L ^um **(") J
Eu remarquant que y, , étant le coefficient de x dans un des quotients incomplets de la fraction continue résultante du développement delà somme
2 2/f x — Xi'
doit, d'après le § 2, avoir une valeur positive, on conclut que pour la possibilité de l'hypothèse considérée
cette fraction doit être inférieure à zéro, ce qui est directement contraire au résultat obteau dans l'hypothèse
Quant aux hypothèses
tj = 0, <j, = l,
on aura pour ces valeurs de a, o-j et pour l^2k-i-'l, d'après la formule (19),
Il en résulte que dans ces hypothèses les équations (13) contiendront le même nombre d'inconnues que dans l'hypothèse
par conséquent, leurs solutions, si elles sont seulement possibles, s'obtiendront par les formules que nous avons trouvées pour le cas
§ 15. On voit, de ce que nous avons démontré, que dans le cas de l impair ils n'existent pas non plus deux systèmes différents de quantités
satisfaisant aux demandes de notre problème; par conséquent, les valeurs de CCS inconnues obtenues par les formules démontrées doivent donner le maximum cherché de la somme
D'après ces formules, pour l=2k-i-l, la résolution des équations (13) se ramène, comme nous avons vu, anx équations (4), le nombre n étant égal ou à h-t-l, ou à h-t-2. Le premier casalieu, si la valeur de la fraction
î ri*r^i*=ii^"l,y
est plus grande que zéro, le second cas, si elle est inférieure à zéro. Dans le premier cas on a
dans le second
où pour
de même que pour
on détermine les quantités
X„, it,,.
■ • -yq—it Vqi
par l'égalité
Dans cette égalité les quantités sont égales à celles, qui sont contenues dans la fraction continue
résultante du développement de l'expression
On c, a Cj,
la détermination des autres quantités est différente, suivant que n ^ & -f- 1 OH «=ft-H2. Dans le premier cas on a
dans le second cas
R 'l'i-. (") C' - ") ppi ■■ . ,. ^ C-pF r (i-p)(ap-i-)
P„l— ^^.(„, i p «*-^i «. °^n— (ù a)îpp.' Pn— (& - «)^ pp, '
où les quantités auxiliaires p, p^ sont déterminées par les formules indiquées dans le § 14.
En portant les quantités indiquées plus haut
dans la formule
et dans l'équation (15), ou aura daus le premier cas
-X = ;/o-i-2/,-i-....-i-î/^,, x,^^ = v, et dans le second cas
En posant dans le premier cas et dans le second cas on conclut que dans les deux cas auront lieu les égalités
il eu résulte, comme cela était indiqué dans le § 12, la formule suivaute pour la détermination de la somme X au moyen du symbole ^:
% 16. La méthode que nous avons employée pour déterminer le maximum de la somme
X =2 II? = u^
peut être aussi appliquée à la recherche de la plus grande valeur de la somme
En désignant la dernière somme par X^, on a
Si
Cette somme, comme il n'est pas difficile de remarquer, se ramène à celle que nous avons considérée, en ymettant^^ — i — 1 au lieu de i et posant
Il en résulte que les formules obtenues antérieurement se ramènent à celles, qui ont lieu pour la nouvelle somme, en y effectuant tous les cliangements produits par le remplacement de * par p — i — 1.
En posant
on trouve, que la somme p
se ramène à la somme
ayant, la même forme que la somme
les équations (15) donnent
les équations (IS)**'^ deviennent
mais les équations (13) conservent leur forme avec le seul changement de s, îi en Z, U.
Il en résulte qu'en changeant a en 5, ft en « et îj en w dans les formules obtenues pour
donnant le maximum de la somme
on obtient les formules, qui donnent les valeurs Z„, Z,,.... Zp,,
correspondant au maximum de la somme
pour
Puisqu'il est clair d'après la composition des formules obtenues dans les §§ 8, 9, 10, 11, 12, 13, que les équations qui déterminent les quantités
restent invariables, quand on y change a en h, h en a, on conclut que tout
ce que nous avons dit sur la détermination de ces quantités est aussi applicable à la détermination t
Pour cette raison les valeurs des inconnues donnant le maximum cherché pour l=2k ou l=2h-i~\ seront déterminées au moyen de la fraction continue
résultante du développement de l'expression
Cette fraction, comme nous avons montré dans les §§ 8, 9, 10, II, 12, 13, 14, 15, détermine la fraction continue
donnant la solution de notre problème, n étant égal à li-\- 1 ou h -+- 2. En désignant par
înJâ
la fraction simple égale à la fraction continue, on obtient l'équation servant à déterminer
et la formule
pour la détermination de Ï7/.
Passant à la détermination de la somme
et remarquant, d'après ce que nous avons dit plus haut, que les quantités
forment une série décroissante, depuis Zo = 6 jusqu'à Z = w, on trouve au moyen de cette formule que le maximum cherché se présente à l'aide du symbole £, de la manière suivante :
' •i/ni^)
SOR LE DEVELOPPEMENT EN FRACTIONS CON- TiNOES DES SÉRÎES PROCÉDANT SDIVANT LES PUISSANCES DÉCROISSANTES DE LA VARIABLE.
(THADUÏ^ Ï>AR ■£. G. MLODXKJBVSKY.)
(Im h 13 mai 1892.)
(IIpHJioffiaiiie Kl. LXXI-uy louj SamicoKi. TiMnepaTopcKoS Anuflentiu HayKt, M 3.)
Sur le développement en fractions continues des séries procédant suivant les puissances décroissantes de la variable.
§ 1 . D'après ce que nous avons montré au sujet des valeurs limites dos intégrales et des sommes ^')) sous les signes desquelles la fonction inconnue ne devient pas inférieure à zéro, on voit que ces valeurs s'obtiennent au moyen des fractions réduites que l'on obtient en développant la série
en fraction continue.
Les coefficients
dans cette série sont des quantités données, d'après lesquelles on cherche les valeurs limites des intégrales ou des sommes.
Lorsque le nombre des données augmente, la difficulté de déterminer les réduites nécessaires de la série
|Ha-HaH-...,
en la développant en fraction continue, croît rapidement; elle devient même insurmontable si l'on veut avoir des formules générales fournissant les limites cherchées pour un nombre des données arbitrairement grand.
Jusqu'à présent ces formules ne peuvent être trouvées que dans les cas exceptionnels, où, grâce à la forme des coefiicients
Co, c;, 0,,...,
*) Sur la représentation des vaietirs limites des intégrales par des résidus intégraux. T. If, pag. é21-440.
Swr les sotmneB composées des valeurs de monômes svmfies mnUipliés par une fonction qui reste toujours positive. T. II, pag. 561 — 610.
appartient au petit nombre des expressions dont les réduites peuvent être obtenues, à l'état actuel de l'Analyse, sans le secours des fractions continues. Dans chacun de ces ces toutes les réduites de la série
peuvent être représentées par une formule unique dépendant d'un nombre entier positif arbitraire qui est déterminé par le degré du dénominateur. En prenant successivement pour ce nombre
nous trouvons au moyeu de cette formule une série de fractions réduites qui peut être prolongée aussi loin qu'on le veut. En supposant que ces réduites, qui s'obtiennent par la formule générale unique, correspondent au cas particulier, où dans la série
les coefficients ont les valeurs
nous allons montrer ici, comment on pourra en faire usage pour déterminer les réduites de la série
lorsque les coefficients
diffèrent plus ou moins de C(„ Cj, c^, . . .
En nous reportant à ce que nous avons montré sur les fractions continues provenant du développement des séries, qui se présentent dans la recherche des valeurs limites des sommes et des intégrales, nous supposerons que la série
l)cut èti-e développée eu fraction continue
ou *
«i>0, a^>0, a3>U, En désignant par
les réduites, nous observons, d'après ce que nous avons montré dans les Mémoires cités, que les équations
seront des degrés
que leurs raciaes seront réelles et qu'entre deux racines successives de l'équation
se trouvera une racine de l'équation
tj;^j (x) — 0 pour toute valeur de n.
Afin de simplifier nos formules, nous nous bornerons à la supposition que les racines de toutes ces équations sont toutes plus grandes que zéro, comme cela a lieu dans les cas les plus intéressants par leurs applications et comme cela peut être toujours réalisé par un changement convenable de la variable x. Dans cette supposition toutes les racines des équations
auront des valeurs réelles positives, et par suite leurs premiers membres
seront des polynômes à termes alternés dont les premiers termes auront le signe -i-, puisque dans la fraction continue
^-■-Pî-T
F-Ps-
l'ou a, comme nous l'avons dit plus haut,
D'après cela, en déterminant les signes des fonctions
pour
x=0, a; = — ^ < 0, x = — oo,
nous trouvons que pour toutes les valeurs de n, l'on aura
(2) (-l)"tj>„(0)>0; (-l)"4,„(-a)>0; (— 1)"^„(— oo)>0.
§ 2. Passant au cas, où les coefficients
Co, G,, G,,...
de la série
|.Ha-Ha-^...
diffèrent plus ou moins de
nous poserons
Go==Ca—ea, (7j — c^H-ei, 0^ = 0^ — 63,...
et nous désignerons par W, W^ les fonctions définies par les égalités
(S) H.. = ft iH-||-H...,
d'où il vient
X x^ X* X afl x^ "
Pour déterminer celle des réduites de l'expression
dont le déuominateur est du degré m (si une telle réduite existe), dési uona-la par
Puisque, comme nous l'avons dit, les fonctions l-iW. +>(«=), 'l'aW,---
sont des degrés
I, 2, 3,..., la fonction
sera du même degré que i|j„, (ic) et par conséquent nous aurons
(<) Vm('')= s„ t ¥) ■*- »„ ¥},
y^ étant une coustaute diftërente de zéro et 0„(Si) un polynôme dont le degré ne dépasse pas m — 1. Avec cette décomposition du dénominateur la réduite cherchée prendra la forme
En calculant la différence entre cette fraction et la fonction nous trouvons qu'elle est égale à l'expression fractionnaire
WO,^ jx) - Q^ {x) - (g^ ^,„ jx) H- g^ i<c)) Wq -f- g^ ^^ (X) w
Comme ie dénominateur est ici du degré m et que l'expression ellemême, représentant la différence entre la fonction
doit être d'un degré inférieur à —2m, il s'ensuit que le degré du numérateur
doit être inférieur à — m\ or, pour cela il faut et il suffit que la différence
donne l'expression de la fonction
exacte jusqu'aux termes eu ^~'" inclusivement. D'après cela, par les formules énoncées par nous dans une lettre au professeur Braschmann*) et démontrées dans un Mémoire intitulé; Bar le développement des fonctions en séries au moyen des fractions continues **), on peut trouver le développement du polynôme 0^ (x) suivant les fonctions
En effet, en appliquant les formules obtenues dans le § 10 du Mémoire cité à la détermination du polynôme â^ (x) de degré »î — 1 au plus, avec lequel l'expression
*)T. I, pag. 611—614.
*■") T. I, pag. 617-636.
Î2^(ic) étant une fonction entière, puisse représenter le plus oxactemeiit possible «ue fonction quelconque F{x) et en supposant que W se développe en fraction continue
dont les réduites soient
^ Pg. ^
nous trouvons
(5) 0„M) = Ai'iQi~AhCà-^--- — i~^TA.L^^,,„
où
désignent les coefficients des termes en — dans les produits
Le polynôme 0^{x) étant déterminé par cette formule et £i„, (a^) étant convenablement choisi, rexpression
représentera la fonction F{x) avec la plus grande exactitude qui soit possible lorsque le degré de (9,„(»0 ne dépasse pas m- — 1. Puisque la formule
Wô^{x) — n,^{x) donne la fonction
au moins jusqu'au terme en x~"* inclusivement et puisque pour tout autre polynôme, dontledegré ne dépasse par m — 1, l'exactitude de cette formule ne peut pas atteindre cette limite, nous concluons de ce qui a été dit sur la détermination du polynôme û^{x) entrant dans l'expression (4) de ^{x) que 6^^ (x) doit satisfaire à l'égalité (5) dans le cas, où
(6) F('^) = i9„,^,ni^)-^^m(^)) Tfc— i'^K(^) W et
On voit de la dernière égalité que l'on a ici et que les dénominateurs
i réduites de la fraction continue
^j a; -*- itj -+" ^ ^ i^ jg , , ont les valeurs ' '
En trouvant d'après cela
nous concluons de la définition des quantités
que les coefficients
j4,L,, jia-Lg, -^3-Zvai- • ■ dans l'égalité (5) sont les coefficients de ~— dans les produits
et qu'ils peuvent par conséquent être représentés par les expressions
A^i=[«M^Wm^ Ah=—[^M^Wm. Ah=—l'^3U^Wi^)lr.-,
si nous convenons de désigner le coefficient de — dans le développement d'une fonction quelconque F suivant les puissances descendantes de z par
En portant dans l'équation (5) ces valeurs des coefficients
ainsi que les expressions obtenues plus haut pour les fonctions (y,, Q^, ().,..., nous trouvons que cette équation devient
et, en posant
(7) «m(a',») = «,'|'.W'|'.W-H'','l'iW')'.W-l---»-«„|„,(il!)4;„,(i.),
nous trouvons
d'où, en y portant l'expression de la fonction F{x) définie par la formulo (6), nous obtenons pour déterminer le polynôme cherché 0^ (x) cette équation
ou bien
Dans cette égalité le produit
d'après la propriété des réduites, ne différera de la fonction entière ç„,(^) que par les termes de degrés inférieurs à — m, tandis que la l'onction ^m (*) ■^)) d'après (7), est du degré m — 1 ; donc l'expression
ne contiendra pas de terme en -jl P^^' ^^'^^ l'oQ ^.ura b„*.(»:,«)tW '»']. = 0, et l'équation que nous avons obtenue se réduira à celle-ci (9) û^,{x) = [0,„{x,2) {g,„^^i^)'^â^i^)) Wol,
où, d'après la formule (7), la fonction 0^^ {x, z) est exprimée par
sous la forme d'une somme de m termes symétriques par rapport h x, ^ et dont les degrés par rapport à chacune de ces deux variables ne dépassent pas m—l.
Il n'est pas difficile de trouver l'expression de cette fonction sous la forme d'une fraction très simple ne contenant que '{'m— it^)» 'i^m(^)*
Pour cela nous observons que l'équation (7) multipliée par œ donne
Comme les dénominateurs
dus réduites de la fraction contieue
Kl œ-t-Bj-
satisfont aux égalités
+„(ï)=(«„ï-H ()J i^„,W — fc,(ir),
d'où il résulte
«^ X']/^ (x) = i(;j (x) — Pj i|jq (x),
ci^a>]>,(x) = '\>^{x) — %'^^{x)-t-'\>^{x),
*m ^m— 1 (^) = 'î'm (^) — Pm ^m— i (^) "^ '^m— 2 (^)'
cette équation se réduit à la suivante
^''^,(^,^) = ['-f'i(^)-Pii(^)]4'o(^)-^[4'ï(^)-^.^iC^)H-i{^)]^iW-«-.-
En calculant do même le produit
x0^ {x, s), nous trouvons
,0^ (x, z) = [+, (^) - p, ■!.,{.)] 4.„ (a;) + [4;, (^) - p, 4-, [z) H- 1« (^)] ^, {X) -t-... ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne
En divisant par x — s, nous obtenons pour déterminer la fonction ^m ('''j ^) ^* formule (10) 0,„{a;, z) = 'l''»-»W^'«.<-^]-^>»W^-».-.(^).
§ 3. Passant aux applications des formules que nous venons d'obtenir, nous commencerons par le cas particulier ou la série
se réduit à la fraction
a(x-*-h)'' ce qui a lieu pour
Nous supposerons la quantité h toujours positive et //"quelconque. En posant dans ce cas particulier dans la formule (9)
nous obtenons pour déterminer le polynôme ô^(x) l'équation
«„« = [«-(=»,') (»,+.W-<-«»W) jrFT»)].-
Pour en déduire l'expression du polynôme cherché â^{x), nous observons que la fonction
Hi^^h) '
après que l'on en a retranché la partie entière
g«. </m (^) -t- flm (^) - 9m ^m (- J^) - "m i' ^
qui n'influe pas sur la quantité
[«„ (^, ') {«,. +„ (?) H- »,. W) BTÀrjj].. se réduit à la fraction
ce qui donne
Si de même nous retrau(;hous ici de la fonction
sa partie entière nons aurons
D'où, en vertu de l'égalité il vient
Itar suite, l'expression du polynôme 0^{x) que nous venons d'obtenir se réduit à celle-ci
Nous déterminerons la constante inconnue qui figure dans cette expression de la fonction (9„, {x), en observant que pour x~ — h elle donne l'équation
d'où l'on obtieut
/; ( l) — ffm 'i'm (- ^ ^m (- K ~- ^ . '^m \— "') — H~0^(-h,-h)
En posant pour abréger
noas avons d'après cette formule
a ( 7,i gffl']'»i(-^]-gOT.
"m, \ 'V — jî- JL^ >
et l'expression obtenue pour ^^(ic) se réduit à la suivante
En portant cette expression du poljnôme O^i^) dans l'égalité (4) qui détermine le dénominateur \P"„, (a;) de la réduite
de l'expression
dont le degré est égal à m, nous trouvons que dans le cas particulier que nous considérons, où
ce dénominateur est déterminé par la formule
Quant au numérateur Q,^ [^ de cette fraction, nous le trouverons en multipliant W — W^ par "^^{^ et en négligeant dans le produit les termes de degrés négatifs.
§ 4. Les formules que l'on obtient de cette manière pour
contiennent le facteur constant ^,„ qui reste indétenniné. Comme c'est un facteur commun des fonctions
a„,(3;), ^',^{%\ il disparait dans la fraction
^«i(^)' il reste donc complètement arbitraire, si, en déterminant les fonctions
on n'a en vue que de faire approcher le plus possible la fraction
comme nous l'avons fait jusqu'ici. Passons maintenant à la supposition que la fraction que nous considérons
s'obtient du développement de la fonction
en fraction continue
sont des fonctions entières.
En désignant par
ses réduites, où
nous observons que parmi elles il doit se trouver une fraction dont le dénominateur est du degré m, si la différence
n'est pas nulle. En effet, on pourra déterminer ici par la formule (13) nn dénominateur du degré m tel que la fraction
donne l'expression de la fonction
h la quantité
inclusivement près, et cela ne peut pas avoir lieu si la fraction n'appartient pas à la série
J^ ;^ Pj
des réduites de la fonctiou
obtenues par le développement de cette fonction en fraction continue
II en résuite que, le facteur constant g^ étant convenablement choisi dans la formule (13), cette formule fournit la fonction T^ (œ) égale à l'un des dénominateurs
De là, en répétant le même raisonnement après avoir remplacé m par 1, 2,. . ,m — 1, nous concluons que, les facteurs
9lt 9a- • -ffm—i^ 9m étant convenablement choisis, la formule (13) fera connaître les fonctions
qui ont leurs égales dans la série des dénominateurs
lorsque aucune des équations
(15) ff=fl;, H = H^,. ..H^H„^, H=H^ n'est satisfaite.
Puisque les degrés de ces dénominateurs forment une série croissante et que les fonctions
d'après la formule (13), sont des degrés
les deux séries de foDctions ne peuvent coïncider que si l'on a
(16) ■V,(x) = Q„ ^aH = «ï---^«.-.(^)^^m,. ^^(*)=<3«; ités nous serviront à déterminer les facteurs constants
qui entrent dans les expressions des fonctions
§ 5. Passant à la détermination de ces facteurs, nous observons que, d'après (14), les égalités (16) ne peuvent avoir Heu que dans le cas, où les quotients incomplets
contiennent x au premier degré et où, par conséquent, q^ est représenté par la formule
Pn» 'n étant des constantes. En portant cette expression de q^ dans l'équation
à laquelle d'après (14) doivent satisfaire les dénominateurs Q„^j ^n— i' ^n' nous trouvons pour n^m, la relation
qui donue d'après (16)
T„ (a:) = iF„j (x) (p„ .a; + ff J — ^„, (x). Pour en déduire les équations qui déterminent les quantités
introduisons-y les expressions des fonctions
que nous tirerons de (13), eu y remplaçant
^„(^i — *)i ^„-i(^) — *)) *„— ïC^ï — ^)
par leurs expressions que nous obtiendrons de (10), en y posant jh = n, n — 1, n—2. Cela nous fournira l'équation
„ r-l. M ■ '!'■.(- '')'i'n-i(-ft)K(^)"K(-ft)'i'«-iW|
an — s |Tn — j\ J ^ — ^n— î x-hA J'
d'où, eu multipliant par 2;-+-A, nous déduisons -*-»» TT=W„ »»-. (- *) fc W - fc (- *) t- , «]
-^9»-. l'île f*»- (- *) •I'.-' (''> - <'—>(- *> ■^»-. (»'>i = "■
Dans cette formule les fonctions
étant les dénominateurs des réduites
de l'expression
sont liées par Féquation
Par suite, le facteur qui multiplie x~i-h devient par l'élimination de '^^ (x)
En observant que le produit du premier terme de cette expression par x-i-h est du degré « --i- 1 et que les degrés de tous les autres termes de l'égalité que nous considérons sont inférieurs à «m-I, nous concluons que cette égalité ne peut avoir lieu que si ce terme disparait et que par conséquent ou doit avoir
Cela posé, l'égalité dont ils'agit se réduit à celle-ci:
Pour en chasser les produits nous trouvons d'après (17)
Tn— 1\ ' a„
et, en remplaçant n par i* — 1 ,
^4,^__ (^) = <-.-,w-»,-.K-.wh-%^.w.
En portant ces valeurs des produits
dans l'égalité en question nous obtenons
r» „ , „ p. gn~. ■>— 1 (- ») ^.-» (-MI ^«W-S»'t.^i(«) + t— ,W LP»*.— ".A-, H-H,^, J i-
-^ [* (9.-.-».) H- ""V-X-,'"'" "*- "—^vil^f :>;-'-*'] fc^, w
Le premier membre de cette égalité est la somme algébrique des foiic-
tiODS
'\i„(x), 4'n— 1(^)' 'l'rt— ï(*)î 4'»— 3(^)'
multipliées par des constantes qui doivent se réduirci à zéro pour que cette somme formée des fonctions
de degrés
n, n — 1, n — 2, n — 3, s'annule identiquement.
B'après cela, eu rassemblant les termes en
et en égalant leurs coefficients à zéro, nous obtenons ces deux équations
a„, ij:„i{-H — ^„i) H—H„^ ~ '
En y mettant, d'après (18),
à la place de p„, nous avons deux équations qui nous donnent
^ g- g„t g - gn i — «n^i <'\-^i (- fe)
Les quantités
qui y eutrent s'obtieudront par la formule (11) pour m = n, n — 1, n — 2. Eq portant liaos cette formule l'expression (7) de la fonction
et eu y posant m — n, nous trouvons que H^ est déterminé par la formule
(21) ^„ = «,i^— fe)-f'«,^,='(— ft)-+...-f-«„f„^(-A).
En remplaçant ici « par n — 1, n — 2 et en comparant les expressions de H^, J9„,, Jï„__j obtenues de ces formules, nous observons qu'elles satisfont aux équations
qui donnent
«.+'»-,(-») = »„--&»-,; «,,f.,(-*) = fl'^-H„^;
par conséquent l'expression du rapport
se réduit après l'élimination des quantités à celle qui suit:
En y posant successivement
et en multipliant entre elles les égalités résultantes, nous obtenons, les réductions faites,
!fm
(U- ir„,F (ff- ll„,f. ■ AU- if„-jp-„)'
Sm—ip-^^ (Jï-
- if,) (H- -s„-j' (zr- H„^l>. . .<-H- H,^^} ■
Ed posant ici nous trouvons
(il- H-jp^iF (iî- iî,p„#. . .(if- if,)'
- ir„) (H- if,,„l> (H- if,,__,)'. . .(if- !?.)■
(if- ir.,,F (Jî-iî;^j'. . .(if - ii,F
- (if- if,p,l (if- if,p-.)" (if- if;^-il'. . .(if- ifj
§ 6. Les quantités g^, g^, qui entrent dans ces formules sont déterminées, d'après (16), par les égalités
qui donnent d'après (13)
En observant que, d'après (7), les degrés des fonctions
^i (*) — ^)) ^3 (^j — ^) sont inférieurs à ceux de
^i(^), ^^¥), nous concluons de ces égalités
»' = ""• [îrfe)i=J !'' = ""■ [ïftr,]^»-
Cela montre que les quantités g^ , g^ sont égales aux rapports des coefficients des plus hautes puissances de x dans les fonctions
que nous obtenons, d'après le § 4, en développant les fonctions
eu fractions continues.
Comme on a ici
-JF. = -
Hx H (Cl H -t- h)
c^H-l (coiî— 1)2 fa H— 1)3
H (Co -H — I) (cg H— A*) - If (Cl fl -I- A)î '^■^"
nous avons dans ce cas d'après nos notations
^ -Hà! Jf(c, g-^ft), -j (Cq g- 1)2 ie=
••^l co g- 1 (co g- I)* ' Va — if [(cg cj - ci^) if-, co AÏ-2C, & - Cj) "^ •
D'uù il vient, d'après ce que nous avons dit sur la déterminatioD de
et d'après (21)
En tirant de ces dernières égalités
et en portant ces expressions dans celles de g^, g^, nous aurons a =--^. „ ^ fg-gP^ ■
donnent
après quoi les formules obtenues au § précédent pour les rapports
1 /(g- g„,) (if- g,p,l. . .(g- g,)\' ftp — g(H-g„l \lH-H,^^){S-H,^,)..4H-H,)) '
- g- g„, V(g- g,,,) (g-g,p j. . .(g-gj/ Ces formules détermment les facteurs constants
qui entrent dans les expressions (13) des fonctions
W,(x), V,(x),...V,,(x), lorsque les réduites
9xJê ?iM fisiM
de l'expression
se déduisent de sou développement en fraction continue
Pi a
QuaBt à la détermination des quotients incomplets de cette fraction, nous tirons de (18) pour »» = 2^, m=2p — 1
dp ~ "ip 3,y j ! Pîp-1 — %—i g^p^ ' et il vient de (22)
__ a'(g-if;j,,)^ /(H - S^p,). . .{H-E^) {S- H,)\i
Ayant ainsi déterminé le coefficient p^ dans le quotient incomplet
Pm ^■"•""'mï nous trouverons o-^ par la formule
qui s'obtient de l'égalité (19), en y portant d'après (18) ^ à la place de -^^ et en remplaçant n par m.
§ 7. Dans le cas que nous considérons les quantités
sont positives, d'après le § 1; donc les formules que nous venons d'obtenir donnent, comme on le voit aisément,
si i? a une valeur quelconque, négative ou positive, supérieure à
En nous bornant à ces valeurs de H, nous concluons de ce qui a été dit au § 1 sur les fractions continues dont les quotients ne contiennent que la première puissance de x avec des coefficients positifs, que toutes les racines des équations
^,(ii;) = 0, T3(a;) = 0,...iF,„(a;) = 0
sont réelles et qu'entre deux racines voisines de l'une quelconque d'entre elles
se tiouve une racine de l'équatiou
On voit de là qu'aucune de ces équations n'aura de racines uegatives si dans la dernière équation
qui, d'après (13) et (10), se réduit à
toutes les racines sont plus grandes que zéro.
Pour trouver les conditions sous lesquelles cela a lieu, nous observons que, d'après le § 1, entre deux racines voisines de l'équation
se trouve toujours une racine de l'équation
et que par conséquent la fonction ■\'^^ (x) doit changer de signe dans cet intervalle; mais comme la fonction '^'^(x) s'annule aux extrémités de l'intervalle et que 4^^— 1(^) *^^^''^S^ ^^ signe, le premier membre de l'équation (23) change évidemment de signe dans cet intervalle. Il en suit que dans chaque intervalle entre deux racines voisines de l'équation
se trouvera au moins une racine de l'équation (23). Cela posé et eu égard à ce que l'équation
4;„(iC) = 0
a m racines qui sont toutes positives d'après le § 1, nous concluons que l'équation (23) a au moins m — 1 racines positives; donc, étant du degré m, elle ne peut avoir qu'une racine négative. Mais l'équation (23) ne peut pas avoir une seule racine négative, si son premier membre a pour x = — oo le même signe que l'expression
i(-ft)4'„.(0)-']^M(-ft)Ki-i(0)
qui représente sa valeur pour x=0.
En observant d'après sa composition que pour x^ — oo il a le même signe que sou terme le plus élevé '\>^{x) et que, d'après (2), '\>^( — oo) et
4'™{0)ont le même signe, nous concluons que l'équation (23) n'a pas de racine négative, si le rapport des quantités
X (0), •l'^(O) I ^nii-^)^m~A~!^)KiP)~'i'm{->^)'^m-i{0)
est positif et si, par conséquent, a lieu l'inégalité Comme ou a, d'après (2),
et que, d'après (7), (10), la fraction
est égale à la somme
dont tous les termes son positifs d'après (1), (2), on peut diviser cette inégalité par le produit
après quoi elle donne, en transportant le premier terme au second membre, (241 i^~>JWO) A__^ , „
En observant que, lorsque cette inégalité est satisfaite, l'équation
n'aura pas de racines négatives, nous concluons que pas une seule variation de signes dans l'équation
ne sera perdue par l'addition au premier membre des termes qui forment le polynôme
multiplié par
si cette dernière quantité est plus grande que
K (- A) ^m~, i- '0 ^m l'i) - ^m (- '0 K~, («)' § 8. En revenant au cas général, lorsque les coefficients
de îa série
sont complètement indépeiidants entre eux, nous
les valeure absolues des coefficients qui multiplient
x", x^, x^,. . .ai" dans la fonction
pour n quelconque.
Comme, d'après le § 1 , dans les polynômes
les termes ont alternativement les signes -h et — et que les termes le plus élevés ont le signe -i-, la fonction 4'„{^) sera représentée pour une valeur quelconque de n par la formule
(25) 4-„ {x) = ff/> «" — /Cil a^""' -<- Ktlt ic"~' — . . . =t Zj">
En calculant d'après cette formule les produits
où, d'après (1), on a
nous observons qu'ils se réduisent à des sommes algébriques de termes qui contiennent x à des puissances inférieures à m et que le signe du terme en
est défini par le signe de
D'où l'on voit qu'eu portaut les expressions de ces produits dans la formule (7), on obtiendra uue équation que l'on pourra écrire ainsi
en désignant par
la valeur absolue du coefficient de a;*' œ'". Si nous portons cette expression de la fonction 0^ {x, s) dans l'équation (9) et si nous observons que l'on a ici
(t'=0, 1, 2,.. .; 8 = 0, 1, 2,. . .m), DOus trouverons
*[222 (— i)*'"*""'' ft. »") w ».w / 2'""'"'].-
Mais en représentant les coefficients du polynôme cherché O^^is) sous la fonne
nous avons
(27) (?„^(3))=^^2(— I)'' ^D^'"' (ïl=0, 1, 2,...m — 1),
ce qui, porté dans l'équation précédente, donne
= [22221 (-ir-— '-'■ (i., i„) «. ï,'-' / .-'-'-'■-] * [2222 (-ir'"*'-' (i„ i„) « r, / -.'•*'"-''-']^.
Pour trouver les valeurs des termes du second membre de cette égalité, nous observons que dans les sommes contenues sous les signes [ Jj, les termes en — qui en déterminent les valeurs s'obtiennent dans la première somme
2222 (-ir'"*""**'' (i„ i„) ci'/f,'"' /^"■•-''-'
pour i' = i-i~ if, et dans la seconde
pour î' = ï]-M-ï„. Mais en écartant tous les termes pour lesquels ces relations n'ont pas lieu, noua trouvons que la formule que nous considérons se réduit à
Les deux membres de cette formule sont des polynùnies eu x du degré m — 1 qui doivent être identiques. En déterminant les termes eu
dans les deux polynômes et en égalant outre eus les coefficients des puissauces égales, nous obtenons les m équations suivantes
qui détermiueut toutes les m inconmies
qui, d'après (27), figurent dans l'expression du polynôme cherché 0^(x). On voit d'après la composition de ces équations que si
sont infiniment petits, les quantités
auront également des valeurs infiniment petites dont l'ordre par rapport à
ne sera pas inférieur à un; donc pour ces valeurs de
les dimensions des derniers termes dans les équations précédentes ne seront pas inférieures à deux; par conséquent, en les écartant, nous obtiendrons de (28) ces expressions, exactes jusqu'aux termes du premier degré en
inclusivement:
-ir22("-''*
-ir22(~-2'*
En portant ensuite ces valeurs approchées de
dans les derniers termes des équations (28), nous obtenons pour exprimer ces incounues des formules exactes jusqu'aux termes dn deuxième ordre.
En poursuivant ces substitutions, nous pouvons trouver les expressions de
exactes jusqu'à tel degré que nous voudrons.
§ 9. Mais au lieu de nous y arrêter, nous allons montrer à présent comment on pourra obtenir une limite supérieure des erreurs provenant de la suppression des derniers termes dans les équations (28), pourvu que les quantités
^01 ^1, «ai- • -^îi»— 1 ne dépassent pas certaines limites, qui, comme nous le verrons, s'obtiennent aisément daus chaque cas particulier.
En désignant les valeurs absolues des sommes
pour n quelconque par
les valeurs absolues des inconnues
par
ilf„,„ M^^,...M^, M^,
par M la limite supérieure de ces dernières quantités et par
Y^ celle des inconnues
dout la valeur absolue atteint la limite M, nous observons que l'égalité
r = { If y y {v, ï„) e. . K.'"'^-t-y y n, *„) e . r,,
que l'on obtient de (28), ne peut avoir lieu que si
Comme, d'après le g 8, l'on, a
la valeur absolue de la somme
ne diminuera pas, si nous y mettons à la place de e-e^-t-i„ sa valeur absolue et à la place de Y la quantité M, qui représente d'après nos notations la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues
Par conséquent nous avons
(30) K^K^7 en désignant par S^ la somme
que l'on obtient lorsque des deux signes ± l'on garde celui pour lequel on a dr ey^+i„ > 0.
D'après cela, en désignant par
8, T les limites supérieures de
nous avons
U^<SM; T,<r;
ce qui donne d'
'après (29)
De cette formule pour
il vient
