SUR LES FONCTIONS

Qui S HCiRTENT PEU Dm XURO

POUR CSRTAmES VALEURS DE LA VARIABLE.

(XÏÎADUÏX PAÏÎ C. A. POSSÉ.)

npu msfiomopux'ô ée^tizuncxiX'S nepejnmuuoû.

. XL TOMy 3auncoKi, HMnepaTOpCKoâ AKaflewiiî Haynt, W» 3,

(tu le 2B décembre 1880.)

Sur les fonctions qui s'écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable.

§ 1. Si une foQctiou entière F(x) s'écarte peu de zéro, eutro les limites x = — h, X ^ -t-h, elie ne peut atteindre en dehors de ces limites une valeur considérable pour x peu différent de — fe ou de -+-h que dans le cas où le degré de cette fonction est assez grand. Nous allons montrer maintenant de quelle manière, d'après le degré de F{x) et la limite supérieure de son écart de zéro pour les valeurs de x entre — h ei -i-Ji, on pourra trouver la limite supérieure de sa valeur pour x=H ^m dehors des limites — A et -*- 11. Or, comme toutes les valeurs de la fonction F{x), tant entre les limites x^ — h et a; = h- A, que pour x=^U, peuvent être modifiées dans un rapport voulu à l'aide de l'introduction d'un facteur constant, nous allons nous borner, pour simplifier l'exposition, à la supposition que la fonction F{x) ait une valeur donnée M pour x = H et nous allons chercher ensuite parmi toutes les fonctions entières, satisfaisant à la condition

et étant d'un degré donné n, celle qui entre x:^—h(itx=.-+-'h s'écarte le moins possible de zéro. En désignant par L le plus grand écart de zéro entre x= — h et x=-*-h d'une telle fonction et remarquant que pour toute autre fonction du même degré et ayant la valeur ilf pour x = H le plus grand écart de zéro entre x = — h et x=-~t-Ji surpassera L, nous devons conclure que le rapport

correspondant à la fonctiou considérée, représentera la limite supérieure du rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour a;=i? au plus grand écart de zéro de la même fonction outre x = — fi et a: =^ -i- h.

§ 2. Passant à la détennination de la fonction F{x) sous les conditions meationuées, remarquons qu'étant de degré n et se réduisant à M pour x^^^H, elle doit avoir la forme

(1) F{x) ^= {p^x"~'^'^ Ps*""*-»- ■ ■ ■ ■ -*-Pn^-i^ ~*~P,) {x~ H)-*- M,

Viiï'i}- ■ ■ • Pn—v Pn (îésignant des eonstautes. Ces coustautes dans la fonction considérée se déterminent d'après la condition que cette fonction entre x^ — h et rc = H- ft ne surpasse pas les limites — L et ~i-L, entre lesquelles ne peut rester aucune autre fonction de la même forme pour les mêmes valeurs de la variable. Pour déterminer les valeurs des constantes ^n Pas- ■ ■ • Pn—i' Pn ^'après cette condition nous allons nous appuyer sur le premier théorème de nôtre Mémoire sous le titre: «Swr les questions de minima qui se rattachent à la r&^résentation approximative des fonctions» *). Ce théorème, est applicable à la détermination des coefficients de la fonction F{x), cette fonction ainsi que ses dérivées restant continues et finies entre a; = — h%tx=:-\-h.

Eu vertu de ce théorème et désignant par

B valeurs de la variable x, pour lesquelles la fonction F{x) entre x = — h et x=^-\-h atteint ses valeurs limites — L et -i- X, nous concluons que le système de n équations

^■Pn ' ^Pn ^ ■ ■ ■ ■ ^p^ j;

aux p. inconnues

doit avoir une solution oii les valeurs des u. inconnues \, X^,. . . . \^ ne sont pas toutes égaies à zéro.

Eq déterminant d'après (1) les valeurs des dérivées

dpi ' àpi ! ■ ■ • • ^p^ '

dFlXf) dFjXt) àF^x^,)

et les portant dans les équations précédentes, nous trouvons que celles-ci se réduisent au suivantes:

§ 3. La quantité jff étant en dehors des limites x^ — h, x = entre lesquelles se trouvent toutes les fx quantités

aucune des diiférences

x^ — H, Xr, — H,. . . ., X — H

ne peut se réduire à zéro. Cela posé, nous allons montrer que le nombre [x des inconnues \, \,. . . .'A dans le système d'équations trouvé ci-dessus doit surpasser le nombre n de ces équations, pour qu'on puisse leur satisfaire par les valeurs de >,,, X^,. . . . "A différentes de zéro, comme cola doit nécessairement avoir lieu, d'après le théorème mentionné, pour la fonction F{x) que nous considérons.

Eu effet, si fA ne surpasse pas n, le produit

(x — 7:^) (x — Xg). . . . {x — x^)

se réduit à un polynôme de degré inférieur à w, qui peut être représenté par

Ax^''^ -+- Bx^~^ -F- . . . . ^- 7f.

En désignant ce polynôme par ç(a:), nous remarquons, d'après sa décomposition en facteurs, que

(p(a;a) = 0, (f{x^) = 0, 9(fl;^)=0.

Remontant aux équations (2), les multipliant respectivement par

et prenant leur somme, nous ottenous l'équation ci-dessous:

En y portant les valeurs trouvées plus haut des fonctions

9 (a;,), ^(aîa), (^(x^),

nous remarquons que cette équation se réduit à

(x^ — H) (Xi — CC3) (x^ — x^). . . . (x^ — x^)\ = 0. d'où il suit

parceque la différence x^^ — H, d'après ce qu'on a vu, est différente de zéro et les quantités x^, x^,. . . , x^ sont différentes entre elles.

On démontrera d'une manière analogue que pour f^^w les équations

(2) donneront

On voit d'après cela que le nombre p^, qui indique combien de fois la fonction considérée entre x = — h et 3^=^-1- 7t atteint les valeurs limites — L et -t- L sans les francbir, doit être plus grand que n; donc l'équation

(3) F^ix)~I/=Q

doit avoir au moins n-t-1 racines eutre x^ — h et a; = -h /i. Parmi ces n~t-l racines il y en aura au moins n — 1 différentes de — h et de -+- h; ces n — 1 racines ne peuvent être racines simples, car, x passant par une racine simple de l'équation (3), F^{x) francbit la quantité i^, ce qui est contraire à l'hypotlièse.

En remarquant d'autre part que les racines multiples de l'équation (3) vérifient l'équation

F'ix) = 0,

de degré n — 1 d'après (1), nous concluons que l'équation (3) ne peut avoir plus de H — 1 racines multiples. En les désignant par

nous arrivons à la conclusion, d'après ce qu'on a dit plus haut, que le premier membre de l'équation (3) est divisible par le produit

D'ailleurs, il est facile de voir qu'il est aussi divisible par le produit

En effet, l'équation (3) ne peut avoir, comme on a vu tout-à-1 'heure, plus de n — 1 racines multiples; or, entre a; = — h et x = -i-h, d'après ce qui précède, se trouvent au moins w -i- 1 racines, donc deux de ces racines doivent être simples. Mais, comme on a remarqué, les racines simples de l'équation (3) ne peuvent être que

x^= — Ji, a; = H- S,

ce qui entraîne la divisibilité de son premier membre par le produit

C'est ainsi qu'on s'assure que la différence

est divisible par

(x X^f (x iBaf {x — x^^. . . . (x — ^„i)^

et par

cela veut dire, par leur produit

{X — X^f {X — X^f (^ — 3^3)' {X — ^n-lf if~1i%

Remarquant eocore que d'après (1) ce produit est du même degré que la différence

nous en concluons que cette divisibilité entraine l'égalité

F^{x)--L^==C{x~x;f [x — x^f.... (x — x^;f {x^—¥), C désignant une constante. Cette égalité nous donne l'équation

(4) F^ (x) ~L^ = (3^~~ ¥} 0'' (œ), 0{x) étant une fonction entière, définie par la formule

(5) 0{x)~zïiy'Cix~x^) (x—x^) (ic— a;„,),

où le signe du radical zt VC se détermine de la sorte que le terme du plus haut degré de 0 (x) ait le même signe que le terme analogue de F{x).

§ 4. Eu abordant la détermination de la fonction F(x) d'après l'équation (4), remarquons qu'elle peut être écrite sous la forme

F' (x) — (x^ — Iv') 0^ [x) = L\

d'oià l'on déduit, en décomposant la différence

F^(x)~{x^ — ¥) 0\x) en facteurs

{F{x) — 0 {x) Vx^—h^) [F{x) -+- (p [x) Vx^ — h^), l'égalité

F {x) — 0 {x) Vx^~h^ = ^-

ce qui nous donne après la division par <5(a;) l'équation

(6) m vw^^^=. ^^-=^,

A l'aide de cette équation, comme nous avons montré dans le Mémoire mentionné ci-dessus, l'expression de la fonction cherchée F{x) peut être obtenue par le développement de 'V^ — W en fraction continue. Nousallons montrer maintenant comment cette fonction peut être trouvée sans le secours

des fractions continues. Remarquons dans ce but qu'en désignant par P, Q les fonctions entières représentées par les égalités

(ar -1- Vx^ — hs)"' -+- ù — y^^- h^f

on trouve

P— Q Vx'' -h?={x — Vx^ — h^h Or, remarquant que le produit

est égal à h^, nous aurons

3;l/^Cr^^ = '£ ;

eu vertu de cela, l'égalité pi'écédente donne

^ {x-i- Vx^ - II?)

d'où l'on obtient, en divisant par Q,

e "" ~~ Q ['):-*- Vx^ — ft^r

En soustrayant cette égalité de (C), on aura

ce qui nons donne, en multipliant par 0 (x) . Q, l'équatlou

ft^» (0 (x)

' F{x) -t- 0 (x) Vx^ — W- (x ^ Va;* — W'f

En considérant le second membre de cette équation, nous remarquons <iue les deux termes qui y entrent représentent des expressions de degrés négatifs, les fonctions L^Q, V^ 0 [x) aux numérateurs étant de degré n — 1, d'après (5) et (7), tandis que les fonctions F{x)-i~0{x)yx^ — fe^, {x-v-Vx^ — h^)" aux dénominateurs sont de degré «, d'après (1) et (5). Par conséquent notre équation, dont le premier membre représente «ne fonction

entière, ne peut être satisfaite que dans le cas où l'iiu et l'autre de ses membres se réduisent à zéro, c'est à dire, lorsque

On trouve de ià

FIx) F

et remarquant que d'après (4), (5) et (7), la fouction F{x) u'a pas de facteur commun avec 0{x), uon plus que Pavec Q, nous concluons que F{x) m peut différer de P que par un facteur constant; donc

Fix) = G,F,

(7i désignant une constante. Cette valeur de F(x), en y portant l'expression de P, tirée de (7), nous donne

F(x) = C (^+>'a^^-ft^)"-^-(^— "^^^-^')'',

§ 5. Pour déterminer la constante C^, remarquons que d'après le § 1 la fonction F{x), pour x = H, est égale à M. En faisant dans l'expression trouvée de F{œ}

x = H, nous aurons

ce qui, étant égale à M, nous donne l'équation suivante pour l'évaluation de a:

d'où l'on tire

(if -f- Vm — ifif ->-{h~ v'fl^rrp)" En portant cette valeur de C\ dans l'expression de F{x), on obtient

^ ' {s-t-Vm — h'^r'i'iH—Vm — h;')

Ainsi s'exprime la fonction entière de degré w, qui, étant égale à M pour x = H, s'écarte le moins possible de zéro dans l'intervalle Aex= — h

à a; = -t- s, ne comprenaut pas la valeur x = H. Pour trouver L, la limite de ces écarts, remarquons que l'équation (4) nous domie pour z = 'h

d'où

Eu posaut x = h dans l'expression trouvée de F{x) nous aurons

^ ^ (if-t^v'ff» — *«)" -i-(-ff— /fl^* — as)"'

en vertu de cela l'égalité précédente nous donne

y 2.Mft"

~ (H^ Vm ~ /!=)" H- (H - VW—h^T ' d'où l'on tire l'expression suivante du rapport -^:

M __ (h -I- yjf^ — wT -t-{s— Vn'^ — h^T

L — 2ft" '

qui, d'après le § 1 , représente la limite supérieure du rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour x = I-I au plus grand écart de zéro de la même fonction entre x^ — h et x=:-i-}i, en supposant que E est extérieur à l'intervalle entre x = — h et x^-i-h.

En représentant l'expression trouvée sous la forme

et mettant au lieu de

H fW

l'expression équivalente

nous trouvons

Cette égalité donne pour la valeur de

l'espressioû

Pour savoir lequel des deus signes rt doit être pris dans cette formule, supposons qu'on ne donne que des valeurs positives aux quantités h et H: dans ce cas on aura

(x-^y-^-l) >(x-K'Sr-l) > par conséquent d'après (8)

Cette inégalité nous montre que l'égalité obtenue ne peut être satisfaite qu'avec le signe supérieur du radical 'l/^^ — 1, et qu'on doit avoir

d'où il suit

I R 1 /"h^ Tx" m 1 /'m

Or, en déterminant d'après cette égalité le nombre n, nous trouvons

ce qui donne la limite inférieure &vl degré d'une fonction entière dont le plus grand écart de zéro entre x^ — h et a; = H- fe est égal à i et qui prend la valeur M pour x^H non compris entre x^ — h ùi x =^ -t- h. Toutes les quantités h, H, L, M sont supposées positives.

§ 6. Nous allons nous occuper maintenant de la même question par rapport à la fonction trigonométrique de la forme

j Ai^-i-A^ cos ç -H ^2 cos 2ç H- . . . . -4- A^ cos wcp \ -i-S, siuç-4-5s sin2î)M-. . . .H-5„ sinwcp, 5 désignerons pour abréger par

Nous supposerons connue la valeur de cette fonction pour une certaine valeur

et nous désignerons, comme ci-dessus, cette valeur par M; nous allons chercher ensuite parmi toutes les fonctions de la forme (9) qui satisfont à l'équation

celle, qui s'écarte le moins possible de zéro entre deux limites données tp ^ — (fj, <p := H- cpo, la valeur 9^ n'y étant pas comprise.

Pour réduire la fonction /'((ç) à une forme algébrique, introduisons une variable x eu posant

tang |- ~ x.

En tirant de là

nous remarquons que la formule (9), après la substitution des valeurs des sinus et cosinus des angles multiples de 9, se réduira à la forme-

Co, 6'i,. . . . C^„ désignant des constantes.

En posant (10) G^^''-t-C\x^"~'-i- ^-C^^=F(x),

nous pouvons écrire l'expression de /"(œ) sous la forme

(11) m=iMf

Or, en posant (12) tang|i=;i; tang|i-=fl,

nous remarquons que d'après (U) l'égalité

à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée, se réduit à la suivante;

= Jlf.

D'où il suit (13) F{H} = {H''-t-iyM,

ce qui eiitraîue la réductibilité de la fonction Fix) à la forme

(p,x^"-'-t-p^x'"--^-^' .... -*-2>J {x — H)-^' {W -*- If M, où

désignent des quantités constantes qui doivent être déterminées par la condition que la fonction

fU\— -^W li'i^^"^'-^P2^"-'-'-....+fen)(^-g)-«-(g'-<-i)"^

entre x^ — h et ce = -t- h s'écarte le moins possible de zéro.

En désignant par L le plus grand écart de zéro entre x^ — k et x^-i~k de la fonction cherchée et appliquant le théorème déjà cité, nous arrivons, à l'aide des raisonnements exposés aux §§ 2, 3, à l'équation suivante à l'égard de la fonction F{x}

F^x)~L\x''-i-lf"= G{x^~W) {x — 'xj' {x — x^Y i^ — ^H-if^

a;,, aij, . . . . x^^ désignant des quantités réelles inégales. Cette équation se réduit à la forme

(14) F^ [x] — X^ (a;^ -h 1)'"= (5= (a;) [x^— ¥). en posant

(15) 0(x) — ±yG{x — x;){x — x^) (3:~3^,„t),

où le radical doit être pris avec celui des deux signes ± pour lequel le rapport

y(VTiT) ^ V —lVl-\-h^.0{V—\)

se réduit à une quantité positive.

§ 7. Passant à la résolution de l'équation (14) nous remarquons que pour

elle donne

d'où il résulte, après l'extraction de la racine,

où, d'après ce qu'on vient de dire sur le choix du slgue dans la formule (15), i'oa doit retenir le signe supérieur, ce qui donne

(16) F{V^^}=z0{y:^) y^jï-Hi.y::^.

En posant

dans cette équation, nous trouvons

F^ ( v^TT) = 0^{— y^zn) {— 1 — h\

d'oùl'on tire, en extrayant la racine, les deux valeurs suivantes de -f(— y — 1):

F (— y^~i) = -+- yi-i-h^ . 0 (— y^^) . y^'; F (— y=^) = ~ yi-i-A« . 0 (— y =a ) . y^^.

A ces deux valeurs de F( — Y — 1) correspondent, comme nous le verrous, deux solutions différentes de l'équation (14) dont la recherche va nous occuper maintenant.

En nous arrêtant au cas de

(17) Fi—yizï)^yY^^.0{—yz^].y'^^,

désignons par P et § les fonctions entières, déterminées par les égalités:

( p = i- [{yh^ -t- 1 -H y/i^ — x^'Y" -+-{yh^-i-i— yh^^—x^'T"'],

Q = — i=-.ty/i^-i- 1 -t-V^—x^r—Wh^^ i—Vh^—x^yX y 2 y x* — ft' -I

En déterminant à l'aide de ces égalités les expressions de la somme P-*-Q V^^ — h^ et de la diiférence P~Q yx^ — A^, nous obtenons :

p-^- Qyx^—¥= [yh^ -+- 1 -i-yn^—^T'',

P— Q i/a;a Aa= (y^a H- 1 —yk^^ — x^y,

Ces expressions étant multipliées l'une par l'autre donnent

p^—Q\x^~h^)=nyW^'^y¥^) (y/i^i-l— yft^— a;^)]*"=(a:«-Hl)"*.

Il en résulte que (1 9) P^ = Q^ {x^ •— Â^) -H (a;^ -i- 1)'".

Eq multipliant cette valeur de P^ par celle de F^{x) qui d'après (14) est égale à la somme

0^{x) {x^—¥) -+- V{x^ -+- If", nous trouvons

ce qui donne

d'oii l'on déduit, en décomposant le premier membre en facteurs:

[PF{x)~i-Q0{x) {x'—h^Jl [PF{x)—Q0{x) (x= — /i^)]^

{^^-1-1)'" [L\x^-^^ Vf-^ix^—W) {VQ^ -Y- 0\x))].

Or, comme il est aisé de montrer, le premier facteur du premier membre

PF{x)-*-Q0{x){x^ — lf)

ne se réduit pas à zéro pour x=^±y — 1, racines de l'équation a;*-i-l=0. En effet, en vertu de (16), (17), (18), pour x^± V — 1, on trouve

f{± v^ï) = y^T ym^ 0 i± y=^),

d'après cela pour ces valeurs de x l'expression

PF{x)-i-Q0{x){x^ — h^) se réduit à

Or, cette expression ne peut être égale àzéro, lafonction 0{x), d'après (15), n'étant égale à zéro que pour les valeurs réelles x=x^, x^,. . . .x^^^.

Après avoir montré ainsi que le premier facteur du premier membre de l'équation obtenue ne se réduit pas à zéro pour les racines de l'équation 0!^ H- 1 ^ 0 et n'a, par conséquent, pas de diviseur commun avec (x^-t-lf^^ nous pouvons conclure, en vertu de la même équation, dont le second membre est divisible par (x^-^- If"', que

P. Fix) — Q.0{x) (oi^ — ^^),

le second facteur du premier membre, est divisible par {x^ -+- Vf^.

D'ailleurs, en représentant les équations (14), (19) sous les formes

{F{x) — li{x)Va? — ») {P{x)-^0{x)yx^ — h') ^L^x'-t-l)'",

{P-t-ÇYx'—») (P— QVx' — l') = (x' H- 1)"

et eu les multipliant l'une par l'autre, nous trouverons

[P. F(x) — Q9 {X) {xf — *=) ^- (QF(x) — P.0 (x)) Wx? — V\ [P. V{x) — §S (x) (# ~ ») — (Qt\x) — P.t> (x)) ^x' — V] = L'(x''^-\f, ce qui se réduit à l'égalité suivante:

[P.F(x) — Q.it (x) Iz' — *>)]' — \QF(x) — Pt (x)f {x' — ¥)

= V(x?-t-Vf\ Or, d'après ee qu'on à démontré ci-dessus, l'expression PF{x)—Q9{x) (x' — h') est divisible par {x^-i- 1)^", on en conclut la divisibilité du terme [ÇF(x)-P0(x)J(x' — h').

par {x^-*- 1}^". Remarquant encore que x^ — /i" n'a pas de diviseur commun avec {x^ •+■ 1)^", on en tire que

[QF(x)-P0(x)J

est divisible par (x? -t- 1)^", et par suite que

QF{x) — F0{x)

est divisible par {x^-t- 1)°", ce qui ne peut avoir lieu que pour

QF{x) — Pt>lx) = 0,

car, d'après (10), (15), (18), les fonctions F{x), F sont de degré 2n, et 0{x), Q de degré 2« — 1 , donc

QF(x)~P0{x)

no peut être de degré supérieur à 4n — 1 ,

L'égalité obtenue entraîne comme conséquence que

Or, d'après (15), la fonction 0(x) ayant tous ses facteurs linéaires différents de x-t-V— 1 et x — V — 1, dont le produit est x^-+-l, les fonctions F(x) et ^{x), en vertu de l'équation (14), n'ont pas des diviseurs communs. Cela posé, la fraction

ne peut êti'e égale à la fraction

dont les termes d'après (10), (15), (18) sont respectivement duraêrae degré que ceux de la première, que pour

Cf désignant une constante.

Eu portant dans l'égalité

l'expression de F tirée de (18) nous trouvons que

C'est ainsi que s'exprime la fonction F{x) qui satisfait à l'équation (14) dans le cas où

f{— V^^) := vi-^-h^0[— yiTT) y^i".

Quant au cas, où cette égalité est satisfaite avec le signe — , l'expression de la fonction F{x) qui satisfait à (14) s'obtiendra, d'après ce qu'on a vu ci-dessus, en prenant pour P et ^ les fonctions:

P=~ [(VM H- 1 3; ^- Va;* — h^Y" -+- [VW -+- 1 x^Vx^ — WY'^'], Q= / [{V¥^l x~i-y^'^^'Y''—{V}^^^ x — V^—h^ri.

Ainsi s'obtient la seconde solution de l'équation (14), où

F(x) ~ -i- G" [iVh^ -t- 1 X -+- y^^^Y"-*- iVh^-t- 1 X — Va^ — ^i^)^"] .

§ 8. Des deux solutions trouvées on doit choisir celle qui donne la plus grande limite du rapport

Dans ce but nous allons chercher la valeur de ce rapport eu prenant d'abord pour F{x) la première solution et ensuite la seconde.

En comparant entre elles les deux valeurs du rapport ^, ainsi obtenues, et supposant toujours fl"> li, il ne sera pas difficile d'en distinguer celle qui donne la solution de notre problème.

En retenant la première valeur de F{x) et en y faisant

nous trouvons

F{U) = y [(y^MiT M- yk^—H^y'*-^. (yF^^TT — yh^—H^f'j,

ce qui étant porté dans l'équation (13) nous donne

ç [{yw^i^^ yjv'—H^y"^ {]/W^— y/i^— H^)"']={F3H-ififf,

d'où l'on tire la valeur suivante de G':

En portant cette valeur de G' dans la première expression de F{x), on l'obtient sous la forme:

d'où il suit, en faisant x = Jt,

Or, d'après l'équation (14) en faisant x = h, on a i^(/0 — Z^(P-i-l)'"=0, d'où l'on tire pour ia valeur de L:

-(ft*-!)»'

ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de F{h} à

En tirant de là le rapport

on obtient

ce qui peut être représenté, comme il est aisé de voir, sous la forme; -2- = ±cos(2M.arc.cos l/^^-J.

§ 9. Passant à la seconde valeur de F(x), représentée par la formule

F(x) = -i G" [(VA^^i^ X -+- v^^^Y" M- (yFn x — vx^—ji^yy

on obtient pour x^= H

F{H) = \G"\[-V¥^H-i- VlP—h^Y"-i-{V¥^H— VH^—h^Y'''],

ce qui étant porté dans l'équation (13) donne l'équation suivante pourl'évaluation de G":

y G" [(y^^H- 1 H-i- yw — h''Y"-t- [Vh^ -•- 1 f— vh^ — a')'"] =

En tirant de là la valeur de G" et en la portant dans l'expression considérée de F{x), on trouve

ce qui donne pour x=-h

(V!^ ■+- 1 H-t- VH^ — hff^ -+- (yA* -+- 1 fl — VH^ - Aî}'"

Or, eu faisant

x^li, dans l'équation (14), on obtient

F'ih)-~L^h^-t-iy'' = 0; d'où il suit

ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de F{}i) à

j , 2ft^"(g'-i-l|"M

~ "^ (l/A« -I- 1 S -f- /Jï* - ïiî)'"'^ (yW^^B — VH^ - ftî)*" '

d'où l'on tire

M ^ (yh^ ■+- 1 H -h- ys^^irp)^"^ (y^i -^ 1 s-

Or, comme le produit

Xhf Sï+l "^ F (H^ -i- 1) ?ts/ ' \ A Y E^-i-\ Y (if2-t-l)W

se réduit à l'uuité et par conséquent

-a;-,/P^ 1 / -g^ - ^'- (':ff i/E±I , |/ g^ — ft*Y^

la valeur ci-dessus de -j- peut être représentée sous la forme

31 H ^ rf'-^i/^ï±ï' i/ Jl^—h^ 'f JH-j/W^^ -t/ m — h^ Y^~\

i — — 2 LU K W^i'*' Y (H2-i-i)ftV "*~\ft Y S^TT"^ K(ifï^.i)7(ï; J-

En considérant l'expression comprise outre les parentiièses [ ], uous remarquons que la plus petite valeur qu'elle acquiert pour

5i/^:i:i Hi/aizAL^l

h Y fi*+i Y c^^-i-i)^^

est 2. Il en suit que la valeur numérique du rapport

trouvé ci-dessus ne sera jamais moindre que 1; ce qui doune la limite supérieure de ce rapport, car la valeur de ce rapport obtenue antérieurement

=t cosi 2n.arc.

est toujours comprise entre -+- 1 et — 1 .

On voit d'après cela que la limite supérieure du rapport

pour la fonction considérée sera donnée par la formule

OÙ des deux signes ± nous ne retiendrons que -h, en prenant pour L et M les valeurs numériques du plus grand écart de zéro de cette fonction entre œ :^ — 7i et a: = -+- A et de sa valeur pour x = H. Dans cette supposition nous aurons toujours

M i^ r/s-,/p^ ,/^^^i^f" (s^/WTj ^/^^^^WY^"']

Eu portant ici d'après (12) les valeurs

;t==tangf , ff = tang| et remarquant que

nous trouvons M 1 /^'"T

Cela donne pour une fonction de la forme

Aa -1-^1 eos 9 ■-(- -^2 cos 2ç H- . . . . H- A^ cos na^ -I- 5j sin 9 ^- ^3 sin 2^ -+-.... h- B^ sin «9

la limite supérieure du rapport de sa valeur pour 9 ^ 9^ à son plus grand écart de zéro entre 9 = — <^o ^^ f = ?o "^ comprenant pas la valeur 9 ^ 9^ ,

§ 10. En déterminant à l'aide de l'égalité obtenue la valeur de la différence

nous la trouverons égale à

.yq

II est facile de montrer que pour des valeurs positives de sin ^, sin ^ (comine nous le supposons toujours), c'est le signe -+- qu'il faut prendre dans l'expression ci-dessus.

En effet, en portant dans l'expression

la valeur de -j- tirée de la dernière égalité du § précédent, nous trouverons qu'elle se réduit à la suivante

où pour

sin^>0, sin^>0

le second terme est moindre que le premier, parceque celui-là se réduit à

après le remplacement de l'expression

4"Vv4

qui lui est équivalente.

Ayant ainsi démontré qu'en représentant la différence

lV(:|-f"

par la formule

il y faut retenir le sigae h-, nous en concluons que

Or, en résolvant cette équation par rapport à n, nous trouvons

ce qui nous donne la limite inférieure du nombre n, pour lequel la fonction

jlfl "(- -^1 cos tp -I- ^2 cos 2^ -1- . . . . -I- ^„ cos KCp

H- ^1 sin fp -I- B^ sii 2ç -•- . . ■ ■ -«- 5^ sin wcp,

dont le plus grand écart de zéro entre ç = — Ço, tp^^-t-tp^ ne surpasse pas L est égale à ± M pour cp = Çj . Les quantités L, M, cpj , cpo sont supposées positives, M supérieur à i et ç ^ (pj non compris entre ip ^ — cp^ et