AUX TERMES DU QUATRIÈME ORDRE PRÈS

raRAOUXX PAR A. M. X-JAPOUlvrOï".)

(IIpnjioaiei]ie Kt XL-My toMy SanecoKï, IIunepaTOpOKOH AKaneitiia HayKt, J^ 1, 1882 r.)

(Lu îe 24 novembre 1881.)

Sur les plus simples parallélogrammes qui

fournissent un mouvement rectllig'ne aux

termes du quatrième ordre près.

§ 1. Daus un Mémoire Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quelconques, lu le 18 décembre 1879*), nous avons montré comment, par la considération du mouvement d'un triangle dont un sommet se déplace sur un cercle et un autre sur une droite, on peut trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que tout triangle donné, dont deux sommets se meuvent sur des cercles, décrive, par le troisième sommet, une courbe ayant un contact du cinquième ordre avec une droite.

On obtient ainsi une solution complète de la question sur la recherche des plus simples parallélogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne, pour des déplacements infiniment petits, jusqu'au degré de précision le plus

Or les formules que nous avons développées dans ce Mémoire peuvent servir encore, aiusi que nous allons le montrer maintenant, à déterminer tous les parallélogrammes les plus simples qui fournissent un mouvement rectiligne avec une précision d'un degré moins élevée; c'est-à-dire, tels que le contact, avec une droite, do la courbe qu'ils décrivent n'est que du quatrième ordre. Nous y parvenons en considérant les conditions pour qu'un triangle, dont un sommet se meut sur un cercle et un autre sur une droite, décrive, par sou troisième sommet, une courbe ayant un contact du quatrième ordre avec un certain cercle.

§ 2. En retenant les notations du Mémoire cité, nous supposons que le sommet A du triangle AA,M (fig. 1) se meuve sur un cercle, dont le centre se trouve au point G que nous prenons pour origine des coordonnées, et que le sommet M se déplace sur une droite FG parallèle à l'axe des œ.

*)T.II, pag. 301—331.

Soit Cj le centre du cercle ayant un contact du quatrième ordre avec la courbe que décrit le sommet A^ . Le rayon de ce cercle sera désigné par ï-j .

Fig. 1.

En désignant par a, la valeur de l'angle variable k^AMF correspondant à la position du sommet Ai sur le cercle 6j , au point de contact avec la courbe que décrit ce sommet, nous remarquons que le contact ne peut s'élever jusqu'au quatrième ordre que si la distance A^C[ , « étant voisin de «1, se développe suivant les puissances de sina — sinaj en une série de la forme

A^C^ = }\ H- Kf, (sin K — sin cc^f -+-....

Or, eu désignant par x, y les coordonnées variables du point A^ et par ^11 Vi ^^^ coordonnées du centre fixe Cj, nous avons

Passant pai' suite à la détermination des coordonnées x, y, posons

AA, = a; AG=r, GF=b, AM=m, MAA^ = A, ACx = t^.

Alors, en projetant la ligne brisée GAA^ sur les ases des coordonnées, on aura

x^r cos^-i-a cQs{A — a),

y ^ r sin P -4- a sin (A — a);

et en projetaat la ligne brisée GAM sur l'axe des y, on obtieudra cette relation entre les angles variables ^ = ACx et a ^= ÂMF:

CF-=:h-^^r sinp — m sina.

En tirant de cette relation les valeurs de sin|3 et cos^, on trouve

. 0 m siu a -I- 6

sm^ = ,

ce qui, étant substitué dans les expressions des coordonnées, nous donne

X = Vr^ — (m sin a -H èf -4- a cos {A — «); y ^ m sin « -4- rt sin {A — a) -i- h.

Substituons ces valeurs de x, y dans l'expression du carré de la distance A-^C■^^.

Afi^^ = {x — x^f -*-{y-~ Vif- Nous aurons:

A-yC\^ = [Vr^— {m sin c-t-bf-t-a cos {A — a) — a;,]^ H- [wî sin a H- a sin {A — -.aj-t-h — yj^;

et de là, en éloignant les parenthèses, il vient

(1) A^C^^= 2 [a sin ^ sin a -H- a cos ^ cos « — x^jVr^ — (m sin « -f- è)^

-t- 2 [(ïmsinJ,sina-t-«(6 — ^^)sinA — «aijCOS^] cosa H- 2 [« {y, — V) cos A — ax^ sin A — mî/,] sin «

— 2am cos A sin^ a -t- r' ~t- x^^ -t- y^ (y^ — 26) -+- a^.

Telle sera l'expression du carré de la distance du sommet A^ au point (7j, quelle que soit la courbe que décrit le sommet ^^; et nous avons vu que, dans le cas où cette courbe a, au point correspondant à a = «^ , un contact du quatrième ordre avec le cercle ayant C^ pour centre et r^ pour rayon, cette expression sera développable eu une série de la forme

r^^ -t- 2r^ffo (siû « — sin a J^ -i- . . . . ,

Nous aurons doue, dans le cas considéré, cette égalité:

2 [« siii ^ sin « -+- « cos J, cos a — ic^] Vr^ — (m sin a-t-bf-h-r^-t- x^ ■+- 2 [am sin A^ma-\-a(b — y^ sin A — ax^ cos A} cos an-!/, (y, — 2&) — 2iï»i cos A sin^ a -t- 2 [a (ï/, — &} cos ^ — a^^ sin ^ — mij-^ sin a -i- o^ = ^j^-i- 2rjfi'p(siDa — siuaJ^H-. . . .

§ 3. Pour présenter cette égalité sous une forme plus maniable, nous introduirons, au lieu de a, une variable s liée avec a par l'équation

(3) siii«=^,

où

d = sin Kj .

On voit que, si l'on tire de cette équation 1

y^a — ç,„ g[„ a.-i-bf et qu'on les porte dans l'égalité (2), celle-ci, en chassant le dénominateur, se réduira à la forme

{s-i-l~i-^yf~\)V[z~gf~¥—{P^-^P^z)Vs^—\-t-I\-^P^z-t-P^z' (4) r„

où X, p., Po, Pj, Pj, Pg, P^ sont des constantes que l'on pourra facilement exprimer par les constantes A^ a, m, r, r,, fc, a;,, î/j qui figurent dansl'égalité (2).

Il est facile aussi d'obtenir les équations qui permettent de déterminer les anciennes constantes

A, a, m, h, r, r^, x^, y^ par les nouvelles

X, [X, Po, Pi, P„ P3, P^,

en observant que l'égalité (4), si l'on y substitue la valeur de z résultant de (3), doit se réduire à une égalité identique avec (2). Comme on tire de (3)

1— dsiaa

ce qui donne

sin a — ^! i

ain a — d '