LES EXPRESSIONS APPROCHÉES LINÉAIRES PAR RAPPORT À DKOX POLYNOMES
Bulletin des sciences mathématiques et astronomiçiues. Deuxièrne séi'ie. Tome T, AnnoB 1877, p. 289—819.
0 npuâjiuohcHHMûc^ éupaohcwijiCùTi^
(npiMoateniô KtXXXTOMy BanncoKT, frMnopaToporcoiJ AïiiineMia Hays'A, Mi 4, 1877 r cTp. 1—24.)
Sur les expressions approeliées linéaires par rapport à deux polynômes.
§1. Dans une Lettre à M. Braschmaiin*), nous avons montré de
quelle manière, en développant une fonction u ea une fraction continue
et déterminant ses fractions convergentes
on peut trouver les valeurs des polynômes X, Y, pour lesquels l'expression
uX— Y
diffère le moins possible d'une fonction donnée v.
Ainsi que nous l'avous indiqué dans la Lettre que nous venons de citer, et démontré dans le Mémoire intitulé: Sur le dévdoppemm,t des fonctions en série au moyen des fractions continues **), les polynômes X, Y, qui satisfont à cette condition, sont déterminés par les séries
I Y^—JUv-l-i^, P^ H- W, P, -H (0, P, H- . . .,
OÙ nous désignons par E la partie entière d'une fonction et par
*) T. I, pag, 611—614.
**) T. I, pag. 617-636.
des fonctions entières, que l'on obtient au moyen do la valeur de la fonction
V et des déuomiuateui's
fournis par le développement ci-dessus do la fODctioti u eu fraction continue, au moyeu de la formule générale
que l'on peut écrire, d'une manière plus alirégée, (2) to, = (— l)*-'£'{î,i''(/;g.)),
eu représentant par la notation
l'ensemLle de tous les termes du développement de la fonction vQ^ qui renferment des puissances négatives de la vaiiable.
En arrêtant les séries ci-dessus aux termes correspondants quelconques
on trouve le système des polynômes X, Y, tel que X est d'un degré inférieur à Ç„(^.„ et que la différence entre l'expression uX — T et la fonction
V est du degré le moins élevé compatible avec la supposition que X est uu polynôme de degré moindre que Q„,^j- Alors, le degré du polynôme X est déterminé par le degré du terme
le dernier des termes conservés dans le développement de X, et le degré de la différence
uX—Y—v
est déterminé par le degré du premier terme de la série
qui ne se réduit pas à zéro*).
En supposant que le premier de ces termes soit
*) Voir Ic3 articles cités plus haut, et notre Mémoire intitulé: Des «. is composées des valeurs d'une fonction entière et de ses dérivées. T. Il, png. 3—^0,
^ 247 — et désignant par p le degré de la fonction
on conclura de ce qui vient d'être dit que, en général, le degré d'approximation do l'expression uX — Fpar rapport à v est déterminé par le degré du produit
et conséqueinmeut par le degré de la fractiou
vu que, d'après les propriétés des fractions convergentes, le degré de la dififérence
est égal au degré de la fraction
On voit d'après cela que l'expression
uX~ Y,
X, Y étant des fonctions entières, et X étant d'un degi'é qui ne surpasse pas celui de x°Q^, peut re^îrésenter la fonction v avec une exactitude poussée jusqu'aux termes du degré de
dans le cas seulement où les équations suivantes sont satisfaites :
où nous désignons, suivant la notation d'Abel, par S le degré d'une fonction. Lorsque ces conditions sont remplies, les séries (1), arrêtées aux termes w,„^,„, (^m-^m' donnent, comme on l'a vu, une valeur de X d'un degré au plus égal à celui de x'^Q^, et l'expression iiX — 7 diiïère de v par des termes d'un degré au plus égal à celui de
D'après cela^ les conditions nécessaires et suffisantes pour que la formule îiX~-Y
puisse représenter la fonction v avec une exactitude poussée jusqu'à x ", le degré de X ne surpassant pas M, s'écriront ainsi
( w„^, — 0, w,„^, ^ 0, . . . , co,„, = 0, (3) i
eu désignant par
les derniers dénominateurs des fractions convergentes
dont les degrés ue dépassent pas les limites M et N — 1, et par u, p les degrés des fractions
§ 2. Nous allons maintenant démontrer que ces conditions peuvent être remplacées par celles-ci, qui sont pins simples:
(4) 'F(oQ,^,)i^'^, 8*W,)ë8*,
dans lesquelles
sont les deux derniers termes de la série
qui, étant multipliés entre eux, donnent un produit de degré moindre que Pour cela, trouvons d'abord une limite supérieure des degrés
dans le cas où les conditions (3) sont satisfaites. Après nous être convaincus, de cette manière, de la nécessité des couditious (4), nous démontrerons que celles-ci, de leur côté, supposent que chacune des conditions (3) soit remplie. D'après la liaison qui existe entre les fractions convergentes
de Tospressiou
Où a
ce qui donne, en multipliant par v,
En passant de l'égalité des fonctions à l'égalité de leuis parties fractionnaires, on trouve, d'après notre notation,
Eu décomposant mainfenaut les foiictious
eu une partie entière et une partie fractiouuaire, il vient »(),. = -B(»(),)-h-jP'(»0,),
ce qni donne, par l'élimination de Ç^,
Portant cette valeur de
F{vQ,q?}
dans l'égalité (5), et désignant, pour abréger, par U^ la fonction entière on obtient l'égalité
Si nous remarquons que les fonctions
ne contiennent que des termes avec des puissances négatives de !a variable, on en conclut
E(s,-FW,)) = ;7,,
ce qui, d'après la formule (2),
,,. = (-- lf-^E{q,FivQ,)) nous donne
et, eu couséquence, l'exprcssiou trouvée plus haut de la fouction ifi^vQ^ est fournie par l'égalitÉ
qui nous servira à obtenir la limite supérieure dos degrés des fonctions
daus le cas oii l'on a
Comme, dans ce cas, pour toutes les valeurs de ^, depuis i = m-\-l jusqu'à i=^m-^n — 1 inclusivement, la fonction w^ se réduit à zéro, il s'eusuit que, pour toutes ces valeurs, l'égalité que uous venons de trouver se réduira à la suivante:
(6) ïi F{vQ,) = F{vQi^^) ~ F{vQ,__;).
En remai'quaut que la fonction g^ est d'un degré uoii inférieur au premier, on conclura de cette égalité que dans la suite
F{vQJ, 7'X^'(?,„.),.... F{vQ^^^)
parmi trois termes consécutifs
FivQi J, F{vQ.), F{vQi,), la fonction du milieu
F{vQ.)
devra dans tous les cas être d'uu degré moindre que celui d'une des fonctions extrêmes
Ou voit par là que, dans la suite
aucuu des termes intermédiaires ne peut présenter im maximum, et par suite il ne peut y avoir qu'un minimum. En supposant que
Boit le premier terme de la suite
^F(vQJ, ^F(v(l,^^^), .... cF{v(l„^,)
qui donne une valeur minimum, uous remarquerons que, pour toutes les valeurs de i, depuis i = m -i- 1 jusqu'à i = 'A — 1 , ta fonction
sera d'uu degré plus élevé que
et par suite, d'après l'égalité (6), son degré déterminera le degré de r expression
Ou tire de là, pour les i grandeurs considérées, l'égalité
Eu y faisant
on obtiendra une suite d'équations qui serviront à passer successîvemeut de la fonction
iXvQJ aux fonctions
Ces équations uous donnent
m I i 9ut-i-i3in-t-ï
8Z.><3. ) = S î^sJ
En passant aux termes de la suite (7) il'XvQJ, 5i''(»«„+,) > ol'XvQ^), .... iF{t>Q,^.^,),
qui suivent le premier terme raentioiiDÔ
uous remarquerons qii'aucim de ces termes ne peut être moindre que le terme eu question, et par suite uous aurons ou
ou
selon que le terme eu question devra, ou non, être suivi d'un terme qui lui soit égal.
Pour ce qui est du troisième terme
il ne peut avoir la même valeur que le terme eu question; autrement il se trouverait, dans la suite
trois termes du même degré, ce qui a été démontré impossible par ce qui précède. Ou voit par là que, après le terme
de la suite (7), les termes doivent aller nécessairement en croissant, et par conséquent, pour toutes les valews de i, depuis i=>.H- 1 jusqu'à i= m-i-n—l, on aura
Il s'ensuit de là, en vertu de (6), que, pour ces valeurs de i, le degré du terme
sera déterminé par le degré du terme F{vQi^^)j ce qui suppose l'égalité
Eu y faisant tour à tour
on obtient une suite d'équations, qui serviront à passer successivement de la fonction
aux foDctîons
De ces équations on tire
5in -1-71^1 Sin-t-n-—
§ 3. De cette niauière on déterminera, au moyen des deux fonctions exiréraes de la suite
HvQJ, F(vQ„^,) F(vQ„^,^^), F(v(l^,)
les degrés de toutes les autres, à Texclusion d'une seule fonction
F{vQ,).
Pour déterminer le degré de cette fonction, remarquons que la formule (6) donne, pour i^\,
q, F(vQ,) = F(vQ,^,) — F(*e,,).
Comme, en vertu du paragraphe précédent, les termes sont des mêmes degrés que les expressions
l'une au moins de ces expressions sera d'un degré non inférieur à celui de
et par suite nous aurons
S-f(»ft):
iFItiQ.) < 8 ~
Comme, en vertu du paragraphe précédent, pour
i:=m-i-l, OT -(- 2, . . . . X — 1 , i = 1-1-1, X^=2,.... ni-t-ii — 1 on a ou l'égalité
ou l'égalité
tF(vQ,) = ^--
FJ^Qm^n)
llm-t-n — ilm-i-n—i---- 1i
et qu'alors il est évident qu'une au moins des couditions
Um-t-i 2m-i-a- ■ - ■ Si
q„i-i-n—i îm-i-fl— s- ■■■Il
que nous avons trouvées ci-dessus pour
est satisfaite, nous en conclurons que, pour toutes les valeurs de i depuis it=: m-i- 1 jusqu'à i^m-t-n—l, on aura l'une ou l'autre des conditions
ùF(vQ.)<^ -^^'"^"'' ,
SF(^'Ç,-)^S--
F(vQm-^n)
Pour ce qui est des limites supérieures des degrés des fonctions
elles peuvent être déduites des dernières couditions (3),
Pour cela, nous remarquerons que, d'après la formule (2), qui détermine les fonctioua
on a
»',. = (~ir^'-E{4,„-F("()J).
d'où il s'eDsiiit qoe les conditions précédemmeut démontrées relativement aux degrés des fonctions
supposent que les fonctions
ne sont pas de degrés supérieurs à et que, par suite,
sn^cjss
En conséquence, les limites trouvées plus haut du degré de F(vQ^) se réduisent à celles-ci,
Ces formules sont susceptibles d'une simplification notable.
D'après notre notation, la fraction convergente du développement
correspondante au quotient incomplet q^^, est
St±i et par suite le produit des quotients incomplets S, 9, g,---- il
sera du même degré que le dénominateur Q/i^.y En vertu de cela, on trouve que les produits
î» S„^-,---- Si.
3m«>'?m^— ,■••• il
aeront t]e mêmes degrés que les fractions «tt, Sm
Par conséquent, les égalités quo nous ayons trouvées plus haut dounont
8-P{»e,)5Sg=, ou Si^'cCliS^f^- Et comme, d'après cotto notation (§ 1),
sont de mêmes degrés que
conduiront à la suivante:
On voit par là que la limite supérieure du degré do chacune des fonctions
sera déterminée par la plus grande des deux quantités
pour la valeur correspondante de-ï.
En supposant que dans ia suite
les deux dernières fonctions qui, étant multipliées l'une par l'autre, donnent un produit d'un degré inférieur à Jf-i- ÎV soient
nous remarquerons qu'elles devront satisfaire aux inégalités
ces inégalités supposeut que l'on a %ii = l — 1 , et qiie
x« — ft^.1
si * = ?; par couséquent, d'après ce que nous avoDS trouvé relativement à la limite supérieure du degré
nous aurons, pour « = Z — 1 et ^ = Z,
Nous allons maintenant démontrer que ces inégalités, déduites, comme on l'a vu, des conditions (3), exigent à leur tour nécessairement que chacune des conditions (3) soit satisfaite.
§ 4. D'après notre système de notations,
5=1 ^ 5±ii
représentent les fractions couvergentes du développement
*' ~ ^^ "*~ Si -t- . 1
Si-n -H .
qui correspondent aux quotients incomplets Eu représentant par
la fraction ordinaire à laquelle se réduit la fraction continue a, -+- ■ 1- . ,
ofl trouve, en vertu des propriétés des fractious continues,
Multipliant cette égalité par v, ou a ce qui suppose l'égalité
Eu séparant les parties entières et fractionnaires des fonctions
il vient
vQ, = E(vQi) H- F{vQ,), vQ^S = ÎJivQ.S) -+- F{vQ,S),
vQj^ = £(«(?,__.) -4- F{vQi;), vQi^ T= E{vQ^^ T) -i- FivQ^^^ T);
par l'élimination de Ç, , Q^^ , en tant qu'ils sont en dehors des signes B, F, ou en tire
FivQ^S) = SF(vQi)'^8EivQi)--E{vQ^),
FivQ,, T) ^ TF{vQ,^;) h- TE{vQf;) — E{vQ^^ T). En portant ces valeurs des fonctions
FivQ^S), F{vQ,^ T) dans l'expression trouvée plus haut de la fonction
et posant, pour abréger,
SE{vQi) — E{vQ^) -H TE{vQi__^) — E{vQ^^ T) = U, il vient (10) nvQi^^,) = SF{vQ,) -H XF{vQ,^) -t- U.
Couime S et T sont les termes de la fraction simple
à laquelle se réduit la fraction continue
ces quantités seront de mêmes degrés que les produits
9l^l ^1^2 ?(-*-tJ,— Il
et par suite de mêmes degrés que les fractions
formées avec les dénominateurs des fractions convergentes
du développement
D'après cela nous aurons
Qi «;+.
En remarquant maintenant que, en vertu de (9), on trouve
Or, d'après (8), le produit
Or 0,-*,
est d'un degré non inférieur k M-^~N\ par conséquent la dernière inégalité donnera
On voit par là que, dans l'expression de la fonction
d'après la formule (10), les deux termes qui contiennent la variable aux degrés négatifs sont d'un degré non supérieur à
et par suite
Si l'on remarque mainteuaut que
nous en conclurons que
En faisant successivement dans cette inégalité
[/ = 0, 1, 2,. . . ., n-)-OT — l-
i, pour ces valeurs de p., la foncti lement la limite Ç^^„, dont le degré, d'après le § 1, N — 1 , nous en conclurons que
Vi'^Qi) < 0, h^,F{vQ^^;] < 0, . . . k^^„,FivQ^^,.^;) < O;
d'où il s'ensuit que, en déterminant les fonctions
par la formule
on trouvera
En faisant maintenant [a ^ ot -i- w — l, on aura
et par suite, en déterminant la fonction w^^„ par la même formule, on remarquera qu'elle sera d'un degré non supérieur à celui de ^m^ï^±i Comme on a, d'après notre notation (g I),
on en conclut que
Ainsi nous nous assurons que les inégalités (9) entraînent nécessairement les conditions
Pour démontrer maiateaaut que la même chose a lien relativement aux autres conditions (3), représentons par
les fractions convergentes du développement
qui correspondent ans quotients incomplets ?(__j) ï;i-
A l'aide de ces fractions, Ses fractions convergentes du développement
M = jo-
qui correspondent aux quotients incomplets
seront déterminées les unes par les autres de la manière suivante :
En résolvant maintenant les équations
par rapport à
et remarquant que, d'après les propriétés des fractions convergentes,
on trouve pour Qi__y l'expression
Multipliant cette expression par v, et passant de l'égalité des fonctions à l'égalité de leurs parties fractionnaires, il vient
± F(«Q,,) = 2?(t>e,, I,) — P(vQ, rj. Or, en vertu des égalités "«,, I', = ■E(''0,, I,) + P(«'e,, T,), vQ,^ = lS(vq,i -I- F{vQ,^), vQ,T, = HivCm H- i?(!.e,î',), vQ, = E{vQ^ h- 2?{f 0,),
ou trouve
F{^Q,, I,) = TJf{vQ,;i + I,B(vQ,i - -B(»e,, r,), F(vQ,T,) = T, F(vQi -h T, £(!.«,) — E(vQ, T,).
Portant ces valeurs des foDctions
F(vQ,,T,), F{vQ,TO dans l'expression obtenue plus haut de la fouctiou
et faisant, pour abréger,
TJSivQ,^,) - S{vQ,, T,) - T, E(vQ,) -t-E{vQ,T,) = V, il vient (U) ±:F(vQ,0=^TJ?(vQ,^)—T,F{vQ^)-,-r.
Comme, d'après nos notations,
s, Sj
sont les fractions convergentes du développement
qt—i -t--- —
qui correspondent aux quotients incomplets
Si-.. îi-i' leurs dénominateurs Ti, Tg, devront être de mêmes degrés que les produits
et par suite de mêmes degrés que les fractions Qi~i Qi
Oz-A-Hi Ql-\-+-i
formées au moyen des dénominateurs des fractions convergentes
Ci— X-+-1 Ci— 1 Ci
de la fraction contiime
par conséquent, on aura
ft-
Mais on a, d'après (9),
Si?(»«,)58|, 8F(»(?,,)5»f; on tire de là
sr.f {»<?,) s 5-Stig-, sr,F(,-<3,,);s-ç^.
Comme, d'après (8), le produit Q;^ Q^ est de degré inférieur à M-t-N, la première de ces inégalités nous donne
On voit par là que les deux fonctions
T,F{vQ,;), T,F{vQ,) sont de degrés non inférieurs à
et dans ce cas, d'après la formule (11) et en remarquant que F ne contient pas de puissances négatives de la variable, ou trouve
ce qui, joint à l'égalité nous donne
En faisant ici
et remarquant que, d'après le § 1, la fraction
reste de degré négatif, il vient
d'où il s'ensuit que, en déterminant les fonctions
'""t-i-i' ^nn-:'- • ' ■ '^l—i par la formule générale
on trouvera
oi,„^^ = 0, w„^, = 0, , co,, = 0.
Eq posant dans la formule précédente
et remarquant que, suivant notre notation (§ 1),
on trouve
d'où l'on conclut, d'après la formule ci-dessus qui détermine la valeur de la fonction W(, que
Ainsi nous nous assurons de l'accomplissement des conditions w ^, = 0, M^^ = 0 w,, = 0,
qui, avec les conditions déduites plus haut
comprennent toutes les conditions (3).
On voit par là que les inégalités (4) constituent les conditions non-seulement nécessaires, mais encore suffisantes, pour que la formule
iiX— Y,
X, Y étant entières, et X de degré non supérieur à m, puisse donner mie expression approchée de la fonction v aux quantités près de l'ordre x"" esclusivemeut.
SDR
)1I BHuX fORGHS APPLIQUÉES À ON SSOL POINT.
BiiUetin de la Société Mathématiçiue de Trauoe, pulilié par les Secrétaires. Tome ¥1. — Année 1877—78, p. 188—193.
(Séance du 14 juillet 1878).
Sur la résultante de deux forces appliquées à un seul point.
1. D'après un théorème sur les angles compris entre les plans qui passent par ua point, on parvient aisément à une relation très-remarquable entre les angles que font les trois forces .R,, B^, B^, appliquées à uu seul point et les résultantes de ces forces, prises deux à deux, savoir:
^ ' a)ji(Bs, [Bi,Bj) aia(ifa, [iJa.-Bs]) sia{Bi, [Bs.iJi])
OÙ par
[Al -^aJ) [-^ai Al) [-^3! ^i\>
nous désignons les résultantes des forces i?, et B^, B^ et iïg, B^ et B,, et par
(iî„[i?„Bj) (i?„[A\,aj), (Jï„[a„«,]),....
les angles entre les résultantes et les forces qui les composent.
C'est cette équation qui servait de tase à deux nouvelles démonstrations du parallélogramme des forces, données en décembre 1875 par M. Darbous dans le Bulletin desSciences mathématiques, et par moi daus une Communication faite à la Société mathématique de Moscou.
Nous allons montrer maintenant comment on peut trouver, d'après cette équation, la valeur du rapport
■saus rien admettre sur la direction de la résultante et la continuité. 2. Après avoir remarqué, d'après l'équation {!), que le rapport
ne dépend pas de l'angle fait par les forces B^, Sa*), noua supposons que cet angle est réduit à 120 degrés, et nous désignons par cp l'angle entre la force Bj et la résultante [B^, B^~\ des deux forces B^, B^. Nous obtenons ainsi
Mais on reconnaît aisément que la résultante d'un tel système de deux forces ne sera pas altérée si l'on diminue de 60 degrés l'angle compris entre elles, et que l'on diminue en même temps la force JS^ de B^; car un tel changement de notre système peut évidemment être effectué si l'on y ajoute trois forces égales à B^ et disposées symétriquement autour du point d'application, savoir: deux forces dans les directions opposées aux deux forces en question, et la troisième faisant avec ces forces un angle de 60 degrés.
Or, pour le système de deux forces By, B^ ainsi modifié, on aura, d'après notre notation,
sin (fla, [B, - B^, Jf^]) sJQ (G0°-9) y^'^ rnta-^ — 1-
ce qui, étant retranché de la formule précédente, nous donne
ain (Bj , [a, , B3]) siu {Ma , [R, — ij-, . E,]) .
sîa (El, [BijEj]) 3m(Bi — JJj, [B, — B3,B3i) ■'•
