TZ
Comme d'après nos notations U^ désigne la valeur absolue de la somme y y <n, i„) e . r„, cette somme sera contenue entre
et par suite, d'après (32), entre
Cela montre que l'équatiou
(33) r„.-=(- ir 22 <"■ ^"J ^.■^„ -^^r^-^S^ t«. '") %^i„ ^v
que l'on obtieiit de (28), donne
y« = (— ir y y («> i') e. . /c'"*
— i-s près. Eu posant successivement
nous trouverons ainsi, pourvu que
satisfassent à l'inégalité
les valeurs approchées des inconnues
et les. limites de leurs erreurs. Nous concluons de laque sous cette condition l'on pourra satisfaire aux équations (28) par des valeurs finies de
et que par suite, d'après le § 2, on pourra déterminer le polynôme du degré m tel que la fraction
Û^ étant convenablement choisi, représente la fonction
TF— Tfo = ^^ H- '-^ -*- ^^* -«- . . .
jusqu'au terme en -^ inclusivement.
Cela montre que
sera une des réduites de cette expression; par suite, si
il doit se trouver dans la série de ces réduites une fraction dont le dénominateur sera du degré jk.
§ 10. Nous allons uous occuper raamtenaiit de l'application des formules obtenues au cas où les quantités
^01 ^1! '^ai* • •^sm— 1
sont renfermées entre les limites
j ft ftî^ h^^'^-i
"*" i?o' ~*~ M^' "*" i/o' ' ' ■ ' '^ Mo '
B, h étant positifs. Nous admettrons que la condition
soit satisfaite, ce qui exige, comme nous le verrons, que la quantité R^ ne soit pas inférieure à une certaine limite qui sera indiquée plus loin. Comme, d'après le § 8, les quantités
ne sont pas plus petites queO, le maximum de la valeur absolue de la somme
lorsque
ne dépassent pas les limites
s'obtiendra pour
nous aurons donc d'après le § 9 ce qui donne
Pour trouver la somme observons que de l'équation (2 5) on obtient pour n = m, x^= — h
<i'„(-'')=(-ir2^i"°'*''
d'où il vient
Pour trouver la somme
posons z = — Jt dans l'équation (7) et portons dans l'égalité résultante *„ (rc, -*)-=!,+,(-*) i (a;)H- Cl, 4-, (-i) 4-1 (i) -I- ... H- a„ 'J/„j (-i) ^/,, (ï) les expressions (25) des fonctions
i/^(x), i/^ix),. ..4'„„,(a;).
Nous trouvons ainsi (86) *„(ic, —*)=(— l)"-'[il:i, a;'"-'— i!n,3;"'~'-t-iïlja:»-'— ...], où l'on a posé pour abréger
£M, = (— !)"-'«„ ^;„, (—70 -SSL-,»,
£M, = (—l)"'-'[«„4/„,(— S) /fc»— »„,>('„,(— *)IC-l"
Eu observant que cette expression de la fonction 0^ {x, — A) doit être identique à
que l'on obtient de (26) pour s^ — li, et que a;" entre dans ces expressions avec les coefficients
nous obtenons l'égalité
(37) L^'^'^=^{n,i„)li'\
En portant dans l'inégalité (34) les expressions qu'on vient de trouver pour les sommes
BOUS obtenons
(38) 2;^(-ir^.„(-J)^';
d'où nous déduisons à fortiori
(38)" i'„<(-ir'i'm(-»)Ç>
en désignant par i'"*^ la limite supérieure des quantités En passant à la recherche du masimum de la somme
dans le cas oii
ne sortent pas des limites
i ii ^ ft""— 1
b;,' i/o' Wo''"'' ■fi'o '
et où tous les termes de la somme sont pris avec les signes qui rendent leurs valeurs positives, remarquons que ce maximum s'obtient pour
tous les signes étant -t-. Il s'ensuit que la quantité que nous avons désignée par 8 ne dépassera pas la somme
2,2^ (", •„) Ti^.
et que par conséquent
«»iBô2(».'")'''"2''"'-
Comme on a
et que d'après (37)
cette inégalité donne
d'où, pour
ou obtient
= Ma A-1 ' °«— != iTo A-1 '""■ ^1= Ifo '*-! ' "= -Bo ^-1 *
— 64S — Ces formules montrent que S, la plus grande des quantités
ne surpassera pas
flj, ft-i '
puisque d'après nos notations i'""' est la limite supérieure des quantités
iïi., «=,...£,<"•', £.<"'.
Ou a donc
Ou voit d'après cette formule que la condition
dont il a été questiou plus haut, sera satisfaite si l'on a
Dana la discussion du cas qui nous occupe nous nous bornerons aux valeurs de R^ qui satisfont à cette inégalité; nous aurons donc
§ 11. D'après le § 9, si l'on a
la limite supérieure des valeurs absolues des inconnues
que nous avons désignée par M, satisfait à l'inégalité
En observant que cette inégalité n'est pas altérée lorsqu'on y remplace
T, S par les quantités
qui, d'après (SS)'*'^^ (40), ne peuvent pQs être inférieures h'T, S, nous en obtenons par cette substitution
de là nous trouvons par (39)
et d'après (30)
OÙ Vj^ est, d'après iios notations (§ 9), la valeur absolue de la somme
En vertu de cette relation et de l'inégalité (38), d'après laquelle 2'„, valeur absolue de la somme
ne dépasse pas
nous concluons de l'équation (33) que la valeur absolue de T„ ne dépasse pas la somme
qui est égale à
(-rr»«(->>ix,w
11 s'ensuit que T^ est contenue entre les limites suivantes
En posant dans ces formules
nous trouverons les limites entre lesquelles sont contenues les valeurs de toutes les m inconnues
qui entrent dans les équations (28); d'où nous concluons que, la condition S<1
étant supposée satisfaite, les équations (2 8) auront dans le cas que nous traitons des solutions finies, et que par conséquent on pourra trouver le polynôme
îp,^ {x) = g^ ^^ (x) H- Û^ (x) = du degré m, pour lequel la fraction
0^(3;) étant convenablement choisi, donne l'expression do
exacte jusqu'aux termes ou -^^ inclusivement. Eu observant que pour que cela soit ainsi, la fraction
doit avoir sou égale daus la série des fractious réduites
de l'expression W — Wq, obtenues par son développement eu fraction continue, nous concluons que si Hf^ satisfait à l'inégalité (42), il doit se troaver dans cette série une fraction dont le dénominateur est du degré m.
En répétant les mêmes raisonnements, après avoir remplacé m par les
nous arrivons à la conclusion que dans la série
A A A Qi' ft ' Ça ' " "
des réduites de l'expression W — Wg se trouvent nécessairement des fractions dont les dénominateurs sont des degrés
m, m — 1, m — 2,...l, si Ug satisfait aux inégalités
(44) fl.>iW!^, i7.>i("-)qzl=l,..,,ff.>i(.)|^, OÙ, d'après notre notation,
sont les limites supérieures des quantités
que nous obtenons des équations (3 6), en les laissant d'abord sous leur forme actuelle et en remplaçant ensuite le nombre m par m — I, m — 2. . . .1.
Puisque ces équations, en y remplaçant m par [a, jx — 1 , donnent
il en vient
Lj^) = L/-'''-t-{—ir-' «^ '4'^,(— A) 7f/-".
Mais eu observant, d'après (1), (2), que
«,>0, (-lf-^',,(-»)>0, nous déduisons de cette égalité
Il en suit que L^^\ limite supérieure des quantités
ne peut pas être plus petite que V^~^\ limite supérieure des quantités
jjf-~i> X'i'j" ... X ^^—'1 et que par conséquent on aura
De là et considérant que
IiM- — I ftf — 1 — 1 j U.-1 ^ Afi— 1 — 1
k~l A — 1 ^"^" -^ ft — 1 '
nous trouvons
D'après cela les seconds membres des inégalités (44) forment une série décroissante; donc toutes ces inégalités seront satisfaites lorsque S(, satisfait à la première d'entre elles
et par conséquent, d'après ce qui précède, il doit se trouver pour cette valeur de Ha des fractions aux dénominateurs des degrés
dans la série des réduites de l'expression
tirées du développement
Eu remarquant que cela n'est possible que si
sont du premier degré, nous eu concluons que dans le cas que nous considérons, Hq satisfaisant à l'inégalité (42), la fraction continue provenant du développement de l'expression
W— PFo, sera de la forme
Comme elle doit conserver cette forme pour toutes les vai-iations de l'expression W — TF,, qui laissent subsister l'inégalité (41), les coefficients
ne peuvent ni s'annuler ni devenir infinies, tant que l'inégalité (41) reste satisfaite; par suite, étant des fonctions rationnelles des coefficients de l'espressiou W — W^^, ils ne peuvent pas changer de signe tant que H^ ne dépasse pas la limite assignée par l'inégalité (41), En remarquant que pour
Fo = oo on obtient, d'après le § 10,
TTo^O, W—W^=W,
et que par conséquent la fraction
se transforme en
où, d'après (1), l'on a
on voit de ce qui précède que, dans les suppositions que nous avons faites, les coefficients
auront des valeurs positives.
§ 12. Nous avons ainsi établi quo lorsque
ne dépassent pas les limites
et qu'on admet
^0 > i""' refila série
se laisse développer en la fraction continue
Pi>0, P2>0,...,p^>0; doue en désignant par
Q, (x) q^J^x) Qm(x)
les réduites, nous voyons, d'après ce qui a été dit au § 1 sur les fractions continues de cette forme, que toutes les racines' des équations
ont des valeurs réelles et que ces valeurs sont toutes positives si l'équation
n'a pas de racine négative. Pour trouver la condition sous laquelle cette dernière circonstance a lien, observons que l'équation
if^(a:)— 0
se réduit en vertu de (4) et (27) à celle-ci
le coefficient
étant, d'après (43), pour ïî=n contenu entre les limites
De là et considérant que d'après (35), (10) on a nous arrivons à la conclusion que daus la somme
les coefficients des différeutes puissances de x sont contenus entre les coefficients des puissances correspondantes de x dans les fonctions
im (- *) ».,i -I (- ?') tn ») - -l-m (- '■) ■l'm-i 1")
■>«(->) »»-.(- Vl J'»W-J'»(-'-) ■>,,.-, W
" fi— 1
En comparant ces fonctions avec la fonction
^ry, (- A) 4-,^! (- h) j.,„ (X) - 4^^ (~ h) j;,„, (r)
qui figure dans l'équation (23), et eu observant que l'inégalité (24) dont le second membre est <1 0 est satisfaite, si
ne sort pas des limites
__hM h
■î-m (- n ^m~i l- /') -l-mC) - ■^m (- ^) ^m-v («)' .Ajïêà l
nous concluons, d'après le § 7, que si
ne dépassent pas les limites
AmB ^'
^^ (- fi) ^n^i (- '') -l^ra (0) - hn (- '') 'l'^i-i (0) '
. jKiJ2) 1^^
l'équation
ne contiendra que des variations des signes et par suite ne pourra pas avoir de racines négatives.
Comme les quantités
lie dépassent pas les limites indiquées ci-dessus pour
„ h«^-l T-H . Mn^ ^m-, (- ft) -l-m (0) - ■i'w (- h) ^m^i (0)
■«o> -ftzrr -''' "^"KTÎô) Ti '
et que d'après (10), (35) ou a
0 (0 h) = Z '"^i = '''"'-' '~ ^'' '^"' '"' ~ '^'" '~ ^'' '''"'-' ^°', nous coucluons que si H^ est plus grand que la somme
l'équation
n'aura pas de racines négatives et qu'alors, comme nous l'avons vu, les équations
n'auront pas non plus de racines négatives.
De là, ainsi que des résultats des paragraphes précédents, en posant
nous obtenons le théorème suivant.
Tlicol'èfflc,
est développaUe en fraction contimie
où Von a
et si toutes les racines des équations
'\.,(x) = o, '^2(ic) = o,..., ^\>,„^(x) = o, ■K(^) = o,
formées avec les dénominateurs des m de ses réduites
ont des valeurs positives, la même propriété avec le même nomlre m a lieu pour la fraction continue provenant du développement de la série
m premières réduites, lorsque les coefficients
pas les limites
où h est wne quantité positive quelconque et H^ une quantité positive plus grande que la somme
dans laquelle i'™' est la limite supérieure des valeurs absolues des coefficients du polynôme
et L^ en est le terme constant.
§ 13. En passant à l'étude des racines de l'équatiou
(45) W^(x) = (}, lorsque dans la série
les quantités
sont complètement indépendantes entre elles, nous observons que d'après le § 12 cette éciuation se réduit à l'équation
(46) ^^ix)-t^'^i-rr>r^x'' = o,
dont les coefficients
sout déterminés par les équations (28). Eu posant dans ces équations
e, = 0, e, = 0, e, = 0, . . . , e,,,, = 0, nous trouvons
après quoi l'équation (46) se chauge en l'équation
II en suit que les racines de l'équation (46) sont des fonctions des quantités
qui pour
Bout égales aux racines de l'équation
En désignant par
les racines de cette dernière équation disposées dans l'ordre croissant, et pai"
les racines de l'équation (46) disposées de manière qu'on ait
3,^(0)^3, W^ . . . <a:/"' < . . . <xj'^ ponr
^0 = 0 ei = 0, «2 = 0,..., e,„^,;:^0,
nous aurons pour ces valeurs de e,,, e, , e^. . . e^, d'après ce que nous ayons vu plus haut,
a;/<'' = a;,, x^^^'^ — x^,. . .x^^'^^ — x^,. . ., xj°'>=:x^.
D'après (3) et (28) tous les coefficients des fonctions
s'aunullent pour
et l'on a
Par conséquent, en différeutiant l'équation (9) suivant e^ et en posant c„ = 0, e, = 0, 63 = 0,..., nous obtenons dans le voisinage de ces valeurs de e^, e^, e^. . .
En portant ici les expressions (27), (10) des fonctions û^.{x), 0^{x, s)
et en divisant par g^, nous trouvons
ce qui pour
Xi étant une racine de Téquatiou
donne
d'où, en observant que T s'annule pour e^^O, e, ^ 0, e^ = 0 . . . , nous obtenons
Puisque les racines
de l'cquation
ont, d'après le § 1, des valeurs réelles et positives, les termes du polynôme
G' (z—x,)\ . .{2—x;). . .{z—xj,
auquel se réduit la fraction
ont alternativement les signes -i- et — . Si nous observons que le premier ternie C^ £.='"—1 ^ un coefficient positif, nous trouverons que le coefficient de 2' sera représenté par la formule
-(-i)'-ff,
ou
Par couséquent il vient
et l'équation (47) donne
Cette égalité aura lieu pour
qui sont racines de l'équation
tandis que pour les racines de l'équation (46) que nous avons désignées par
nous aui'ons
d'où nous obtenons, en différentiant par rapport à e,.
En appliquant cette équation au cas, où et en observant qu'on a ici, d'après ce qu'on a vu plus haut,
nous trouvons que dans le voisinage de
fio = 0 Cj = Oj e^ = 0, . . .
aura lieu l'égalité
d'où il suit
ce qui, d'après (48), donne
Cette relation détermine la valeur de la dérivée
dans le voisinage de
e^ = 0, ej = Oj ^3 = 0...,
et il est aisé de montrer que dans le cas considéré on en obtient
En effet, de ce que nous avons montré au § 1 relativement ans équations
on voit qu'entre deux racines voisines de l'équation
+.^ = 0 se trouve une racine de l'équation
en même temps qu'une racine de l'équation
'}/^ (x) = 0; donc la fraction
change de signe deux fois dans ctiacuue de ces intervalles, en reprenant le même signe pour
x = Xi, a!j,. . ., Xj,..., x^
En observant que, pour la même raison, les équations
n'ont pas de racines entre a;:=a;^, a;= -i-oo, nous en concluons que les
fractions
ont le même signe que la fraction Il en suit
puisque, d'après §l,ondoitavoir Ayant ainsi établi que
nous obtenons de (49), où l'on a, comme on l'a vu, ff > 0,
ce qu'il fallait démontrer.
L'inégalité que nous veuons de démontrer fournit la limite inférieure de la dérivée
dans le voisinage de
Pour déduire de l'équation (49) la limite supérieure de cette dérivée, déterminons 'j^^,(a;) par (25), en y posant
n = m — 1, x^Xjy ce qui donne
De cette même formule, en y posant n=m et en observant que les racines de l'équation
^^ {x) = 0 sont égales à
œ^, x^,. . ., «p. . ., x^, nous avons
Par conséquent il vient de l'équation (49)
^^ ES. (— i)"»— i-i g,-('»-i)(a^'
dei K^i'") (a;, — »,). . .(«( — «(,) (x; — x/^i). ..(»( — x^)'
En observant que d'après (25) Kj-"'^ est différent de zéro, lorsque ^^ (x) est du degré m, et que d'après § 1 les quantités
racines de l'équation
sont toutes différentes entre elles, nous concluons de cette égalité, où
sont des quantités finies, que la dérivée
' ègf '
dans le cas considéré ne surpasse pas une certaine limite finie qui peut être trouvée d'après les coefficients des fonctions
et les racines de l'équation
^Jx) = 0.
On voit de là que lorsque les quantités
t une variation continue dans le voisinage de
toutes les racines de l'équation (46) subiront aussi des variations continues et que d'après (50) ces racines croîtront avec eç^, e^, e^. .. § 14. Pour étendre ces résultats au cas, oîi
e», «i, «2,.. • diffèrent plus ou moins de zéro, nous remarquons que les propriétés des fonctions
qui ont servi de fondement à tous nos raisonnements, subsistent, d'après le théorème que nous avons démontré, si au lieu de la série
on prend la série
OÙ les quantités
Co, (7,, Ca,...C;„,,
ne dépassent pas les limites
h, Ho satisfaisant aux conditions indiquées c Il en suit que pour ces valeurs de
c^, Uj, G|,, .
on peut répéter pour la série
tout ce qui a été démontré pour la série
et que par suite, en remplaçant la série
par la série
dans la formation de l'équatiou
