IF^ [X
par la méthode du§ 9, nous n'altérerons pas lesproprietés de cette équation déduites au paragraphe précédent et d'après lesquelles toutes ses racines croissent d'une manière continuée, lorsque les quantités
dans le voisinage de
croissent également d'une manière continue. Par conséquent, en observant que pour
l'on obtient
ÔE^ = ôec , dE^ = de^ , ÔE^ = de^, . . . et qu'aux valeurs de
voisines de
correspondent les valeurs de
voisines de
^o = <^o — 0o, E, = C\~c„ E, = c,— C„..., nous en concluons qu'eu remplaçant la série
par la série
Cq^ Eq ^ c, -t- JE, ^ c, — E^
dans la formation de l'équation
d'après les méthodes du § 9, nous obtiendrons une équation dont toutes les racines croissent d'une manière continue en même temps que E^, E , E dans le voisinage de
-Eo = Co— Oo, E, = C,~c„ E^==c,~C„...
Quant à ces quantités les 2m premières entre elles ne peuvent pas dépasser les limites
1 h ft*^ h^m—i
flo' W fio'*"*' -Ho '
puisque d'après les conditions du théorème du § 1 2 les coefficients sont supposés ne pas dépasser les limites
1 h 7iî fcîm— i ^n "*" ir ) ^1 ~*^ ir i ^a "'^ a i ' • • t ^^m ■ "^ ïr •
§ 15. Dans le cas particulier lorsque l'on a
E=- B=^ E=^ la série
est égale à
Par conséquent, d'après le § 9, l'équation se réduit pour ces valeurs de £„, E^^ E^. . . à l'équation
(51) 4; (x) I '^'"'~^' ■l'm-i(-^)'t'M(^) — 'l'm(-^)'l'w-iW__ Q
En observant que ces valeurs de
pour ft > Oj Sp > 0, croissent en même temps que -g-, nous voyons d'après le paragraphe précédent que les racines de cette équation croissent avec -g-. De même, en posant
nous nous convainquons que les raciues de l'équation
décroissent lorsque ■— croît.
D'après cela il n'est pas difficile d'obtenir les limites des racines des 3 (51), (52), racines que nous désignerons par
en les supposant disposées de manière que l'on ait pour g- = 0
En observant que ces équations se réduisent pour H^^oo à l'équation
dont les racines disposées dans l'ordre croissant forment la série
nous concluons que pour
l'on aura généralement
(53) xl = Xi, xl'^=x^.
Puisque ainsi la racine x^ de l'équation (51) se réduit à la racine x^ de l'équation
J;^(a^)=0 pour
et qu'elle croit avec cette dernière quantité, qui, d'aprèsleg 10, ne peut pas être inférieure à 0, il en suit que la limite inférieure de la racine x^ est x^. Quant à la limite supérieure de a;/, cette racine, en augmentant avec ^, n'atteint jamais la valeur 3;^^^ de la racine de l'équation
4;^(a:) = 0, qui suit Xf dans la série
parce que, comme il est aisé de le moutrer, l'équation (51) n'est pas satisfaite pour x = Xi^^, tant que H^ n'est pas infini. En effet, en posant
dans le premier membre de cette équation et en observant que
noua trouvons qu'il se réduit à la fraction
qui ne peut pas s'annuler pour une valeur finie de //„ puisque, d'après le §1, l'équation
Im (^) = 0
ne peut pas être satisfaite par la valeur négative x^ —li, et sa racine ic,^, ne peut pas donner
On voit de là que la racine a;,' de l'équatiou (51) sera contenue entre les racines x^, x^^^ de l'équation
et que par conséquent
En répétant le même raisonnement pour la racine
de l'équation (52), qui, comme on l'a vu, se réduit à x^ pour ^ = 0 et diminue lorsque ^ croît, nous trouvons
Ainsi s'obtiennent les limites des racines des équations (51), (52) et au moyeu de ces racines l'on pourra trouver, comme nous le verrons, les limites des racines de l'équation
que l'on obtient d'après le § 9, en remplaçant dans la série les quantités
par les quantités
lie dépassant pas les limites
où h est une quantité positive quelconque et Z^ une quantité positive qui n'est pas inférieure à la limite trouvée au § 12. Dans le cas particulier, où l'on a
ces limites se réduisent à zéro et nous avons
£"0 = 0, ^1=0, E^ — 0,..., £;^, — 0; l'équation
T^ (rc) = 0 devient donc ici
1^ (x) ~ 0, et nous avons d'après § 1 3
Eu passant au cas, où -g- diffère de zéro, et se rappelant, comme nous Vavons montré, que les racines de l'équatiûii
croissent avec les quantités
nous en concluons que lorsque
^0, -Ep E^,. . ., E^^^, ne sortent pas des limites
^ i ft h^ h'"'— t
le maximum de la racine correspondra à
Mais puisque, comme on Ta vu, pour ces valeure de
E., S,, E,,..., B,„, l'équation
se réduit à l'équation (51) dont les racines sont
il en suit qu'une de ces quantités fournira le masimum de la racine 3;^'"'.
Il est aisé de reconnaître celle d'entre ces quantités qui donne le maximum de la racine xl''\ si -y- est infiniment petit. Dans ce cas on voit, d'après les formules qui déterminent les limites des quantités
que ces quantités restent voisines de zéro et par suite toutes les valeurs de la racineic,*"' restent voisines de a^^, à laquelle elles se réduisent pour ô-^O. Par conséquent le maximum de la racine a;/"' pour -g- infiniment petit ne peut être égal qu'à celle des quantités
qui se réduit à x^ pour ^ et cette quantité est, comme, ou l'a vu, xl.
D'après cela et observant que dans le cas que nous discutons le maximum de la racine 3;^'"' augmente d'une manière continue avec la croissance continue de 4^, nous concluons que pour toutes les valeurs de -^ qui satisfont aux conditions du tltéorème du § 1 2 ce maximum sera représenté par la même racine x^ de l'équation (51), puisque autrement pour une certaine valeur de -^j à laquelle s'appliquent toutes les formules obtenues, ce maximum passerait brusquement de la valeur x^ à une autre valeur prise dans la série
X,', «a',. . ., ic/,. . ., x'^, ce qui est impossible.
On voit de là que lorsque
pas les limites T j^
la racine a;/"* de l'équation
ne peut pas être plus grande que x^' et que par conséf
En déterminant de même la plus petite valeur de la racine
lorsque
pas les limites
~ -Ho '
nous trouvons que ce minimum est égal à la racine xl' de l'équation (52) et que par conséquent l'on a
Comme on a par (54)
et que par (55)
les inégalités que nous venons d'obtenir donnent
D'après cela, conuaissant les racines de l'équation -|;^(a;) = 0, nous pouvons trouver les limites des racines de l'équation
E„, E^, jEa,..., JB^„ i dépassent pas les limites indiquées ci-dessus,
SOR LES POLYNOMES REPRESENTANT LE MIEUX LES VALEORS DES FONCTIONS FRACTIONNAIRES ÈLÉiENTAIRES POOR LES YALEORS DE LA VARIABLE CONTENUES ENTRE DEUX LIMITES DONNÉES.
ÏHADUIÏ PAR B. C. ML0ï)2;BJEVSKX.
(Lu U S décemhre 1893.)
npocMiTsûiuucc^ d'poSuuoù^ SyH^n,iû npu écjiuzuuacc^ «-s»
np^dr&.AaMU.
(Hpaaoœeaie kï. LXSU lOMy SanacoKt HHnepaiopcKoS AKaneMia Hayni, M 1.)
Sur les polynômes représentant le mieux les valeurs des fonctions fractionnaires élémentaires pour les valeurs de la variable contenues entre deux limités données.
§ 1. Dans plusieurs cas les calculs approchés se simplifient considérablement, en remplaçant les expressions fractionnaires par des fonctions entières qui en représentent avec une exactitude suffisante toutes les valeurs dont dépend le résultat cherché. Les expressions approchées de cette sorte pour les fonctions fractionnaires se déterminent au moyen des théorèmes que nous avons démontrés dans notre Mémoire Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). Nous allons montrer à présent, comment au moyeu de ces théorèmes on trouve les polynômes de différents degrés qui représentent le mieux les valeurs de la fraction élémentaire
pour les valeurs de la variable x, ue dépassant pas les limites
Nous supposons les quantités H, li positives et pour que la fraction reste finie entre
x^ 11, iC = -4- /i,
nous prenons
H>li.
En désignant par
*) T. I, pag. 273—378.
le polynôme cherché, nous observons que l'erreur absolue qu'où commet en représentant par ce polynôme les valeurs de la fraction
est égale à la différence
5^— i'o Pi'^—- ■ • Pn^i ^"~^ Pn-i ^"~'-
Puisque le quotient de la division de cette différence par
se réduit à l'expression
l-t-{x — H) {p„__i «"""'-•-i>„, x"~'-t-. . .-t-Pi a;-t-2>o), l'erreur relative de la représentation approchée de la fraction
M—as
par le polynôme
Pi3~'~Pi ^-*-- ■ •-*-Pn~i ^"~^~*~Pn—i ^""^
sera d'autant plus petite que l'expression
1 -i-(a; — H) ip„i ic"~'-i-^„j a:"""*-*-. . .-*~Pi x-i-pg).
différera moins de zéro. Par conséquent, pour abaisser autant que possible la limite supérieure de cette erreur entre
X=: — h, X:=-t-Jl,
il faut donner aux coefficients
Po, Pi,-'-P„-i, Pn-i
les valeurs pour lesquelles l'expression
1 -t- (a; — B) (p„^ 'c"~^-*-2'„, x"~*-t- . . . -t-i», x-t-p^ s'éloigne le moins possible de zéro entre
Les quantités
i?OJ Pi,---P„-,, i'n-P
qui satisfont à cette condition s'obtiennent aisément au moyeu des théorèmes démontrés dans le Mémoire cité plus haut, comme on le voit dans notre Mémoire Sur les fonctions s'éloignant peu de zéro pour certaines
valeurs de la variable *), où, au moyen de ces formules, sout déterminés les coefficients
avec lesquels la fonction
s'éloigne le moins de zéro, x étant contenu entre x^ — h, x = ~t-k. La quantité M est supposée ici connue et pouvant recevoir une valeur quelconque.
En posant
nous obtenons d'après les formules de ce Mémoire que l'expression
1 -t~{x — H) (i'jj, x^~^'*-Pn—i x"~^-~*~' ■ --t-i*! ^-*"i'o)
s'éloigne le moins de zéro entre
ic^ — h, x = -Hh si les coefficients
i'„„ P„-ii- --Pi, Po^
sont déterminés par l'égalité
et que l'expression
1 -t-(x — H) ip„^ ic"~' -•-i'„2 «""'-H. . .~t-Pi X-i-pg) formée avec ces coefficients
Pn-i^ Pn-2>---Pi^ Po
atteint dans l'intervalle x = — Ji, x:=-i-h, les limites
(n-i- vm - ifiT -f {s— y m — a')" ' (H-t- vm — k^T ■+■ (.s— yh^ - a»)"
sans les dépasser.
Il s'ensuit que toutes les valeurs de la fraction
T. II, pag, 335—
deœ = — h k x = -i-hue peuvent être représentées par aucun polynôme du degré n — 1 avec une telle approximation que l'erreur relative n'atteigne ni la limite
(S-i-yS* — ï(«)"-i-(H— yjî^— fta)*»'
et qu'elle ue dépasse pas ces limités seulement dans le cas où les coefficients ^„j,jj^j,. . .^j, ^Po satisfont à l'égalité (1), ce qui détermine le polynôme
du degré {n — 1) qui représente le mieux la valeur de la fraction
dans l'intervalle
ic ^ — h, x^-i-h.
§ 2, En déterminant le polynôme clicrchô au moyen de l'égalité (1), nous voyons qu'il est représenté par la fraction
(S-i- Vm — h'-')" -t-JH — Vlî' — l^f — jx -i- Vk^ — k^T ~{x~ ViK^'—'h^" {{H-i-Vm — ftî)" -»- (h— yjf s — b?T] (H—x)
Pour obtenir le polynôme
auquel se réduit cette fraction, observons que, la somme [H-t-VH^ — h^T -t- iS—VlP — h^r,
étant une fonction homogène du degré n — 1 des quantités H, ft, en ouvrant les parenth^es, elle prendra la forme
(2) {H-^VW^)''Ab~'VË^^T=A„H''-^A„Ji'H"-''-^A„^¥H''~'->-...,
les coefficients
ne dépendant pas de H, îi.
En remplaçant dans cette égalité H par x, on trouve
ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne
{E^YW—h^T~i- {H—VH'—h^T— {x-t-V^^^T— ix—V^^^^r ^J^CH"— 3;")-j-^„, '*'(H"~'— a;"-')-i-^^ ¥{H"-^—x"~'}-^...; en divisant par // — œ, on a
(g-»- Vm — ft^)" -t- {H~Vm — ft=)" — (x -I- Va^ — /t')'* — (a; — Vx'^ - k^T H—x
-+- \-^ ^' {H"-'-i-H"~* X -i- fi"~' œ^ -H . . . ) -1- ^„^ ¥ {H"-' -t- H"^'^ X H- H"~' 3;^ -t- , . . )
ou encore
JH-t- VH-'- — fi^)" H- JH—VH^ - K'f — jx-i- Vx^ — h^T — (a; — Va'^ — h'^)"
Jï — .r
,,*'S"-'-i-^„„.*'fi"-
.,*»fl"-'H-^„.ê'fl*-
-t-iA^H'- -+-
JfH'—-t-A^^h'H'-
En comparant les expressions qui multiplient ici te", X, x^,. . ., avec le développement (2) de la fonction
[E -i-VH^ — hV -+- {H~VH^ — hV , nous observons qu'elles représentent les parties entières des quotients de la division de cette fonction par
On a donc, en désignant par le symbole E ces parties entières des quotients,
(g -F- Vm — /i^)" -.- (g— Vh^ — ft^)" — {x-i- Vx^ — h^y^ — ix~ Vx^ — fts)"
J] [[H-i-VH^ — h'T-i- [il— y m — ft«)"] ^ ■ 3;^-H
ce qui, divisé par (iomie
(H-)- VH» — /t^)" -t- (g— Vlî^ — ft«)" — (x-t- VW^li^)"- — {a> — Vx*~ h»T [(ff-i- VH^ ~ h^T -t-{H~ VR-i — h^f] {R~x)
E l{Ji-+ VSï - ft"}" -I- (fl — VR^ — A»)"] "l^ ~" (ff-i- VBî — fta)" -f- (H ~ VRi — ïi^)"
E [(fl -i- VZiS __ ft2)" H. (R—VR2 — h")"] ~
(R-t- vm — k^f -+- (h~ vw^^^y^
E [(H-i-Vfî2 ft2)"H.(H yiïï ftï)»] i ^
Par conséquent, d'après ce qui a été démontré sur le polynôme
représentant le mieux la fraction
dans l'intervalle
ce polynôme sera représenté par la formule
E [(H-i-VS^-hif'i- (H-YR^-h^)"] ^ E l(S-^-y^-h^)"-i- (if-V.Hî=P)''] -^
(ff-+- VR^—h-i'f ^ {fi"— v's* — h^T
Si nous comparons cette expression approchée de la fraction
sous la forme d'un polynôme du degré n — 1 avec l'expression
que l'on obtient en développant cette fraction en série suivant 1 ces croissantes de x, nous voyons que cette dernière est la limite vers laquelle tend la première expression lorsque h converge vers zéro. Comme la formule
diffère de la fraction par la quantité
reri'eur relative que l'on commet en représentant par cette formule la fraction
entre
peut atteindre les limites
tandis que pour la formule que nous venons d'obtenir cette erreur ne dépasse pas les limites
~ {3-+- Vm - A=r -^(S- Vm - ftï}" {H-+- Vh* - ftï)" -H (if- Vm - h^)"
§ 3. L'expression approchée de la fraction
que nous avons obtenue peut être utilement employée dans plusieurs cas.
Pour donner un exemple, nous allons eu montrer TappUcatiou à l'évaluation approchée de l'intégrale
Nous supposerons que la fonction f{x), de même que H — x, ne devient pas négative entre x^ — h, x^-t-h.
En désignant par F l'erreur relative de notre expression approchée pour les différentes valeurs de la fraction
nous trouvons que son erreur absolue sera donnée par la formule
par suite, nous obtenons, d'après la formule du § 2, pour la valeur exacte de
l'expression
1 J) [{H -t- Vm — fiî)" -t-iH— Vh^ - h^f] ^
^-'^ (if -^ vs^ ~ k'^T -+- {s- ys-' - h^}"
E [(a: -I- Vm^ - h^f -t-(H~ vm — a=)"] :è
En multipliant les deux membres de cette égalité par f{x) dx et en intégrant deic = — h h, x^~^\ nous avons
I if — a;
{fi-t->'ifs — fi=/'-(-(ir-
E l(fl-+T'H«-Sï)''*(if-
-iut-vfX i
(jï-i-v'îîï-R=r-i-(jf-
-rm-w)"
E [(if-n'if-J-rH-CH-
m-i-'fu'-h'y'-^iH-
-VE^-hT
\ xf{x) d£
f ^f(a;) dx
ce qui peut s'écrire plus succinctement ainsi
t^ "P. \iB + Vm-h^T -1- (if - vm-h^f] f m«^) <?* 7^
J fi-a. "•*— (if H vâ^zr^y ^ (if ys* ft2)» ^J -H--
— A — ft
en posant
En observant que cette égalité donne
oii le terme
est du degré inférieur à — « par rapport à E, nous trouvons
par conséquent, l'expression précédente de i'i
- dx
I Jl — 3-
se réduit à celle-ci :
Eu observant que, F étant l'erreur relative de l'expression approchée
de la fraction
cette quantité, d'après le § 2, ne peut pas dépasser les limites
et que les fonctions
d'après nos suppositions, restent positives entre x-= — h, x^-t-h, nous tfouvous que le dernier terme
W^ -^^{a;) dx
de l'égalité précédente ne pourra pas sortir des limites
{R-t-VH^ — li^)" -^{M—VU^
-h -i-ll
\f{x)dx
Il s'en suit que la fraction
dont le déiiomiiiateur est le polynôme
{H'^VlP—¥f H- ilI—VlP — h^r, donne l'expression approchée de l'intégrale
avec une erreur relative ne dépassant pas les limites w^
(-H -I- VH^ — ft*)" -^(h— Vm — fiî)"
SUR LES SOMMES QUi DKPENBENT DES VALEURS POSITIVES D'ONE FONCTION QUELCONQUE.
(TïiADUIT PAR X. PÏASÎJYCKÏ.)
(Lu h 10 fécrier 1S94.)
(3aiincKH UsiiiepiiTopcKoe AE3»eiim HayKi,, VTII oepia, T. I, .Ys 7, 1895 r.)
Sur les sommes qui dépendent des valeurs positives d'une fonction quelconque.
§ 1 . De notre Mémoire Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive *) on voit quel intérêt se rattache aux valeurs réelles des inconnues
%> **]) "21 • • •%[) propres à fournir des valeurs données aux sommes p p p p
La recherche des inconnues
SOUS de telles conditions se ramène à Ja résolution des équations
où
sont des quantités données.
En faisant
*) T. Il, pag, 661—610.
nous pouvons remplacer ces équations par les suivantes
plus simples, en ayant toutefois en vue que les valeurs réelles des incon-
ne s'obtiennent que pour
positifs.
En écrivant les valeurs des inconnues
dans une solution quelconque des équations (1), nous les supposerons toujours rangées de sorte que les quantités
présentent une série croissante. Après avoir fixé ainsi l'ordre de disposition des quantités
pour toutes les solutions des équations, remarquons que, d'après le § 3 du Mémoire précité, pour^ = ft, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des équations, celles-ci ne peuvent avoir qu'une seule solution que l'on obtient à l'aide du développement de l'expression
en fraction continue; nous en concluons que, dans ce cas particulier, les quantités
se déterminent complètement par leure indices et peuvent être trouvées sans difficulté. Pour distinguer ces quantités de toutes les autres qui satisfont aux équations (1) pour p'P- k, nous conviendrons de les désigner
Les quantités s^, m/ fournissant la solution des équations (1), pour p:=k on aura
{2)2</,= q„ ^':,l,= 0„ %,'<J,'^C,....%r-'!l,= C,„., OÙ, d'après ce qu'on a posé concernaut Sg, Sj, s^,. . .«-,__i, on doit avoir
Nous allons maintenant montrer que de ces inégalités et des équations (2) on peut déduire les inégalités auxquelles satisfont toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues
C'est de là qu'on tire les valeurs limites des intégrales et des sommes qui ont fait le sujet de nos Mémoires intitulés: 1) Sur la représentation des valems limites des intégrales par des résidus intégratix*), 2) Sur les résidus intégraux qui âomtent des valeurs approchées des intégrales **), ainsi que de notre Mémoire précité Sur les sommes.
Quant aux quantités
'^Oî ^1) ^ai- ■ -^it— 1' Vo, ?/i> %. ■ • -^ft-i.
qui se déterminent par les équations (2), elles s'obtiennent, comme nous l'avons dit, à l'aide de la fraction continue résultant du développement de l'expression
En présentant cette fraction sous la forme
nous trouvons que, d'après le § 2 du Mémoire précité, ou doit y avoir ai>0, a,>0,...a^>0,
■■•} T. II, pag.421— 440, *^-) T. II, pag. 443-478.
s équations (1) peuvent être satisfaites par les valeurs réelles
pour un certain p.
En supposant ces conditions remplies, et e
les réduites résultant du développement de l'expression en fraction continue
nous concluons, en vertu de ce qu'on a démontré dans le Ménioire précité, que les inconnues
dans les équations (2) sont égales aus racines de l'équation et que, d'après ces racines, les inconnues se déterminent par la formule générale que voici § 2. En posant
de la solution des équations (2) nous déduisons celle des équations (1) pour le cas p = h, quaod le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des équations. En passant au cas du nombre plus grand des inconnues, quand les équations (1) deviennent indéterminées, nous remarquons que, pour toutes les solutions réelles de ces équations, la somme
où 3 désigne l'uu des nombres
ne dépassera pas une certaine limite qui peut être obtenue eu a'appuyaut sur le résultat du § 8 du Mémoire précité coucernant la détermination du maximum de la somme
Ce maximum, dans l'hypothèse
s'obtient pour 2^, s^, '^21* • "^b— p satisfaisant à l'équation
oii '^|l^.^ (s) désigne le dénominateur de la fraction ordinaire
à laquelle se réduit la fraction continue
quand ou y met à la place de «^^^ la plus grande des deux quantités
a-v\ i^„(a) i/k(^) J' b-vl i,ft(6) ^-iC! J'
et l'on pose
Eu faisant ici
OH X; désigne, d'après notre notation, une racine de l'équation '^^(3;) ^ 0, nous trouvons
en vertu de quoi, et d'après ce que nous venons de dire sur le coefficient H-i-xJ "^"^ obtient
et par conséquent la fraction continue
qui
détermine la fraction ordinaire
se
réduit à la fraction
égale, d'après le § 1, à
Comme cette fraction est composée des mômes fonctions que la fraction
qui détermine, d'après le § 1, la solution des équations (2), uous en concluons que, dans le cas considéré, quand
les quantités
u^, î(,^, u^, . . ., qui donnent le maximum de la somme
Mp^ -+- u^^ -t- u^ -t- , . , -I- uj", seront trouvées d'après les formules
V = 2/o, V = y,, Ws'=ï/a,.- .V=^?'
pour q:=i.
On voit par là que la somme
est la limite supérieure que ne peut dépasser la somme
Ut,^ -+• 11^ -H itg^ -t- . . . H- M^,
qui s'obtient pour la solution réelle quelconque des équations (1), quand
Or, d'après ce qui a été dit (§ 1) sur la série
on voit qu'en général «„ ne peut être inférieur à is^ que pour ï)<g',etcomme dans ce cas 1
est évidemment moindre que celle-ci
î(o^ -i- u^ -i-lt^-t- , . .H- Il A
dont la limite supérieure est
nous en concluons que pour on doit avoir
(4) ifo' -t- ii^ -fr- îf/ -I- ...-+- w^i' < ^0 -^ 2'i -^ î'a -^ ■■■-*- ^i ■
En répétant les mêmes raisonnements par rapport au maximum de la somme
le maximum qui s'obtient d'après le § 1 6 du Mémoire précité, nous trouvons que pour
ou aura î'iuégalité
(5) u\ -H tt\^^ -i- . . . -t- î(.^^, < ^i -1- 2/^, -f- . ■ . ->- %, ■
Or, en remarquant d'après {1), (2) que
Ug^ -+- u^ -+- Wg^ -+-... -4- ti^ ^ = CJ,,
yo-t-yi-^y^-*- ■••-*-■ Vk-i = ^0 ' nous déduisons
< -+- ï'i' -t-u^' -*-...-+- %^ =C\ — «\^, — w%-^, — ... — u\^ , yç>-*-if,~t-?/s-t- . • .-t-t/i~ C^— ï/,.^, — y.^^ — ... — y^^ ;
en vertu de quoi l'inégalité (4) donne
^(\..i -*- ^\-^, -•-... H- u%, > y;^, -H ^j^, -H . . . ^ y^^ . D'où l'on voit que poor
S < ^o outre l'inégalité (4), on aura encore
et à plus forte raison
Ce résultat, joint à l'inégalité (5), nous donne le moyen de déterminer les limites entre lesquelles doit rester la somme
pour toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues.
§ 3. D'après ce que nous venons d'établir, les limites de la somme
pour chaque nombre des inconnues dans les équations (1) peuveut être trouvées à l'aide de leur solution correspondant au nombre le plus petit possible des inconnues. Dans le dernier cas, comme nous l'avons déjà dit, les équations (1) se ramènent aux équations (2) qu'on résout aisément à l'aide du développement de l'expression
en fraction continue. Nous allons maintenant examiner ce que devient cette fraction et les quantités qui en dépeudeut, lorsqu'on varie, plus ou moins considérablement, les coefficients
Nous profiterons ici du théorème démontré dans notre Mémoire intitulé: 8w le développement en fractions continues des séries procédant suivant les puissances décroissantes de la variable*); et à cet effet nous supposons que toutes les hypothèses de ce théorème sont remplies dans le cas présent, savoir, les suivantes:
1) pour
C„ = c„, G,=c„ g; = c,,...(7,^, = c,^, l'expression
.9îÈ^
se développe en fraction continue
') T. ir, pag. 613— 6SG.
où
2) Les équations
formées pai- les dénommateurs des réduites de cette fraction
n'ont pas de racines négatives.
3) Les quantités
Go, C\,
restent comprises entre les limites
Aî*-
oii h est une quantité positive quelconque et ïïg une quantité supérieure à la somme
ft-i ^ -*- i^^m ^' '
dans laquelle £'*^ désigne la limite supérieure de la valeur absolue des coefficients du polynôme
et i^*** son terme constant.
Dans ces hypothèses, comme nous l'avons vu, les équations
formées par les dénominateurs des réduites
