SUR
EQUffiiSTANTES.
(ïïtADUXX PAS G. A. POSSB.)
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HpHJioateBie bt. XXV tomj' 3aniicoRi. IIstnepaTopCKoS AKaReuia HayEt, JNJ 5,
Sur l'interpolation des valeurs équidistantes.
§ 1. Si l'on cherche par la méthoiie des moindres carrés l'expression d'une certaine fonctioB f{x) sous la forme d'un polynôme, les valeurs de la fonction f{x) dont on se sert pour déterminer sou expression étant
fil), fi2),.... f(m~l),
le polynôme cherché, comme on le sait, est donné *) par la formule
(1) -^ '?oi'^)-*-^ <?A^)-f '
où
les dénominateurs des fractions convergentes de la somme
obtenus par son développement en fraction continue
 Les fonctions
îo(^), fiCa'X--
*) Voir le Mémoire aous le titre: «Sur les fractiona continueso. T. I, p. 203—
comme j'ai déjà indiqué, jouent ]e même rôle dans le calcul inverse des différences que les fonctions de Legendre dans le calcul intégral et, par analogie à ces dernières, peuvent être représentées par la formule *)
cp^{a:) = A''(a; — 1) (x — 2). . . .(a; — «) {m-H w~ 1 — x). . . .(m — x),
en faisant abstraction des facteurs constants qui se suppriment évidemment dans la formule (1).
Cette expression des fonctions
simplifie notablement, comme on va, le voir, le calcul de toutes les sommes qui figurent dans la formule (1).
§ 2. En abordant la déduction de l'expression mentionnée des fonctions
To(*). 9jH----.
convenons de désigner, pour abréger, par «P (x) le produit (x — 1) (x — 2). . . .(a! — n) {m-i-n — x — 1) (m-i-n — x — 2). . . .{m — x). Ce produit s'aunulant pour
x = m-^-n — 1, m-i-n — 2,. . . . m, toutes les quantités
pour x^l et a: = )tt seront égales à zéro, et la même cbose aura lieu à l'égard des différences
qui se déterminent d'après les valeurs
Cela posé, ii n'est pas difficile de montrer que la somme
*) Sur une nouvelle série. T. I, p. 381-
quelle que soit la fonction F(x), se réduira à la somme
Pour nous en conyaincre, remarquous que, transfonnant la somme J;F(x)A"*(a;) n fois de suite à l'aide de la formule connue
nous trouverons qu'elle se réduit à l'expression suivante:
J'{3:)A"~'*(3:) — AJ^(a;)A"~*<î>(3;-i-l)-HA^F(3;)A''~''l'(iC-H2)-H
-f-(— l)"~'*{3;^-n — l)A''^'F(a;)-H(— lf2*(^-^**)'^"■^(^)■ 0^, en vertu de ce qu'on a vu à l'égard de la fonction
<î> {3;-Hn— 1) et des différences
A"~'<i>(fl;), A''~'*(a:-+-1), ^^{x-*-n — 2),
tous les termes de la formule précédente hors du signe ^ se réduisent à zéro pour a; = 1 et pour x = m; donc on aura dans ces limites
En faisant
F(x) = rp„ (X), Fix) = ç, (a:), . . . . , F{x) = ç„, {x) et remarquant que pour ces valeurs de F{x) ou a
à^F(x) = Çi, on trouvera
Or, ces égalités, en vertu du § VII du Mémoire cité sur les fractions continues, montrent que dans le développement de la fonction \"^(x) en série
^ço(a;)-i-^Çj(ï)-4-. . . .-i-G^cp„,(3;)-HiZ'(p„(ic)
les coefficients
se réduisent à zéro, d'où il suit que A"* (a;) ue diffère de <f^{x) que par un facteur constant. Ce facteur, comme il a été dit, se supprime dans la formule (1). Ku faisant abstraction de ce facteur nous prendrons
ce qui réduit l'égalité (2) à la suivante
§ 3. Passant à l'évaluation des sommes contenues dans la formule (1), nous introduirons, pour abréger l'écriture, le signe F (^) pour désigner le produit 1. 2. 3. . . i[>-~-ï).
A l'aide de cette notation les produits
seront représentés par
T(x~ny Tlm-x) '
ce qui donne pour les expressions des fonctions *(a;), fo^ix) ^{x) =
et par suite la transformation précédente de la somme se réduit à la suivante
En faisant ici
nous trouverons pour l'évaluation des sommes
la formule suivante
En faisant dans la môme formule nous aurous
Or d'après (3)
d'ailleurs
j,i<îL. = (l-l) (rt-2)..., (^-n),
donc, dans le produit
le terme du plus haut degré en x est égal à
il en résulte qno la différence d'ordre 2n de cette fonction se réduit à la quantité constante
ce qu'on peut représenter à l'aide du signe F comme il suit:
On en déduit que
et, par conséquent, la trausformation trouvée ci-dessus de nous donue
2 9 / s 1-1 ;n ^^ "Vr(3:-i-n) T(m — a:]
^ T'.W = r (2»-H 1) 2-Tm^ r(J-.-;.)-
Or, r(m — n — x) étant infime pour
x=:m — n, m — n-i-1, . . . m — 1, tous les éléments de la somme
à partir dea: = w — n se réduisent à zéro, et par conséquent on peut prendre pour limite supérieure de cette somme m — n au lieu de m; en vertu de cela l'égalité précédente se réduit à la suivante
§ 4. Pour déterminer la valeur de la somme, qui figure dans la dernière égalité et dans d'autres pareilles à celle-ci, que nous rencontrerons plus loin, nous allons trouver maintenant l'expression de toutes les sommes de la forme
ce qui est facile à faire à l'aide du binôme de Newton,
Remarquons pour cela que les développements des puissances
(1— q-', (1 — T', (1— «r"""' en séries parlaformule de Newton àl'aide dessignes ^ et F peuvent être
écrits de la manière suivante:
(1 *) -Zrwnl-Hi)'' t' >) — ^r(,-i-,)r(.H-i)
les sommations y étant étendues sur toutes les valeurs entières de 1, [a, v de 0 à oo. En comparant lo produit des deux premières sommes à la dernière nous aurons l'identité
qui peut être représentée d'une autre manière sous la forme
■y'V r(g-f-À) T(q^is.) A-,-ii^ r(j.-t-g-»-W ,v ^-iir(i))r(XH-i)'r(3)r(^-^i]'' ,<^ r (p -■- g) r (v -+- li " ■
En déterminant ici les termes ayant le facteur ^"~^, nous apercevons que dans le premier membre de cette identité le coefficient de t^'~^ est égal à la somme des valeurs de l'expression
r(y-i-J-) Tlfi-^jx)
r(î.)rix+i) r(3)r(t.-.-i)'
correspondant à, toutes les valeurs entières et positives de X et y., dont la somme X -+- n est égale à iV — 2, ou, ce qui revient au même, à la somme de toutes les valeurs de cette expression, dans lesquelles
fi = A*2— X,
X prenant successivement les valeurs 0, 1, 2, N—2. On voit d'après
cela que le premier membre de l'identité considérée renferme le terme suivant avec la puissance t''"^:
(p)r[X-Kl) TiqjTiN^Ï-l)"
D'ailleurs, le terme avec la même puissance de tau second membre de cette identité étant
r{p-i-q)r[N~i)'' ' nous concluons qu'elle entraîne l'égalité suivante:
" T(p-hI) Tiq-*^N~2~l)___T{p-,
^T(p)r{l-^1} r{q)riN-i-l] T{p^g)T(N-ï)
En la multipliant par F {p).r (q) et posant nous la réduirons à la forme :
Eu posant ici
nous aurons, pour déterminer îa somme, renfermée dans la formule (4),
V-riJ-i-..) rim-j) r'(«-4-ii r(i»-i-n) ^ r(») r(m-»-^) r(2«*2) r(,ii-»-ii'
d'où il résulte
^?„W — r(2»H-2) r(»-,-i) Remplaçant encore F (2w -*~ 2) par (2w -h 1) F (2n -i- 1) on aura
^?»W — (2„-Hl)r(m-»-l)
§ 5. Pour déterminer les fonctions
?(.(»:). îJ»'). ?iW,
à l'aide de la formule (3), nous allons déduire préalablement les expressions des différences des fonctions
Calculant les différences du premier ordre, on aura 1 rw r(,-.-i) r(«) .
ZAr(g— ;)-icl r(s— p — a; — 1) r{g— y — a;)'
Remplaçant
r{a;-i-l), r(i— y), riq—ii — x—l), r(q — x) par les quantités équiTalentes
nous aurons, après quelques réductions,
1 r(j-») r(;-j-ii flr(,-ji-^)— ^r(î-j,-»i'
Eh appliquant ces formules à la déterminatiou des différences du 2-me, 3-me etc. ordres, nous trouvons en général
A'rPJiT,--? (y- ')■ ■ ■ -(P-l-^ 1) r (/-it^.1-
Kemplaçant le produit
