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pacnpoompa-Hemiux'h wa c9»fs u tn?3 ^e éeAuzuHtt nepeMtsMMOÛ.
ppHjïOKeHie K-fi XLIV tomj Sanacouii ÏÏMnepaToposoS AiianeMiK Hayat, J* 2,
(Lu le S3 décembre i88S.)
Sur le rapport de deux intégrales étendues aux mêmes valeurs de la variable.
§ 1. Le rapport de deux btégrales
r Tudx j Yvâx '
5 aux mêmes valeurs de la variable x et renfermant sous leurs signes des différentielles ayant un facteur commun Y éprouve des variations plus ou moins grandes, quand on change la valeur de ce facteur.
Nous allons montrer maintenant comment se déterminent les limites que ces variations ne peuvent dépasser, lorsque le facteur commun Y conserve la forme d'un polynôme de degré uon supérieur à n. Nous supposerons en même temps que le polyuôtne Y et la fonction v conservent leurs signes dans les limites de l'intégration, ce qui est la condition pour que le rapport
J Yvda:
ne puisse prendre toutes le valeurs de — c» à -i- oo.
Pour simplifier nos formules nous supposerons encore que les
J Yudx, J Yvdx
sont réduites de la sorte que leurs limites soient x = — 1 eta;==-Hl et que le sigue conservé par le polynôme Y et la fonction v dans les limites d'intégration soit le signe -t-.
§ 2. En abordant la détermination des valeurs extrêmes du rapport
I Yudx T Yvdx
dans les conditions posées ci-dessus nous allons démontrer que la plus grande et la plus petite valeur de ce rapport correspondent aux valeurs du polynôme T qui satisfont à l'équation suivante:
Y={l-i-xf{l—xpZ^,
où p =. 0 ou 1 ; po = 0 ou 1 , Z étant un polynôme entier d'un certain degré. Pour le démontrer, soit
la valeur du polynôme Y pour laquelle le rapport
I Twâte jTvda:
atteint sa limite supérieure ou inférieure dans les conditions posées.
Le polynôme Y^ ne changeant pas de signe dans l'intervalle de x= — 1 h x = -t-l, toutes les racines de Téquation
contenues entre — 1 et -h 1 doivent être racines multiples et leurs degrés de multiplicité doivent être pairs.
Désignant ces racines par
et leurs degrés de multiplicité par
et supposant que
désignent les nombres des racines de l'équation
égales à
uous remarquons que le produit
(a; — !c/^' (a;— xf^^ .... (a; — xf^' (1 -t- xf (l — x) '"
représente un polynôme de degré non supérieur à celui de J^, que ce polynôme, comme le polynôme T,, lui-même, conserve le signe -i- dans l'iutervalle dea;= — 1 àiï;^-+-l et que son rapport à Y^ reste fini pour les valeurs de x entre x^ — 1 et a; = --i-l.
D'après cela, TT étant déterminé par l'égalité
(1) U = {x—x^f'''{x~xf^^ (x — xf^'il -t-a;)'{l —xf",
et a étant un infiniment petit, l'expression
représentera un polynôme du même degré que Z^ qui conserve comme celui-ci le signe -i- entre x=: — 1 et a;;= -i-l. Par conséquent la valeur du rapport
ne pourra être ni la plus grande, ni la plus petite t le rapport
arec l'un des deux signes ± de a est supérieur à et avec l'autre — inférieur à cette quantité.
Or pour que cela soit impossible pour « înfinimeût petit, la dérivée par rapport à a de l'expression
J {Yo±a.U)tidi!
Mmme 01
J T^vd-x . J Uudx—j YqUiîx . \ J
pour a = 0 doit être nulle, comme on le sait, ce qui nous donne l'équation suivante;
frovdx
Les polynômes Zq, U et la fonction v restant, d'après ce qui précède, positives entre a; = — 1 et x =: -i-l, les intégrales
J T^vdx, J Uvdx
ont des valeurs différentes de zéro, et dans ce cas il résulte de l'égalité précédente l'équation que voici:
j Taudx jUudx jT^vdiG Juvdx
D'où l'on voit que la plus grande et la plus petite des valeur du rapport
^Yudx JYvdx
correspondent à
U étant déterminé d'après (1) par la formule
. par 0-, ff-Q les quotients et par p, p^ les restes des divisions de V, Vo par 2, nous trouvons
v = 2-T-i-p; Vo = 2CTo-t-po,
où p irr: 0 ou 1 , po^O o« 1. En vertu de cela l'expression Z;=Z7 indiquée ci-dessus qui donne les valeurs limites du rapport
JYudx JTvâx
se réduit à la forme
où
Z=(x — xf'{x — x/^ {x—xf'il-t-xfil—xf".
Ou voit d'après cela que les valeurs extrêmes du rapport
J Yudx JTvdx
dans le cas où le polynôme y de degré non supérieur à n conserve le signe -I- entre x^ — 1 et a: = -+-1, sont égales aux valeurs extrêmes du rapport
fz^il-i-xf {ï — a:)'''>vdx
OÙ p = 0 ou 1, po = 0 ou 1 et 2^ un polynôme pour lequel le degré de l'expression
Z^il-^xYll —xfo ue surpasse pas n.
Posant pour abréger
{l-i-xfil—xfoît = ô^{x), il-i-xyil—xf»v = ûix),
BOUS allons nous occuper maintenant de la recherche du polynôme Z de degré donné pour lequel le rapport
Yz^î(x)âx
atteint sa plus grande ou plus petite valeur. § 3. Remarquant que le rapport
ne change pas de valeur, lorsqu'on multiplie le polynôme Z par un facteur constant quelconque, nous concluons d'une part que le polynôme cherché contient un facteur constant arbitraire et d'autre part que par un choix convenable de ce facteur ou pourra assujetir le polynôme Z à i l'équation
D'ailleurs cette équation ayant lieu, le rapport
jZ^ % (x) dx
se réduit à l'intégrale
Jl^ e (x) dx
^Z^Û^{x)dx,
donc, le polynôme cherché Z pour une certaine valeur du facteur constant
représentera la solution du problême suivant des maxima et minima relatifs:
«Parmi tous les polynômes d'un degré donné et satisfaisant à l'équation
^Z^Û(x)dx—l
trouver ceux qui donnent à l'intégrale
la plus grande ou la plus petite valeur».
Multipliant par des constantes arbitraires les polynômes qui représentent les solutions de ce problême, nous obtiendrons les expressions générales des polynômes pour lesquels le rapport
atteint ses valeurs extrêmes. Quant au polynôme Z qui fournit la plus grande ou la plus petite valeur de l'intégrale
sous la condition
\z^ô(x)dx = ï,
sa recherche présente un cas particulier du problême dont il était question dans nôtre Mémoire, sous le titre: Sur les maxima et minîma des i composées des valeurs d'wie fonction entière et de ses dérivées *). Appliquant aux intégrales
jZ^Û^(x)dx, ^Z^Ô{x)dx
ce que nous avons donné en général à l'égard des sommes et changeant le signe du facteur auxiliaire X, nous trouvons que le polynôme Z de degré m — 1, qui procure le maximum ou le minimum de l'intégrale
sous la condition
\z^Û^{x)dx \Z'd{x)dx=\,
se détermine par l'égalité suivante:
Le produit Z ^s!é:z3JÉ.dz aux termes en x~'" près inclusivement
est égal à une fonction entière.
Cette égalité n'étant pas altérée par l'introduction d'un facteur constant quelconque dans le polynôme Z, l'expression générale de Z qui satisfait à cette égalité renfermera un facteur constant arbitraire.
La valeur de ce facteur se trouve à l'aide de l'égalité
\z^â{x)dx=\
dans la solution du problême des wîœrimtt et minima relatifs indiqué plus haut; en passant de cette expression du polynôme Z à son expression générale qui donne les valeurs extrêmes du rapport
J'z^ll{x)dx
on devra introduire de nouveau d'après les remarques précédentes un facteur constant arbitraire dans l'expression du polynôme Z.
§ 4. Désignaut par V la fouction entière qu'on obtient en développant l'expression
suivant les puissances descendantes de x et par Bj , 5^ .... les coefficients des puisances négatives de a; nous aurons, d'après ce qu'on a vu à l'égard du polynôme cherché Z, l'égalité suivante
^ k (^) - ^9 (^) ^.— r, ^1 . ^^- -,d'oii l'on trouve eu divisant par Z,
z z w-/ — ,, -1- '/.m-t-i ^^ îï^m-i-a ^^ ....
Oh voit d'après cette égalité que la fraction
r z représente la valeur de l'intégrale
inclusivement,
ce qui n'est possible, comme on le sait, que dans le cas oil dans la série des fractions réduites de l'intégrale
qu'on obtient en la développant en fraction continue, se trouve i: égale à
et la fraction réduite suivante ait un dénominateur de degré supérieur à m, ce qui suppose l'abseuce de la fraction réduite au dénominateur de degré m, car le polynôme cherché Z est de degré m — 1.
Cela posé, il est facile de déduire dans chaque cas particulier l'équation à laquelle doit satisfaire la quantité auxiliaire "k et de trouver l'expression des divers polynômes Z pour les différentes valeurs de X qui satisfont à cette équation. Quant au choix parmi ces valeurs de X de celles qui donnent la solution de nôtre problème, il ne présente pas de difficulté; car, comme ou va le voir tout de suite, X est la valeur du rapport
J Za % [a:] dx
Pour nous en convaincre, remarquons que, d'après ce qui précède, dans la série de réduites obtenues par le développement de l'expression
en fraction continue, la fraction ^ est suivie par une fraction ayant un dénominateur de degré supérieur à celui de Zx.
Or dans ce cas, comme il est connu, aura lieu l'égalité suivante
J Z^ [âf, (x) — 10 (x)) dx = 0, d'où il résulte
\Z'ili (x) dx
On Toit d'après cela, que dans la résolution de nôtre problême, exigeant que le rapport
j ZiOç,(x}dx
jz^ e [xj dx
soit le plus grand ou le plus petit possible, il faut adopter pour X la plus grande ou la plus petite de ses valeurs pour lesquelles dans la suite des fractions réduites de l'intégrale
il en manque celle dont le dénominateur est de degré m.
§ 5, L'équation, qui détermine les valeurs de X, et l'expression du polynôme correspondant Z s'obtiennent facilement au moyen du développement de l'intégrale
MflriMif)
ds
en fraction continue. Ayant trouvé la réduite de ce développement au dénominateur de degré m, faisons d'abord disparaître dans les termes de cette fraction les diviseurs contenant la quantité X (ce qu'on peut faire toujours en multipliant le numérateur et le dénominateur par une certaine fonction de X). Le dénominateur prendra la forme
F^ {X) a;'"-H F^ il) x'"^' -i- F^ (X) x"'^^ -t- ,
désignent des fonctions entières de A.
Multipliant cette formule par une constante arbitraire, nous trouvons l'expression (2) CF^ (K) x^^-t- OF^ {1) x""-'-!- CF^ (X) x'^'^-i- ....,
qui embrasse tous les polynômes de degré non supérieur àwiqui, étant multipliés par
donnent un produit qui se réduit à une fonction entière aux termes en x~'^ près inclusivement. Remarquant que le polynôme cherché jouit de cette propriété même, nous concluons qu'il doit être représenté par la formule (2); or, le polynôme Z étant do degré non supérieur km — 1 , le terme en x^ dans cette formule appliquée à la détermination de Z doit disparaître, ce qui entraîne l'équation
En vertu de cette équation, d'après ce qui précède, on obtient pour le polynôme cherché l'expression suivante:
(4) Z ^ VF^ Çk) ic""' -I- Cf; (X) x™"^-!-
En déterminant la plus grande et la plus petite racine de l'équation
nous trouverons la plus grande et la plus petite valeur du rapport
f Z^ lia {«) dx
7/'l)(x)dx
z étant un polynôme de degré m — 1 . Les expressions de Z pour lesquelles ce rapport atteint ses valeurs extrêmes sont données par la formule (4), quand on y remplace X par la plus grande et la plus petite racine de l'équation (3).
§ 6. Nous allons nous occuper mainteiiant d'uu cas particulier, où les valeurs extrêmes du rapport
et les valeurs correspondantes du polynôme Z s'obtiennent de la manière la plus simple d'après ce qui a été exposé. Ce cas aura lieu lorsque
L'intégrale se réduit dans ce cas à
or, en considérant la dernière intégrale comme limite de la somme
nous trouverons, en vertu de ce que nous avons montré dans le Mémoire sous le titre «Sur les fractions continues» *), que le dénominateur de la m-"""" réduite de l'intégrale
ti-MË)
ds
s'exprime â l'aide de 4'm-.-i(^)! Im(^) c'est-à-dire à l'aide des dénominateurs de la {m-i-l)-'*"e et m-'™" réduites de l'intégrale
fia*.,
par la formule (5)
Les fonctioûs 4-^^^ (x), <\i^ (x) étant respectivement de degrés m-t-1, m, le terme le plus élevé du polynôme représenté par cette formule sera de la forme
et par conséquent dans le cas considéré l'équation qui détermine la valeur de X sera:
D'après ce qui a été démontré dans le § précédent la plus grande et la plus petite racine de cette équation donneront les valeurs extrêmes du rapport
) Z^(t(x)dx
Pour déterminer les valeurs correspondantes du polynôme Z, multiplions d'après le § 5 la formule (5) par une constante arbitraire Cet prenons pour -X les deux racines nommées ci-dessus de l'équation t};», W = 0-
On aura ainsi pour le polynôme cherché Z l'expression suivante:
qui peut être représentée par en posant
Dans le cas particulier où l'on a
d{x)~\, les dénominateurs
i réduites de l'intégrale
r8(g)da [ dg
se réduisent, comme on sait, aux foiictious de Legendre
Par conséquent la plus grande et la plus petite racine de l'équation
représentent les valeurs extrêmes du rapport
J Z^xâx
Z étant un polynôme de degré m — 1 . En faisant dans la formule
Xégal à ces racines, nous aurons les expressions des polynômes pour lesquels ce rapport atteint ces valeurs extrêmes.
§ 7. Après avoir montré comment se déterminent les valeurs extrêmes du rapport
J" Z»Oo{x)dx J 2« fl {ici dx
Z étant un polynôme de degré donné, revenons maintenant à nôtre problême de la recherche du maximum et du minimum du rapport
'frtidx
\Yvâx
Y étaut un polynôme de degré n et conservant le signe -+■ entre x = — I et a; ^ -!- 1. Ces valeurs extrêmes du rapport
JYvâx
comme on l'a vu dans le § 2, seront égales aux limites que le rapport
JZ^ (1 -i-a^)'' (I — xpvâx
ne peut dépasser, lorsque p ^ 0 ou 1, p^ ^ 0 ou 1 , Z étant un polynôme de degré non supérieur à "~^~^°. Désignant par E " ~ ^^^-" le plus grand nombre entier contenu dans " ~ ^~ ''" et remarquant que l'expression générale d'uu polynôme de degré E " ~ p "~.Po. renferme comme cas particuliers les polynômes de tous les degrés inférieurs, nous trouverons ces limites d'après ce qu'on a vu dans les §§ 2 et 3, en posant
Û^{x) = (1 ■+-xf (l—xf^u, 0{x)={l-*-4 (l—xfv, (6) m~l=E''~^~^,
et en faisant à l'égard des nombres p, p^ les 4 suppositions suivantes;
1) p = 0, po = 0,
2) p=:l, po = 0, 3)p = 0, po=l, 4) p=l, p,= l.
Les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs extrêmes du rapport
fz^^ï-i-xf (l—xpuda;
JZ^ (1 ->-xf (1 -^ xfo Vax
pour ces valeurs des p, po et les valeurs correspondantes de m — 1, seront les limites du rapport
J Yudx J Yvdx
le polynôme T étant de degré non supérieur à n et conservant le signe -ieiitrea; = — 1 etai=:-f-l.
§ 8. Nous allons montrer mamtenant comment ces limites se trourent dans un cas singulièrement simple, savoir, quand it, = xv. Pour une telle valeur de u, d'après § 6, les valeurs extrêmes du rapport
j Z^{l-f-xf {l—xf^vàx
pour un polynôme Z de degré m — 1 , seront égales à la plus grande et la plus petite racine de l'équation
i|/,„ (x) étant le dénominateur de la m-i*"'= réduite de l'intégrale
qu'on obtient par le développement de cette intégrale en fraction continue. Pour trouver les valeurs extrêmes de ce rapport^ qui sont d'après ce qui précède les limites du rapport
J Yxudx
fV.
lorsque le polynôme Y est de degré non supérieur à « et reste positif entre a; = ' — 1 et x=^-t-l, nous devons considérer 4 hypothèses à l'égard des nomlire p, p^:
p = 0, po = 0,
en leur faisant correspondre les valeurs suivantes de m: (7) ».=Ei^, », = E^>, «, = El±i, ». = E|-
Désignant par
tS'Wi W(»^). CW. lï'W
î fonctions auxquelles se réduit la fonction tp^ {x) pour les valeurs précéj p, Pu , nous reraarquous que les plus grandes et les plus petites des racines des équations
(8) +™ W = 0. «W = 0- ¥zm = 0. « W = 0
seront égales aux valeurs extrêmes du rapport
J Z^{l-i-xf (\—xf°udx
et parmi celles-ci la plus grande et la plus petite sei'ont les valeurs extrêmes du rapport
j Yxudx JyuAc
dans les couditions posées.
Passant à la détermination des fonctions
'k'-^ii^), ^^'{a^)= 4'i^'(*), 4-™ (i»)
pour différentes valeurs de m, nous remarquons d'abord que la première entre elles
correspondante à
se trouvera à l'aide du développement de l'intégrale
en fractioQ continue, cette fonction étant comme on l'a vu le dénominateur de la «î-me réduite.
D'après la formule (5), en y faisant >. = zï::1 et remplaçant «^^ (œ), ^OT+if^) P*^ ¥m{^), M^+i{^), ûous trouverons les expressions suivantes des fonctions ^'^ (^)î 4'«'C^) 1«'oii détermine à l'aide du développement des intégrales
I (l-l-«)«liî j (I— S)»lfo ,
en fractions coutinues:
(9) ff (,.) *-' '- " *■*■ W - ^^' '- " *" "",
(10) ^g,(,)^tf'c)e.w-e.Mtf'w.
Par la même formule, en y remplaçant ^^^(i^), ^^.hiH par |^*(a;), 4*^1 {^) ^* posaot X= 1 , BOUS trouverons l'expression suivante de la fonction \f*'(x) qui se détermine par le développement de l'intégrale
à l'aide de la fonction i|/'j' {x) déterminée par le développement de l'intégrale
à savoir
En substituant dans la dernière égalité les expressions des fonctions 4-™ (te), 1^1 (ic) tirées de (10), nous trouverons qu'elle se réduit à la suivante
(11) ^<;,(,)=«ai.w-»jai.w^«gw^
où
■M"=%^['K=(i)'H:'(-i)-W(i)+2ii(-i)],
jy=%^[«>(i)4'ïl.(-iMSi-.(i)+ïï-»(-i)]-
C'est ainsi qu'on trouvera toutes les fonctions qui figurent dans l'équation (8). Quant aux nombres
m^, m^, Mg, m^,
qui déterminent les degrés de ces équations, on trouve d'après (7) en posant
n = 2l, les égalités
et posant
ou aura
§ 9. Dans le cas particulier où
M:= 1, les fonctions
représentant les dénominateurs des fractions réduites au développement de l'intégrale
en fraction continue, se réduisent, comme il a été déjà remarqué dans le § 6, aux fonctions de Legendre
Xj, Zg, Xg, ;
et par suite dans le cas considéré nous aurons
en vertu des propriétés des fonctions de Legendre on aura dans ce cas
|ii>(- 1) = +£\.,(- 1) = (- 1)"; «,(-!)= -(- 1)"; d'après cela les équatious (9), (10) et (11) nous donnent
tf (X) = (— 1)" ^"'*l"'"i^"';
«'w={-ir%>^-
Remarquant d'ailleui-s que d'après les propriétés des fonctions de Legendre
nous trouvons que la dernière des formules précédentes conduit à l'expression suivante de la fonction ']/^ {x) ;
11 en suit d'après le § 8 que les valeurs extrêmes du rapport
fTâx
-1 etx=-t~\, se trouveront au
le polynôme T restant positif entre x = — 1 et x
moyen des équations
WW — ^'*'~i^' — 0.
«(^)=(-iy|^%^
lorsque le degré de T n'est pas supérieur à 21, et au moyeu des équatiou! '!/il{x) = Xi = 0,
lorsque le c
ww
J/'il W = (- 1)'"' 'IZl ""'IT-^'"' '
! de Y n'est par supérieur à 21- — 1.
§ 10. Au moyen de c du rapport
lations nous trouverons la limite supérieure
fYd.
en déterminant la plus grande quantité qui satisfait à une équation quelconque parmi les équations (12) ou (13), selon que la limite du degré du polynôme Test égale à 2^ ou à 2^ — 1.
Cela se fait facilement en vertu des propriétés des fonctions de Legendre.
La fonction de Legendre X^ admet toujours, comme on le sait, des valeurs de signes contraires pour deux racines consécutives de l'équation
donc, il est certain que dans chacun des l intervalles entre ces dernières se trouvent des racines des équations de degré l
D'où l'on voit que toutes les racines des équations précédentes sont plus petites que la plus grande racine de l'équation
par conséquent c'est cette dernière racine qui représente la plus grande des quantités qui satisfont à l'une quelconque des équations (12), En appliquant les mêmes raisonnements aux équations
nous nous convaincons de ce que toutes les racines de l'équation
seront moindres que la plus grande racine de l'équation
Cette racine surpassera en même temps tontes les racines de l'équation
parceque, d'après ce qui précède, ces dernières sont plus petites que la plus grande des racines de l'équation
et que d'ailleurs, comme il est connu, dans l'intervalle entre cette racine et la plus grande racine de l'équation
la fonction X^^^^ conserve le signe —, et la fonction X, le signe h-, ce qui entraîne certainement l'impossibilité d'une racine de l'équation
supérieure à la plus grande des racines de l'équation X— 0.
Or remarquant que pour cette raciue la valeur de la fonction Xl^^ a le signe — , nous concluons que cette racine sera elle-même inférieure à la plus grande racine de l'équation
<-Xi
D'où l'on voit que la plus grande quantité de toutes celles qui satisfont à l'une quelconque des équations (13) est la plus grande racine de l'équation
qui, après la suppression du diviseur x-i-1, qui n'influt pas sur la valeur do cette racine, se réduit à la suivante:
§ 11. De ce que nous avons démontré à l'égard des quantités les plus grandes de celles qui satisfont aux équations (12) et (13) il suit que la limite supérieure du rapport
le polynôme T restant positif entre a;= — 1 etir = -f-l, sera égale à la plus grande racine de l'équation
ou de l'équation
selon que la limite supérieure du degré du polynôme T est égale b. 21 ou k 21 — 1. Remarquant que la formule
JYxdx J Ydx
est également susceptible de donner des valeurs positives ainsi que des valeurs négatives nous concluons que les limites supérieures de sa valeur, déterminées de la manière indiquée, représentent en mêmes temps les limites supérieures de ses valeurs numériques.
D'ailleurs, le rapport
ne changeant pas de valeur par le changement de T en — T, on voit que les limites de ce rapport déterminées dans la supposition que T conserve le signe -H entre x^ — 1 eta;=:-i-l auront lieu aussi dans le cas ofi Y conserve le signe — entre x = — 1 et ic^-i-l, et par suite lorsque en général Y ne change pas de signe dans l'intervalle donné.
C'est ainsi qu'on obtient, en vertu de ce que nous avons démontré à l'égard de la limite supérieure du rapport
{Txdx
J rd
le théorème suivant:
Théorème.
Si Y désigne un polynôme qui ne change pas de signe entre x= ~1 et x=:-t~l et dont le degré ne surpasse pas n, la valeur numérique du rapport
JYxdx
ne surpasse pas la plus grande racine de l'équation X,^j = 0 om X;^i -f- Xj = 0, selon qu'on a « = 2^ ou *i=2^ — 1, où X^, Xj^j désignent les fonctions de Legendre des degrés letl-\-l.
% 12. Nous allons montrer maintenant une application du théorème démontré. Soit ABC un arc d'une courbe parabolique dont l'équation en coordonnées rectangulaires est:
Si cet arc de courbe entre les points ^ et C va toujours en s'élevant ou en s'abaissant et n'offre point d'inflexions, il ne peut couper ui la corde AC, ni les droites AI), CD menées parallèllement aux axes de coordonnées par ses extrémités A et G; par conséquent le segment ABC représentera une partie du triangle rectangulaire formé par la corde AG et les droites
AD, DG parallèles aux axes des coordonnées. On voit d'après cela que le rapport
Begmeitt ^CB triangle ACD
sera toujours plus petit que 1, quel que soit le degré de la courbe parabolique. D'ailleurs pour tout degré donné le rapport
segment jiCB triaagle AOD
aura pour limite une quantité inférieure à 1.
C'est cette valeur limite du rapport
segment AOS triangle ACD '
que le théorème démontré va nous donner, comme nous allons le voir tout de suite.
Désignant par
3^0, 2/o, ^i, Vi
les coordonnés des points A, G et remarquant que y = f{x\ nous trouverons
AI)==x^~x^, CD=y,—% = f(x,) — f{x,), ce qui nous donne l'expression de l'aire du triangle ACD que voici:
ce qu'on peut représenter sous la forme:
