MA,A=^A

Les égalités précédentes se présenteront alors ainsi :

G^G=^^—A; G^Gx = ~~A,; G,Gc = :^~A,.

En calculant d'après ces valeurs des angles G^SG, C/)x, G fie les angles CjCG^, nous obtenons

GfiG^ = Gfix — Gfix, = A^~-A^-, GGfii = Gfix -+- G^SG=Ti — A — A^; GGfi^=zT:—Gfix~G^8G=A-^A^.

Posant, pour abréger,

on déduit de ces valeurs des angles les expressions suivantes pour les côtés ce,, GQdii triangle:

Puis, par ces expressions, on trouve pour les coordonnées x[, y/, a;/', (/," des centres (7^, (7^:

< = GG^ cos CjOc^ 5^^^|i| cos C.Oei,

y'^GG, siu C,ac = 2ïïi4^^sin QGci,

x''= cq,.cos aop— ^i^i'^'^^'lcos acx.L

î//'= CCj.sin (7,0= J^l^-^^sin a^CÎT.;, ce qui, en portant les valeurs ci-dessus des angles C-fix, Cfix, nous donne

1 Biii(jl3 — ^i) » ' ^'- aiiiM; — Al) 3 '

1 sm{A^—Ai) ' ' ^1 am(,l2— -^i) '

D'autre part, on exprimant les côtés AA^, AA^ des triangles AA^M, AAJd par le côté AM = m, on trouve

, , sin AMAi , . siu AMA^

ce qui, eu portant les valeurs des angles MA■^A=^A^^ MA^A = A^, AMA.i = iz — A — A^, AMA^ = -K — A — A^, se réduit à

, , sm{A + A.) . . &m[A-+-A^

AA^^ — kri — ^^'' -^-^3= — an A •

Passant à la détermination des carrés des distances A^Gi, A^O^, nous remarquons qu'on les obtiendra par la formule (1), en y prenant pour x^, y^ les valeurs que nous venons de trouver pour les coordonnées des centres Cj, Cj et pour a les expressions ci-dessus de AA^, AA^.

En multipliant les valeurs de A^G^^, A^G^ ainsi obtenues par ces expressions et en faisant la différence des produits, nous obtenons pour

AA^.Afi^^—AAi.A^Gi

l'expression

__ smAsm(A^~A,) ^^,^ sin {A ^ A,) ain (.1 -^ A^) sin {A-*.A,+ A^ ^ r, siiiU + ^0 3in(a-i-Ja) , , ___ sin {A ■+- Ai) sin {A -i- A^ sin (^, — A^ m

-ilf,

qui ne renferme pas l'angle variable a et qui conservera, par suite, sa valeur pendant le mouvement considéré du triangle.

§ 8. D'après ce que nous avons montré relativement aux points qui dans le mouvement considéré du triangle reviennent simultanément sur les circonférences de certains cercles, on peut trouver en tout parallélogramme composé d'un triangle et de deux rayons un point qui décrive approximativement un arc de cercle, et cela avec le même degré de précision que celui, avec lequel le parallélogramme réalise un mouvement rectiljgue.

En effet, soit donné (fig. 3) un parallélogramme composé du triangle

Fig- 3.

AA^M et des rayons AO, A^Ci susceptibles de tourner autour des centres G, C^. Soient ensuite: FG la droite, avec laquelle la courbe que décrit le sommet ilfdoit avoir plusieurs points communs, et ^3, C^le point du triangle AÂj^M et le centre qui lui correspond, déterminés, comme il a été montré, dans la supposition que le sommet M du triangle AAiM se déplace sur la droite FG et le sommet A sur le cercle G.

Parmi les positions que prend le triangle AA^M dans le mouvement du parallélogramme, celles pour lesquelles le sommet 31 se trouve sur la droite FG peuvent, évidemment, être considérées comme provenant du

mouvement, pendant lequel le sommet M se trouve toujours sur cette droite. Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points A-^, A^ reviennent simultanément sur des circonférences tracées des centres (7,, C^.

Donc, toutes les fois que le point M du parallélogramme viendra sur la droite FG, le point A^ se trouvera sur une circonférence tracée du centre C'a par un certain rayon; et, par conséquent, la courbe que décrit le point A^ aura autant d'éléments communs avec un cercle que la courbe tracée par le sommet ilf en a avec la droite FG.

Comme dans le mouvement, où les sommets A, A^ du triangle AAjM se déplacent sur les cercles G, G^ , le sommet M et le point A^ reviendront simultanément, le premier sur la droite FG, le second sur le cercle C^, les positions du triangle AA-^M, dans le mouvement considéré actuellement, pour lesquelles le sommet M se trouve sur la droite FG, seront aussi les mêmes que dans le mouvement où le point A^ est assujetti à se déplacer sur le cercle 0^ et un des points A, A^ sur le cercle C ou Cj.

On voit de là que dans les mouvements des triangles AA^M, A^A^M, considérés à part, les sommets

A,, A, se déplaçant sur les cercles

le sommet M décrira une courbe dont les points d'intersection avec la droite FG seront les mêmes que pour la courbe qu'on obtiendrait, si les sommets A, A^ du triangle AA^M se déplaçaient sur les cercles C, G,.

Cela nous montre que si l'on remplace, dans le parallélogramme donné, le triangle AA^M-^sx le triangle AA^M, ou bien A^A^M, en remplaçant, conformément à cela, le rayon mobile A^G^ ou AG par le rayon A^G^, ni le nombre des points d'intersection avec la droite FG de la courbe que décrit le point M, ui la position de ces points ne seront pas changés.