VA 2^, «A
se réduisent à
et par conséquent les équations (4) donnent
Il en résulte que ce que nous avons démontré dans les paragrapheis antérieure peut nous servir pour étudier les équations (13), dans lesquelles
%) Mj, Mg,. . . .w
sont des quantités réelles quelconques, égales ou non à zéro, et
est une série de quantités croissantes.
En désignant par k le nombre entier contenu dans y, par
les réduites de l'expression
ée en fraction continue
par Jf(, la plus petite racine de l'équation
et par M la plus grande racine, nous avons démontré que les équations (4) ne peuvent être satisfaites que dans le cas, où
(14) a;o<Mo; ^„i>-3f.
Puisque la somme
pour g •< Sjj j contient le terme
et la somme
"> M^" = «0^ -+- îi^ -\- U^ -i- . . . . -\- ll\~-i
pour g, > Sa contient le terme
et ces termes, d'après (11), sont égaux à ^„,, Vt,, quantités que nous avons )érieures à zéro, les sommes
ne peuvent se réduire à zéro que dans le cas
ce qui suppose
parce que les quantités
forment une série croissante.
En remplaçant, d'après (12), les quantités
nous réduisons ces relations à la forme suivante et d'après (14) on aura
Donc les sommes
surpassent le zéro, si
et par conséquent, d'après les égalités
pour ces valeurs de zq, Zq^ les sommes
ne peuvent pas atteindre leur limite p
Maintenant nous allons nous occuper de la détermination de la limite
supérieure des sommes
lorsqu'elles restent inférieures à la somme
Ces limites diffèrent plus ou moins de cette dernière somme selon les valeurs
des termes de la série
correspondants aux termes
de la série
avec les valeurs
représentent les termes-limites des sommes considérées.
Nous désignerons les valeurs des termes Sq , Zq^ , par v, w, en
(15) ■^g^'^j ^si^w;
nous poserons en même temps
ffl et 6 étant des quantités données. Pour la possibilité des équations (4) et (12) dans les conditions posées il faut que les quantités a, h, comme limites entre lesquelles sont contenues les quantités
satisfassent aux inégalités
mais les quantités v, w, étant, d'après (15), contenues dans la série
ne peuvent pas sortir hors des limites s'^, = a et 0 = h. § 8. Pour obtenir la limite supérieure de la somme
dans les conditions supposées, nous chercherons, parmi tous les systèmes de quantités
satisfaisant aux équations (1 3) et aux conditions
celui pour lequel la somme j-i-i
atteÎDt la plus grande valeur. Dans cette recherche nous ne ferons aucune hypothèse particulière sur les nombres jp, q; ces nombres, comme nous verrons, se déterminent complètement dans la recherche du maximum de la somme
%^ -H îf/ -H Mg^ -i- . . . . -4- ^[S^ ,
si seulement dans la série
tous les termes
diffèrent de zéro. Cette condition peut être toujours réalisée dans la formation de la série
%^j m/, 11^^, , . . ■il''j,i,
comme cela est indiqué dans le § 7. De cette manière on éloigne la possibilité d'augmenter infiniment les nombres p, q en ajoutant à cette série les termes égaux à zéro.
Pour obtenir la plus grande valeur de la somme
dans les conditions supposées, appliquons la méthode connue pour la recherche du maximum relatif et remarquons que les inconnues
par l équations (13). Eu introduisant l quantités auxiliaires
\, \. ^2! \iî
pour abrégé
on obtient pour la détermination des quantités
Mo, Mj,....Mj, «j^j, Mp,,
donnant le maximum cherché, les équations suivantes
i ^-^0 i gg| ^ àSt -j ^.Sf i __ dX __ Q
f ôUq 1 â«(j 2 àug .... I — I g^i^ ^^ )
An -^r^ — 1- \ —^ — f- Afl -T-* — I- . . . . -I- Â, , ^r — *■ s— ^ 0,
" ^1 I du. 8 ^du, l~i â«, o»| '
An ■■ - " -i- A, — T-* H A. -^-* 1- ..,.-•- A, , —3 — i 5— = 0,
-s âs„ . ds, ; ds. -, as/ , ax „
Ad -j, — ^ -»- A, 5 — -■ -+- A„ T— -- -H ....-*- A, , 7-^ — - — -^ = 0:
lais au moyen des équations (16) on trouve
^=vi^^^-i«,/, pour 7i = 0, 1, 2, l — l,
i= 1, 2, 3,...., 3 — 1, $-f-l, 2-h2,....2)— 2, ^=2^,'' îif, pour 7] = 0, 1, 2, l—y, i—0, 1, 2, P—1,
du;
= 2Mj., pour i = 0, 1, 2,. . . .g,
= 0, pour « = g.:t7l, 3-f-2,. . ..j?9 — 1,
^=0, pour î = 1, 2,. . . .g — 1, 5-h1, g-i-2,, . . .p — 2;
doue les équations qu'où vient d'écrire prennent la forme suivante
2 (\-t-\ ^i-^\iit-*- -*-\-x V~'— 1) "i = 0,
pour
2 (Xo-i-Xj0;H-Xg:S/-*- -i-\i ^/~^) M; — 0,
pour
et enfin
pour
ce qu'on peut abréger de la manière suivante
2 (Û (3f) — 1) Mi = 0, pour ï = 0, 1, 2, 3,
2 â {n^ «^ = 0, pour ï = g-i-l, q-\-2,. . . .p — 1,
0' {z^ M(* = 0, pour i= 1, 2, g— 1, 3-4- 1, i» — 2,
en désignant par 6 {z^ la fonction entière
(17) ô(ii)~\^ z^~^-t-l,^ i~^'\- -i-\s^-^\ z-^\.
Supposant, comme nous l'avons fait ci-dessus, qu'aucune des quantités
M,, W2,....Mp^
n'est égale à zéro, et supprimant 2m^ et u^^ on déduit de ces équations
e{z^—\ =0, pour ^= 1, 2, 3,
6 (z^:=0, pour i = g-i- 1, 3^-2,...,^ — 2,
y (5:^)^0, pour î=l, 2,. ..,3— 1, q-t-1,. . . .p — 2.
Mais dans le cas ê = 0 ou i=^ — 1, quand u^ peut être nulle, ces équations donnent
[^ W - 1] »*o = 0, d? (^^,) Mp^ = 0.
li en résulte que
si îto est différente de zéro, et
si w„, est différente de zéro.
§ 9. Au moyen des égalités obtenues on peut indiquer, comment la limite inférieure du nombre des racines de l'équation
dépend du nombre p, ce qui donne le moyen d'obtenir la limite supérieure de ce nombre.
Remarquons pour cela que, d'après le § 8, les équations
outre les racines égales à
peuvent avoir dea racines égales à
Pour embrasser tous les cas possibles, nous désignerons par i le nombre 1 ou 0, suivant que l'équation
a nue racine égale à ^j, ou non, et par c, le nombre 1 ou 0, suivant que l'équation
est satisfaite par ^ = 5^ ou non. Au moyen des quantités tr, c, le nombre des différentes racines de l'équation
contenues dans la série s'exprime par la somme
et le nombre des différentes racines de l'équation
6{z) = 0, contenues dans la série
s'exprime par la somme
(i' — 2 — î)^-ffi.
En remarquant que la dérivée 6' (s) doit se réduire à zéro entre deux racines consécutives de l'une et de l'autre équation, on conclut que dans les intervalles entre deux termes des séries
^3-*-i) %-i-aj ■ ,- - -^p — 2| % — 1
on aura au moins
g-*-(T 1 -t-p 2 g-l-O-j l=:^-+-0-H-ffj — 4
différentes racines de l'équation
Puisque, d'après le § 8, à cette équation satisfont encore p—Z qnan-
elle doit avoir au moins
jj)-t-(j-*-a-j — 4-»-^ — B = 2p -t- u ~t- T^ — 7
racines différeutes, et par conséquent son degré ne peut pas être inférieur à ce nombre, ce qui d'après (17) suppose
l — 2 > 2^5 -H 0- -I- o-j — 7; il en résulte (18) 2i)<Z — (T — tri-i-5,
p étant, d'après notre notation, le nombre des quantités pour lesquelles ou obtient le maximum cherché de la somme
les nombres c, cj^ signifiant 1 ou 0, suivant que s = Sq satisfait à l'équation
^(^)-l = 0, et s=:z ^ à l'équation
ou non. Puisque d'après le § 8 l'égalité
^(^o)-l=0 peut ne pas avoir lieu que dans le cas Mq = 0, et l'égalité
dans le cas u i = 0, on conclut que l'égalité ff=0
et l'égalité suppose
D'après la formule (18), en désignant par le symbole E la partie entière de la fraction, on trouve
Cette formule détermine la limite supérieure de p, du nombre d'inconnues
Puisque le cas de p plus grand comprend tous les ca^ où ^ a une valeui" plus petite, nous supposerons que p ait la plus grande valeur possible, donnée par la formule
§ 10. En s'arrètant au cas de l pair et posant l = 2/c, on trouve d'après la formule (19)
(20) j,^g2fc^.-.,^5^
les nombres o-, u^ ayant, comme nous avons vu, les valeurs 0, 1. En supposant a-=: 0, o-j = 0, on obtient d'après cette formule
mais, d'après ce que nous avons dit dans le § 9 sur les égalités
c = 0, CT, = 0,
on conclut que dans le cas considéré les quantités %, m s'annullent; par conséquent le nombre de termes de la série
différents de zéro, est
p — 2=ft.
Pour cette raison les équations ( 1 3), en y supprimant les ternies avec les facteurs m^, m égals à zéro et en y remplaçant
se réduisent aux équations (4) dont le nombre est n = &. Pour cette valeur de n ces équations n'ont d'après le § 5 qu'une solution, dans laquelle
En remarquant, d'après la formnie (15), que
est une des quantités
on conclut que l'hypotlièse considérée
ne peut avoir lieu que dans le cas, lorsque la quantité donnée v est égale à une des racines de l'équation
Dans le cas contraire nous devons chercher la solution de notre problème en faisant d'autres hypothèses sur les nombres a-, o-^ . Supposant
on trouve d'après la formule (20)
Il en résulte que dans cette hypothèse les équations (13) contiendront 2(ft-i- 1) inconnues
par conséquent ces équations, lorsqu'on y remplace
îy, u^'', .... iÇ par
2/o, ?i, Vt,
se ramènent aux équations (4) dont le nombre est n=k-t-l. En résolvant ces équations, d'après le § 5 on trouve que 1
doivent satisfaire à l'équation
fe*,w=».
et, puisque d'après le formules (15) et (15)^'' ou a
2o = «> % = *-: ^j,-^ = h = ^^ cela suppose les égalités
Pour indiquer à quoi se réduisent ces égalités, nous y portons 1' siou de la fonction 'j^j^,(3') par les fonctions 4'*(^) ^t 4'ft|(^) qi'on obtient de la formule (7) pour m = k. De cette manière on trouve trois équations
(2 1) («.^, a -+- p.^,) +, («) - ^fc, {«) = 0,
(22) (.,^, "H- fc^,) faW-'l'i^, W = 0,
(23) (a,^, l->-h^,) fe(i)-+,^,(S)=0, Il suit de l'équation (22) que
En portant cette valeur de pj^j dans les équations (21) et (23) et les resolvant par rapport à a^^^, on obtient deux formules pour la détermination de ce coefficient (25) « — i rlA=iW h~im
/Ofil » 1 fi**— 1 ('') 'i'fc-1 Ml
Il en résulte que l'hypothèse considérée
(7=1, !Tj=l
ne peut pas avoir lieu, si les deux valeurs de aj^j obtenues par ces formules sont différentes entre elles.
§11. Passant à l'hypothèse
on obtient d'après la formule (20)
mais il résulte de l'égalité
ff = 0 que (§ 9)
Donc pour
le nombre de quantités
^l^f, îi^, , . . .w ,
différentes de zéro est h-t-l; par conséquent, les équations (13), en y supprimant le terme avec le facteur %^ égal à zéro, ne contiendront que 2 {Je -t-l) inconnues
En posant
on ramène ces équations au système (4), dans lequel w = fc-i-l, et par conséquent d'après le § 5 les quantités
sont racines de l'équation
Puisque d'après les formules (15) et (IS)*'' on a
«, = «, ^„i = *AH-.= ^ à cette équation doivent satisfaire les quantités
x = v, x = b, ce qui suppose les égalités
fc-^^,{<') = 0. •)'.-.. (») = «■
En y portant l'expression de la fonction '■|'t^,(^) par '^'^(ic), 4'*— 1(*) donnée par la formule (7) pour m = h, on obtient les équations identiques aux (22), (23) donnant, comme nous avons vu, pour la détermination des constantes inconnues
contenues dans la fonction '\i^^i{:^), les formules suivantes
*-^i — b - « Liii^i&r h (") J ' ^''^^ ~~ h (") '^-^' ■
D'après ce que nous avons, dit dans le § 5 et le § 7, la quantité a^^ doit surpasser zéro et aucune des quantités
ne peut être inférieure à a.
La première condition suppose que la formule obtenue donne
de la deuxième condition il résulte que l'équation
ayant les racines
n'a pas de racines entre x^ — oo et ic = a,
li n'est pas difficile de démontrer que, quand la première condition est remplie, la seconde ne peut avoir lieu que dans le cas
Pour démontrer cela, remarquons que d'après la formule (7) c
a une valeur négative pour 3; == — co; ma^ son signe ne peut pas changer entre x = — co, a: = o, si l'équation
n'a pas de racine inférieure à a, car en même temps d'après le § 5 l'équation
n'a pas non plus de racine inférieure à a.
Donc riiypothèse considérée sur les nombres <x, tj, ne peut avoir lieu que si la condition
est remplie.
En y portant, d'après la formule (7), l'expression de la fonction ^^^^{x) par '^i^ix), '|'j|(x) et, d'après la formule (24), la valeur de la constante ^,^^^, on ramène cette inégalité à la suivante
Puisque V est contenue entre a et iîj > «, la différence a — v est négative; par conséquent, après avoir divisé la dernière inégalité par a — v, on obtient
Eu remarquant que le second membre de cette formule a la même valeur que dans l'équatiou (25), on conclut que l'hypothèse
peut coDveuîr aux demandes de notre problème seulement dans le cas, quand la formule (26) donne pour a^^^^^ uue valeur, qui ne serait pas inférieure à celle qu'on obtient par la formule (25).
En considérant de la même manière la solution do notre problème dans
l'hypothèse
(7=1, ff,==0,
quand d'après le § 9
on ramène les équations (13) aux équations (4), eu posant
En répétant ce que nous avons fait en considérant le cas
nous déduisons que la constante a^^j doit se déterminer par l'équation (25) et qu'elle ne doit pas être inférieure à celle, qu'on obtient par la formule (2 6). Il en résulte que l'uiie des deux hypothèses
a- = 0, <rj=l,
peut satisfaire aux demandes de notre problème, suivant que l'équation (25) ou (26) donne la plus grande valeur de a^^,. Dans le cas particulier, quand ces équations donnent la même valeur dea^^^, les formules, qui déterminent la fonction
se ramènent à celles que nous avons obtenues en posant
Quant à l'hypothèse
elle n'est possible que si
SOUS cette condition les deux équations (25) et (26) donnent
par conséquent, la fraction continue
se réduit à la fraction
a-kX-^-h
servant, d'après ce que nous avons dit, à la solution de notre problème dans l'hypothèse
§ 12. D'après ce que nous avons démontré sur la détermination des valeurs de
qui donnent le maximum clierclié de la somme
pour l paire = 2k, on voit que, malgré la possibilité de différentes liypotlièses sur les nombres a-, o-j, ils ne peuvent pas exister deux systèmes différents de valeurs
satisfaisant aux demandes de notre problème.
En remarquant, d'après la forme de la somme
que sous les conditions posées elle doit avoir un maximum, on conclut que ce maximum aura lieu pour les valeurs
données par les formules obtenues.
Par ces formules, comme nous avons vu, on obtient les valeurs
au moyen de la fraction continue
ftj a; -1- Pî ■
où ■.*-,-"»**i
se déterminent par le développement de l'expression
Ço Çi G2 Cf__i
ic a;' ajs ■ • • • ^j
en fraction continue
a, x-t-&. jT
où le coefficient «j^^, est égal à la plus grande des quantités
et le nombre ^^^^ se détermine par l'égalité
3 — **=iW a «
En désignant par
'l'ft-i-i ('k) la fraction ordinaire égale à la fraction continue
et par
les racines de l'équation
disposées eu ordre croissant, od aura, d'après le § 11, ou
'. = ", ', = "« "q^^t-t % = ^»-l' ■'iH-,= ^i.
avec l'égalité
», = 0, ou
avec l'égalité
D'après ce que nous avons dit sur les quantités
V, V. — wVi' ^0' ^" — ^«~"
ou voit que dans le premier cas ou aura et dans le second
Eu remarquant que d'après notre notation
et que d'après la formule (15)
on obtient que dans le premier cas auront lieu les relations
^ = î/o-^ï/i-«- -»-ï/y.> iï'5 i = î'>
et dans le second cas les relations
En posant dans le premier cas g — 1 ^ f-, et dans le second 2 == f/-, on aura dans les deux cas
Pour déterminer les quantités
Vo, Vi, 2/t.,
contenues dans cette formule, on remarque que, d'après le § 5 pour ïi = fc -i- 1 j on aura
d'où il résuite que
En déterminant par cette formule les quantités
et les portant dans l'égalité
X — 1/^-t-fj^-h- -i-y^,
on trouve que cette somme se compose des valeurs de la fraction
pour
racines successives de l'équation
la plus grande de ces racines x , d'après la formule (27), étant égale à v, et la plus petite x^^ (d'après le § 8) étant > a; cette somme au moyen du symbole £,, introduit par Cauchy, se représente par la formule
où ft) est une quantité positive infiniment petite-^). Ainsi, pour déterminer la valeur du maximum cherché pour î = 2k, ou obtient l'ég
§ 13. Passons au cas de l impaire et posons l=2k-t-l; par la formule (19) on trouve
ou, comme nous avons vu,
(7=0 ou 1 , (j, = 0 ou 1 .
En s'arrêtant à l'hypothèse
on obtient d'après cette formule
d'après ce que nous avons dit dans le § 9 sur le cas
*) Pour aimplifier nos formules nous n'indiquons pas près du aigne ^ les limites de la partie imaginaire de x, comme le faisait Cauchy; dans les questions que nous traitons les parties imaginaires de x sont nulles.
Pour ces valeurs de
P, Mo, Mp,,
après la réduction des termes multipliés par ii^ = 0, î* = u^^^=:0 et après le remplacement des incounues
par les inconnues
on ramène les équations (13) aux équations (4), dans lesquelles n = l(-t- 1. Daus la solution de ces équations, comme oous avons démontré dans le § 5, les quantités
3^0, X,,. . . •^„iT • ■ -X^
sont les racines de l'équation
cette fonction (jj^^., (*) se détermine, comme nous avons dit dans le § 4 daus le cas l^2I('i-l, par l'é
aA-«-+-^É-
ou
«i> Pi. «2, Pa, ■■■■«*, Pft. «ftH-i
sont les mêmes que daus la fraction continue
«1 ie -I- Pi — ^~^'::^ . ^
et Y est une constante iuconnue.
Pour déterminer ta quantité y et la fonction '\'^^^{x) qui contient y, ou remarque que la série de quautités
contiendra la quantité
égale à v, d'après la formule (15); par conséquent, l'équation 'l'.H-.W-O
doit être satisfaite par i = t>, ce qui suppose l'é
+,« (") = »• Par cette raison, pour déterminer y, on remarque que l'équation (7) pour Pm ,. 1 = Ti ^'=^ J^ donne
(28) +.^,(l) = K-H, »:-^ï) fcW— l-i-.W.
ce qui fournit, en vertu de l'égalité qu'on vieut d'écrire,
K*, '->-■<) "it (") — 4'i-i (") = ";
d'où l'on obtient
fa-i 1») „
En portant cette valeur de y dans la formule (28), on trouve
(29) +.^,(»=)=[%-..(^-<')-^*|Sf] +i("^)-+..(^). Cette formule donne le premier membre de l'équatiou
qui détermine les quantités
Puisque d'après te § 7 les quaatités
forment uue série ascendante, où, d'après la formule (15)'*'^, l'hypothèse considérée
est impossible, si l'équation ^^^,^^{x)=(i a une racine hors des limites x=«, x^b; mais cela aura lieu, comme il n'est pas difticile de démontrer, si la
fractiou
a une valeur positive.
En effet, si toutes les racines de l'équation
sont contenues entre x=a, x=b, la même propriété a lieu, d'après le § 5, par rapport à l'équation
par conséquent, les quantités
ont les mêmes signes que
et, à cause de cela, la fraction
doit avoir pour ic = oo le même signe que la quantité
Mais d'après la formule (7) ou voit que cette fraction pour a; = oo se réduit à — 1 .
De cette manière nous nous persuadons que pour la possibilité de
l'hypothèse
dans la solution de notre problème, il est nécessaire que la fraction
soit négative.
En y portant l'expression de la fonction '\',,^^ (x) par la formule (29), on trouve que cette fraction est égale à
œ (a ,') i 'l'i-iW 'l'^-i(")
7 ij, -,\,,,>A-i('') ^k-ii'>) *-^'^ ^' **(«) ^kib)
Eu décomposant cette expression en deux facteurs
et remarquant que le premier facteur pour «< V <6 a une valeur négative, on conclut que l'hypothèse
! = 2* -)- 1 ne peut avoir lieu que dans le cas, où
1 rfa-.W ♦»-! Ml „
»-<■ L ■l'tM Tï(irJ "'-i-i.^ »
j-oLTïTsr +»(») J **'
§ 14. En passant à l'hypothèse
pour
i = 2i-Hl,
ou trouve, d'après la formule (19),
îi = j!;?îfi = t-.-2.
Il en résulte que dans le cas considéré les équations (13) contieudrout 2 (& H- 2) inconnues
«0 , ^[, , Mg , «* A-n '
et que ces équations se ramènent aux équations (4), te nombre n étant égal à A -t- 2, si Ton pose
< = ;/,., < = î/j M/ = ï/g «'ft^i = ï/jN-,-
Mais dans la solution de ces équations, d'après le § 5, comme nous avons vu, les inconnues
Xo, 3;,, œ^, x,^^^
sont les racines de l'équation
la fonction ^^^.^{^ étant le dénominateur de la fraction ordinaire, à laquelle se réduit la fraction continue
Dans cette fraction coutinue les quantités
se déterminent d'après le § 4 par le développement de 1'
Oq Oi C2 Oi—i
en fractiou coutiaue
et
T, Yu Yz
sont trois constantes inconnues qu'il faut déterminer.
Pour obtenir les équations qui déterminent ces constantes, nous remarquons que parmi les quantités
satisfaisant à l'équation
se trouvent les quantités
égales, d'après le § 7, à
par conséquent, auront lieu les égalités
(30) 4.,^.(o) = 0, ^.,^.(») = 0, fc,, (h) = 0,
où 4'i,,{^) "st la fonction, dont on obtient facilement l'expression par ^^{^) et ij^j^j [x) au moyeu de l'équatiou (7).
En effet, en posant dans cette équation
on trouve
mais en posant
m = l'+-\, ai^,= 7i, ^i^,= Ya> on obtient
■\Uz (^) = (Yi ^ -^ Ya) ■^k^, (^) — '^A (^);
il eu résulte après l'élimination de ')^i^^^{x):
'l'ft Ka (=P) = [(Yi ^ -^ YJ {«ft^-, 35 H- y) — 1] 4-* (^) — (Yi ^ -+- Ya) 'K-. (^)- En déterminant par cette formule les valeurs
et les portant dans les égalités (30), ou obtient les trois équations suivantes:
[(ïi «■+-T.) ("»*, o-^t)— 1] +j(«)— (T, »-^T,) >!'., («) = 0, [(Ti^-^ïi) (%*, !)-<--(■)— 1] •l'jW— (t, "-^T,) 4'i,('') = 0, [(ï, »-i-T>) K*, S-i-ï)- IJ 'l'j W— (T, i"-»-!.) fc-, (6) = 0. Mais en résolvant ces équations par rapport à
T. Yi) Ta' on obtient pour la détermination de ces quantités les formules qu'on peut r de la manière suivante :
+i-iW (6-«)PP, .. „ .. (l-PP ..
+,W 1-, H-^, "• Il (S «).„,■ ïi
.-. L +«W ta M J "'M
P 1 rtj-iW ta-icn „ '
i-r L taW taW J "»-"
Pi — 6-8 L -l'A (6) J-éW j *-^''
En comparant la dernière formule avec l'inégalité (10) et remarquant
que
on couclut que
et, à cause de cela, d'après la formule qui détermine la constante Yu '^^^^^ quantité aura le signe contraire à celui rie la quantité p, égale, comme nous avons vu, à la fraction
