2m — 1 " 2m -I- 1 ' d'où l'on tire

/1.2.3 wy 2ff»c

et

Vl.S.B....(2m — 1)/ 22in-+-l y!

mais comme les valeurs trouvées ci-dessus pour X et J" peuvent être raisoa sous les formes

il est évident que

Donc en supprimaut, dans les équations précédentes, les termes de X et Z, nous obtenons les inégalités

il.S.D..

...m\2 2mTr ^ > 25SÎ=R.

Ainsi la valeur de

(Itfc

sera comprise entre deux produits qu'on obtient en multipliant

par 2m et 2m -h 1; donc cette valeur sera égale à ^5^^, multipliée par «ne certaine valeur moyenne entre 2m et 'T.m -+- 1; mais, comme cette moyenne peut être représentée par 2m -t- 0, où l'on a (9 > 0 et < 1 , nous pouvons remplacer les dernières inégalités par l'équation

/l-a.3 toY |2m-4-e)7r

En faisant dans cette formule

pour 11 impair, et

pour n pair, nous obtenons

Or, comme la valeur de ô n'est limitée que par zéro et 1, et que la différence 1 — (9 se trouve dans le même cas, cette différence pourra être remplacée dans la formule ci-dessus par (9, ce qui nous permettra de simplifier les formules où figure cette différence et d'écrire

Comparant les égalités que nous venons d'obtenir avec les expressions de L du n*' 6, nous voyons que ces dernières peuvent être remplacées par

En examinant ces valeurs de L, nous remarquons qu'on obtient la limite inférieure de £ par la formule

en y faisant (9 = 1 et en prenant ± 1 avec le signe -t-, de façon que cette valeur limite devient

On voit ainsi que X surpassera toujours

et nous sommes amenés au théorème que voici:

Théoi-ème.

La valeur numérique du polynôme

depuis x^ — 1 jusqu'à a;= -h 1 doit surpasser -^ k, si ce polynôme t cesse de crùître ou de décroître entre ces limites de la variable x. Si nous faisons dans nos formules

et si nous remarquons quei, dans ce cas, le polynôme

^" -I- A^ a;"""' -f- . . . . -t- -d„i x-i- A^, étant multiplié par

se réduit à un polynôme de la forme

s" -t- A 2"""' -»- Â' s""^* -t- . . . . et que les limites de la nouvelle variable s deviennent

3 = a pour x= — l et ^ = & pour a^ = -+- 1, nous déduisons du théorème précédent le nouveau théorème que voici: Théorème.

La valeur numérique du polynôme

depuis z = a jusqu'à s = b doit surpasser (n — 1) ( . °j i:, si cepolynôme ne cesse de croître ou de décroître entre ces limites.

Or, à l'aide de ce dernier théorème il nous sera aisé de conclure:

Théorème.

Si la valeur numérique de f {b) — f (a), différence de la valeur de

f{s) = ^(" H- Az ""^ -I- A's"'~'^-\- ....

pour s = a et 2 = b, ne surpasse pas la limite

2(«-l)(^)\ la dérivée f {s) change de signe entre 2=^ a et s ^^i.

En effet, si f {s) ne changeait pas de signe entre ^ = « et 3 = &, le polynôme

ne cesserait d'être, entre ces limites, ou constamment croissant, ou constamment décroissant, de façon que toutes ses valeurs, depuis s^a jusqu'à s^h, seraient comprises entre ses deux valeurs extrêmes, qui correspondent ans valeurs limites de s que nous venons d'indiquer, et qui se réduisent à

On voit ainsi que, depuis ^ = a jusqu'à s^b, la valeur numérique c $ (x) ne surpasserait pas celle de

c'est-à-dire ne saurait être supérieure, d'après les conditions du théorème énoncé ci -dessus, à

ce qui est impossible en vertu du théorème précédent.

F{z) = {m -i- 1) (/'h- Bi 5^"*"' -*- B^ j*"-' ■^...:)ds,

La fonction F{s) se réduit, dans ce cas, au polynôme

z" -+• Â s"'^^ -^ À' s"'~'^ -+~ . . . ., où

et la dérivée première de F{z) est

On a donc

Nous en concluous le théorème que voici:

Tliéorème.

L'éqiiation

doit nécessairement avoir au moins une racine entre z^ a et z = h, si la valeur numérique de Vintégrah

ne dépasse pas la valeur de

A l'aide du même théorème, il sera aisé d'établir uu théorème nouveau concernant la série de fonctions

/•«, rw, r «,..../■'"-■'«, rw,

qui servent à déterminer les racines d'après la méthode de Fourier.

la valeur t, si l'on prend dans l'expression tzizi'Ù ^-{j^-h-

le radical avec un signe contraire à celui de la fraction jrêr, le nombre des variations de signes dans la série

f{i), rw, rw,...., /'"^"w, f'"'»,

où

ne saurait rester le même, si l'on y met consécutivement pour s la valeur de t et celle de t ± ^V^Ï^ÇÇ^-

lis se présentent plusieurs cas différents dans la démonstration de ce théorème, suivant ie signe des quantités f{t) et f [t). Nous nous bornerons à considérer le cas où ces deux quantités auront ie signe -i- ; mais le raisonnement que nous suivrons daus cette occasion s'appliquera facilement à tous les autres cas.

En supposant les deux valeurs f{t) .et f' {t) positives, nous devrons prendre dans l'expression

t±éi

le radical avec le signe — , et nous aurons à démontrer que, daus le cas où

m>o, f'it)>o,

le uombre de variations de signes de la série

n'est pas le même pour s^t et pour z~t — 4 i/-^~iw-

Pour le démontrer, nous observerons qu'il est évident que toutes les fois qu'entre les limites indiquées ci-dessus l'une des deux fonctions f(^) ou f (2), ou toutes les deux à la fois, s'annulent, le nombre des variations de signes daus la série

doit varier; quant à l'hypothèse qu'aucune de ces fonctions ne devient zéro entre les limites que nous considérons, il est aisé de démontrer, à l'aide du théorème précédent, qu'elle ne peut avoir lieu. En effet, si

m>0, f'it)>0

et si en même temps les équations

fW = o, /'(«) = o,

n'avaient pas de racines entre 3=:t, s^t — 4 V jj^^Tn^î ? ^^^ fonctions devraient conserver, entre ces limites, le signe -+-: donc on aurait

et la valeur numérique de

devrait être inférieure à la valeur numérique de f{t), ce qui, en vertu d'un théorème précédent, est impossible; car la différence

pour

. d'après ce théorème, doit surpasser

2(»-i).(^)=2(«-i).[f=aEZ]"^rto,

En appliquant ce dernier théorème au cas où l'équation

n'a pas de racines imaginaires, et observant que dans ce cas tout changement du nombre des variations de signes de la série

m, rw, f"(^) /■'"-■' w, f"H')

indique la présence d'une racine de l'équation

entre les valeurs de s, nous sommes conduit au théorème que voici:

de Véguation

entre les limites t t

Théorème.

i valeur t, on trouvera toujours au moins ime racine

l)=ir»'

en prenant

e dernier radi-

cal le signe contraire à celui de posée w'a pas de racines imaginaires,

, si toutefois Véguation pro~

ia