En remplaçant dans cette équation B^ par

iïo, B^ — B^, B^—2B^, , iîg — (m— l)i?3,

que nous supposons toutes ne pas être inférieures à B^, nous trouvons une série d'équations qui donnent

ain (iîo, [Ba,Bi]] sin {Ba — mB^, [i^Q — mifj.flg])

ce qu'on peut mettre sous la forme

,n^ 3m(Ifa,[-R».-Ra.ll__.Ho/i

(Ba,[Rn,MA) S^f-i Sn-mB^ i B^ aiu (E^ , [Eg — mBg, BS

(Ea,[Sç,B3]) B3V -Bo UBf:,-mE^)am{S^j-mB3,[Bi,-mB3,J

en remplaçant le nombre m par la différence if(,

égale à ce nombre.

C'est àl'aide de cette formule que nous parvenons à tirer de l'équation (1) la valeur du rapport

sin (flj, [iS, , BJj

*) FoîV la dêmonatration du parallélogramme des forces de M. Darboux, citée plus haut.

4. A cet effet, nous siipiiosons que, pour une force quelconque r, oa ait trouvé une quantité L telle que la valeur numérique de

ue surpasse pas L pour toutes les valeurs de r, àepui8r,=f jusqu'à }\-.=2r, l'angle (r, r^) étant égal à GO degrés. Dans cette supposition, en désignant par Û, ô'""^ des quantités comprises entre zéro etl, nous aurons, pourtoutes les valeurs de j-j = r -»- 6r, cette formule

Comme il est certain que la résultante ne change pas de direction quand on remplace les forces par leurs sous-multiples, on aura de même

^- ' (B3 -t- eiig) sin (fig -t- 0^3, [R,, lis -*- 0-Ba]) — <v xj,

pour toutes les valeurs de

n étant un nombre entier.

5. IMais, en prenant dans l'équation (2) pour m la partie entière du quotient

(B^ — B^-.n^, on aura

i?o— mÏÏ3 = i?.3-4-(9iîg,

et, pour cette valeur de m, l'équation (2) devient

3in(.g3,[Jf(i,E3]) Bol, Ba-i-e^a ( M^ùa (R;. [-fiaifla + eg,]) .U

siu («0, [J^o, -Ej]) ~~ ifsV Bo \ [Rs-^ B-Ba) sin (B^-+- 6^3 , [E3, B^h- flif^j} l^

qui, d'après (3), dans le cas de

■^3 = "^' nous donne

siMa,,[Bo,.R,]) Ko r, ^ J?,H-eg, („) ^n sin(ifo, [Bo,B,]) — s, L^ ^ s, ^ -^J-

En posant, dans cette formule, et en désignant par

les valeurs correspondantes de 0 et i*'*', nous obtenons

!!5j^îiBii^l ^1 fn-^siUMî/î (0)7-1

sin (E, , [El , Bal) fig L — ^\ ' J'

am(I?,.[.a^,J{,])__fl^ r ,^3 + M^/5Wr1 sm(Jîî,[ifî,.Ra])~-R3 L^" A " J'

6. En portant ces valeurs dans l'équation (1), nous trouvons qu'elle donnera

Q (ïï^, [-RnJfa]) ie, , ^(i-4-fl|).S3

d'où, par la substitution de la valeur (4) de Tî^, nous tirons cette formule: sin (ii, . [■?;, , j?;]) n^ ^-^ nU^ °'

Comme, dans cette formule, ie nombre « peut être pris aussi grand qu'on le voudra, et que les quantités

les seules qui dépendent du nombre n et des forces Jl^, Jt^, restent comprises entre zéro et 1 , on trouve, d'après cette formule, eu faisant croître n à l'infini,

LES PLUS SIMPLES SYSTEMES DE TIGES ARTICOLèES.

ITHADUÏ^C PAK X.. TAXISSE EX V. DWEX,SHAUV]eRS-ï)EKY.)

(Revue Universelle des Mines. T. XV, 2-e série, p. 507, 28-e année, 1884.)

■moocTnî^uitiuX'^ coZ'ACHcmjicû^.

(MaTOmaTH^ecBiâ CdopHHKi, HaHaBaeuHÔ MocKOBCKaMi. MaTewaTH^ecitHu^b oômecTBOut. T. IX, cip. 840—85], 187&)

Les plus simples systèmes de tiges articulées.

§ 1. Dans un article paru au toine XIV des Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St-Pétersbourg sous le titre «Sur un mécanisme» *), nous avons montré comment on peut, au moyeu de trois barres ou tiges (deux manivelles et une bielle) composer un mécanisme tel que le point milieu de la bielle décrive une courbe qui, entre des limites fort éloignées, s'écarte peu d'une ligne droite; s'en écarte moins que la courbe obtenue par des systèmes aussi simples, tels que le parallélogramme simple de Watt et celui d'Evans.

Nous allons montrer maintenant qu'il existe d'autres systèmes articulés qui ne sont non plus composés que de trois pièces, et qui donnent le même degré d'approximation à la ligue droite. On les obtient par la substitution de certaines tiges à d'autres du premier mécanisme, faite en vue de ne modifier en rien la trajectoire du point décrivant. En conséquence toutes les formules démontrées dans l'article ci-dessus cité restent applicables.

Nous traiterons par la même méthode le mécanisme. que nous avons fait connaître dans une Note lue au Congrès de l'Association Française pour l'avancement des sciences (Paris, 1878).

§ 2. Le mécanisme qui fait l'objet de l'article cité plus baut est représenté sur la figure 1 . Il se compose de deux manivelles égales C4,C|^[, tournant autour des centres fixes G, Cl, et de la bielle AA^ articulée aux extrémités des manivelles. C'est le point M, milieu de cette bielle, qui décrit une courbe fort approchée de la ligne droite dès que les conditions suivantes sont remplies:

1) La distance des centres fixes G, (7, doit être rigoureusement égale au tiers de la somme des longuews AG -+- A^G^ -+~ AA^ .

*) T. II, pag. 51— &7.

2) La longueur de la bielle AA^ doit dépasser le quart de celle des manivelles, mais ne pas différer notablement de cette limite.

A mesure que AA^ ^ tend vers zéro, la longueur de la portion

sensiblement rectiligne (ïe la trajectoire du point M diminue, mais en même temps le degré d'approximation à la ligne droite croît plus rapidement que ne diminue sa longueur. C'est ce que nous avons démontré dans l'article précité dont nous rapportons les formules suivantes:

^-Aoy^-

dans lesquelles l représente la longueur de la course du point décrivant M, et S l'écart maximum.

§ 3. Eu vue de transformer ce mécanisme (lig. 2), menons les droites

BM=CA et BG—MA^ — MA = ^. Quelle que soit la position des

pièces, la droite qui joint le point Â^ an

point f? rencontrera toujours la droite MB

en son point milieu N,