ET SYMÉTRIQUES PAR RAPPORT À UN AXE

(TRADUIT PAR X. W. MESTSCHERSKYX.)

cocmomumuxe u36 mpexé o1e.Menmobs u cu mmempurechuxe ohono oOnoit ocu.

(Hparoxenie «5 XXXIV romy Sanucoxr Hmuneparopckxoï Axraxemin Hayxe, X 3, 1879 r.)

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Sur les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe.

$ 1. Dans un article intitulé: Sur un mécanisme *), nous avons indiqué les conditions pour qu’un parallélogramme le plus simple réalise le mouvement qui diffère très peu du mouvement rectiligne.

Ce parallélogramme consiste de deux manivelles AC'et À,C (fig. 1), de la même longueur, tournant autour des axes fixes C'et C:, et de la bielle 4A, articulée aux extrémités des manivelles; le point M, qui exécute le mouve-

ment désiré, se trouve sur l’axe de la bielle AA, à distance égale de ses extrémités À et 4..

. Nous allons indiquer maintenant les conditions du même genre pour le cas, où le point qui a le mouvement désiré ne se trouve pas sur l’axe de la bielle AA, mais sur la perpendiculaire MN (fig. 2) également distante des points À et À..

*) T. II, pag. 51—57,

Il est facile de voir que dans ce cas le mécanisme considéré comprend tous les parallélogrammes composés de trois éléments et symétriques par rapport à un axe.

Les conditions pour que ces parallélogrammes en leur forme générale réalisent le mouvement qui s’approche le plus près possible du mouvement rectiligne s’obtiennent par les mêmes méthodes que nous avons appliquées dans le cas particulier, qui était l’objet de la note citée.

Toute la différence consiste en ce que dans le cas général les calculs sont plus compliqués et par suite les conditions cherchées ne peuvent pas être exprimées d’une manière si simple comme dans le cas particulier que nous avons examiné, où la longueur de la perpendiculaire MN est égale à zéro,

Pour présenter ces conditions sous la forme la plus simple possible nous introduirons une quantité auxiliaire au moyen de laquelle toutes les dimensions des parallélogrammes considérés s'expriment rationnellement.

Quant à la détermination de cette quantité auxiliaire, elle peut être calculée ou d’après le degré de précision que doit avoir le mouvement cherché presque rectiligne, ou bien d’après la longueur de la course, sur laquelle on désire avoir le mouvement qui s’écarte peu du mouvement rectiligne.

Les équations qu’on y rencontre alors peuvent être facilement résolues par approximation.

$ 2. En considérant notre mécanisme dans sa position moyenne (fig. 3), où AA, est parallèle à CC, droite qui passe par les axes de rotation des manivelles, et par suite les angles ACC et À,C;C sont égaux, nous posons

ACC, = A CC= 0.

La place du point M, qu’il occupe alors, sera prise pour origine des coordonnées, une parallèle à CC; pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des y.

En examinant la courbe décrite par le point M, nous observons qu’elle est symétrique par rapport à l’axe Oy,

re puisque tout le mécanisme est symétrique par rapport à cet axe; par suite, cette courbe, passant par l’origine, touchera en ce point l’axe Ox sans le couper; dans le voisinage de ce point la courbe décrite par le point est susceptible de devenir très peu différente de la droite.

Les conditions pour que cela ait lieu peuvent être représentées au moyen d’une quantité auxiliaire é de la manière suivante.

En posant ; AC AC mt AA —=Q NM—=e, nous déterminons les quantités a et c d’après les formules

2— T2) [2T—(T?+1)si (2) e—!{ SE AA : __2sinp(1+é?)+4t(3+ 12?) (3) T— TR 5

Il est facile de montrer que, ces conditions étant remplies, la courbe décrite par le point J dans une certaine étendue plus ou moins considérable ne sort pas de l’espace limité par deux parallèles, dont la distance est

égale à 4 (1 + 2 sin .é + 1?2)13 (2 sin o + 8t + 2 sin pi + tp)

et se rapproche donc rapidement de zéro, à mesure que la quantité auxi-

liaire # diminue, ,

$ 3. Pour déterminer les positions du point M correspondantes aux différents angles que fait la droite 44, avec CC! (fig. 4), nous désignons par « l'angle variable compris entre les droites AA, et CC,, par Ê et y respectivement les angles ACC. et 4 CC.

En projetant la ligne brisée OO, CANM sur les axes des coordonnées et observant que

AC=1, AN=<, NM=—c,

et que l’axe Ox est parallèle à 3 la droite CC,, nous obtenons les formules suivantes pour la détermination des coordonnées du point M:

Fig. 4,

G—=— C0, + cos — > cos « + csin a,

< &::: ‘ y = — 00, + sin $— sin « — c cos «.

On applique ces formules au cas, où la droite AA, est parallèle à CC; observant que dans ce cas

on obtient les égalités 0 = — CO, + cos? — +;

0 = — 00, + sin —c.

En portant les longueurs des droites GO et O0,, tirées de ces égali-

tés, dans les équations précédentes, nous aurons les expressions suivantes pour les coordonnées du point M:

x = cos B ++ (1 — cos «) + c sin & — COS y,

y=sinf — + sin a+ € (1— cos &) — sin ?.

Pour obtenir l'équation entre les angles variables 6 et « nous projetons la ligne brisée CA4,C,; sur les axes des coordonnées, ce qui nous donne les équatious:

cos 5 — a cos « + cos y — CC, = 0,

sinf— a sin —siny —0.

En appliquant ces équations au cas, où la droite 44, est parallèle à CC, et par conséquent

nous avons 2 cos — a — CC, = 0;

par suite, les équations précédentes nous donnent: cosy — 2 COS ® — cos $ — a (1— cos a), siny —=sinf—asine.

En ajoutant ces équations après les avoir élevées au carré, nous trouverons l’équation suivante entre les angles variables 6 et «:

[2 cos ® — cos 8 — a (1— cos a)? + [sinf — a sine} = 1.

En effectuant les opérations indiquées nous réduisons cette équation à la forme:

(5) [2 cos o—a (1—cos &)] cos B=2 cos? p—a sin x sin f—a (2 cos 9—a)(1—c0s à).

Enremplaçant cosB par V1—sin?$ et élevant au carré, nous trouvons: [2 cos o— a (1 — cos a) |? (1 — sin? 8) — [a sin « sin 8 — 2 cos’? + à (2 cos — a) (1 — cos )f?. Il en résulte l'équation suivante pour déterminer la différence sin B—< sin &:

2 [2 cos o + a (a — 2 cos o) (1 — cos a) [sin B—<sin a | — [2 cos o— a (1—cos a) f° [1 — COS” pee D) (1 — cos a) |. En portant ici la valeur de a, tirée de (1), et posant 1 T2(2— T2)

2 (TETE (1 COS æ),

on trouve l’équation:

(7) v{sinf—£sinal T'—[1+ (T— 1)v} (1 — cos 9.). D'ailleurs d’après les formules (4) nous trouvons que sin 6 — . sinaœ—y—0c (1— cos a) +sinv;

en y portant la valeur de c tirée de l’équation (2) et la valeur de 1— cos « d’après (6), nous avons

2T—(T?+ 1) sin o

sin — + sin & — y +- sin p — “ (v— 1); par suite, l’équation (7) nous donne (8) V{Ty+2T—sinp—[27—(T+ 1) sinv]v}—

[1 + (T2— 1) vf (1— cos 9. v).

$ 4. D’après l’équation (8) que nous avons trouvée, il est facile de faire voir pour quelles valeurs de l’angle & le point M se trouvera sur l’axe Or. |

Puisque l’ordonnée y pour les points de cet axe est égale à zéro, on obtient les valeurs de v qui correspondent à la position du point M sur l’axe Ox de l'équation (8), si l'on pose

== On trouve ainsi pour déterminer ces valeurs de v l’équation:

V{2T— sing —[27—(7%+-1)sin o]v = [1-+(72—1) vf (1— cos 9. v).

En éloignant les parenthèses et faisant passer tous les termes dans le premier membre de l’équation, nous voyons qu’elle se réduit à la forme:

(9) (v — 1) a —2 sin®.T+ T?) v—1f= 0.

En portant les racines de cette équation dans l’équation (6) et résolvant l’équation obtenue, nous trouvons toutes les valeurs de l’angle «, pour lesquelles la position correspondante du point M est sur l’axe Ox.

Cette opération effectuée avec la racine nous donne

Lorsque l’angle « prend la valeur nulle, le point H, comme nous avons vu ($ 2), parvient à l’origine et la courbe qu’il décrit touche l’axe Ox sans le couper.

Procédons de la même manière avec la racine

7 1—92sinp.T+ T2?

observant que cette racine est double, nous trouverons d’après l’équation (6) les valeurs de «, pour lesquelles la courbe décrite par le point AZ et l’axe Ox auront un contact du premier ordre et par conséquent ne se coupent pas.

Il en résulte que le point A, se mouvant à droite et à gauche de l’axe Oy, restera toujours du même côté de l’axe Ox. ;

En considérant la position du point M relativement à la droite représentée par l’équation:

eo 4(1+2 sinp.t+1?)t (10) J— Gsno+ +25. +1)

nous observons que les valeurs de v, pour lesquelles le point A se trouve sur cette droite, sont déterminées par l’équation:

v{ 4(1+2 ne 27 — sing —[27— (1 + Ti) sin g]v |

(2 sin o@ + 36 + 2 sin p.{?-+-t5

= [14+(7—1)vf (1 — cos o.v),

qu’on obtient, en portant dans l’équation (8) la valeur de y tirée de l’équation (10).

Portons dans cette équation la valeur de 7 d’après l’équation (3),

alors, la réduction faite, on obtient une équation qui, en y remplaçant l’ex-

pression :

1 + 4 sin @.6 + 64? +- 4 sin p.63 + t4 (1—#ÿ

par celle-ci 1—2sinp.T+ T?

1+2sin9.t+t? ?

qui lui est égale, peut être ramenée à la forme

1+-2 sin p.t +1? Î—0 [ +: rose) Done tre)

En appliquant à la racine double de cette équation les raisonnements que nous avons faits sur la racine double de l’équation (9), nous remarquons que ce n’est que la racine simple de cette équation

__{ 1+2sin.t+#t?1\2 és 1—2 sinp T+ T2}?

qui peut donner les valeurs de l’angle « pour lesquelles le point M traverse la droite (10).

Par suite, en désignant par «, et — «, les valeurs de l’angle & qu’on tire de l’équation (6), quand y a la valeur indiquée, par

les valeurs correspondantes de la coordonnée x du point M, nous concluons

que dans les limites: 2 ——x, et 4 —x, le point M reste d’un côté de la droite (10).

Pour les valeurs limites: 4 = —x,, x — x, le point M se trouve sur la droite (10) parallèle à l’axe Ox et pour æ— 0 ($ 2) sur l’axe Ox même; par conséquent entre æ——#%, et 4—x, le point M passe d’une de ces parallèles à l’autre; or, d’après ce que nous avons démontré plus haut, le point AZ dans les limites t=— x, et x —x, ne peut pas traverser ces

droites; ce point ne peut donc pas s’éloigner de la droite parallèle à l’axe Ox, menée au milieu entre Ox et la droite (10), plus qu’à la moitié de la distance entre ces droites, à savoir

2 (1+2sinp.t+t1?)t3 (2 sin o + 36 + 2 sin 9.42 + 15"

——%, et r—+4%, la limite de l’écart du point 7 de la droite mentionnée, passant au milieu entre Ox et la droite (10) (nous désignerons cette limite par Æ) a la valeur suivante:

2 (1-+ 2 sin o.t + +42)13 ] E = + > + (A ) (2 sin o + 36 + 2 sin @.12 + 43)?

$ 5. Pour la détermination des valeurs limites «à — +, et 1——+3x,, pour lesquelles le point M traverse la droite (10), d’après ce qui a été dit dans le paragraphe précédent, nous posons dans l’équation (6)

Ko 1 + 2 sin @.t + #2 2 7 \1—2sing.T+ T2]?

on obtient alors pour déterminer les valeurs & = + «, l’équation suivante:

PE 2(1— T?}? 1+2 sinp.t+1?2 \2 (12) CSA —l—7 7x (GR) —1|

Pour trouver les valeurs correspondantes de la coordonnée x — Ex nous portons la valeur de cos tirée de l’équation (5) dans l’expression (4) de la coordonnée x, qui devient alors

sin $ Æ sin « Z—=—4Q . © | sin o; sn 2 cos ® — a (1 — cos à) a é

en remplaçant dans l’expression

2 cos ® — a (1 — cos a)

a et 1 — cos à par leurs valeurs tirées des équations (1) et (6), on obtient

2 cos ® — a (1 — cos à) — RE [1 + (T—1)v].

En déterminant, d’après l’équation (7), la valeur de

sinf —- sin, nous avons

k À 1+(T2—1 4 sin f— + sin a — ee a dk Vice,

sin 8 — — sina Vue — cos? p

ns 2 cos y

d’où il vient

par conséquent, l’expression de la coordonnée x que nous avons trouvée plus haut peut s’écrire:

(13) en sin &.

On détermine ainsi la coordonnée x du point M pour les différentes valeurs de l’angle «; quant à la valeur de v, on la trouve de l’équation (6).

L’équation (13) nous permet de déterminer les valeurs extrêmes de la coordonnée x — + x,, en y faisant

1+2 sin p.{ +1? |

Un he À v=( 5 sino.T + T?

Pour cette valeur de » on a

1 ds ee) d: :

V=—cs e=Y| 1+2 sin p.t+t? nd À

en portant la valeur T d’après l’équation (3), on trouve

1—2sin9.T+ T7? 1+4 sinp.t-+ 66? + 4 sin p.i + it 14+2sinp.t+t (1 — 12} ?

on aura donc:

] ÆE 2. __y/(1+4 sin @.t+ 612+ 4 sin p.i3+14}2 2

En éloignant les parenthèses et extrayant la racine carrée, on obtient

1 2 ___ (14 682 + 14) sin @ -+ 4t (1 + {?)

Par suite, d’après l'équation indiquée plus haut, la valeur extrême de æ se représente sous la forme:

Ti ——aûa

(1 + 66? + 14) sin p + 44 (1 + t?) RE GERS 2 (1— #2} cos y DRE

En y portant les valeurs de a etc tirées des équations (1) et (2), cette équation se réduit à la suivante:

__2—T?{[T—sinp 2(1+2sinp.t+t?)#] .

a pee LS AC rs pat (1 — #2 Jsine, l'angle «, étant déterminé par l'équation (12).

On trouve ainsi les valeurs extrêmes de la coordonnée x — + x,, entre lesquelles le point M ne sort pas de l’espace limité par deux parallèles:

Er 4 (1 +2 sin p.t + t1?).63 y 7 (2 sin 9 + 36 + 2 sin @.t? + 432?

par conséquent, il décrit la courbe qui s’écarte peu d’une droite, si la ‘quantité é est assez petite.

D'ailleurs la longueur du chemin parcouru par le point M sera déterminée par ses positions extrêmes; nous aurons donc, en désignant cette

longueur par /, d’après l'expression des valeurs extrêmes 4— x, trouvée plus haut:

2(2— T?) FT —sin 2(14+2sinvp.t+t?)t] .

(14) 1 — —e FT es ]sina.

$ 6. Dans le cas, où le point doit avoir le mouvement qui s’écarte très peu du mouvement rectiligne, lorsque l’angle & varie dans les limites étroites, la quantité auxiliaire £ et l’angle «, qui détermine la limite des variations de l’angle & seront petits; par suite, toutes les formules que nous avons obtenues peuvent être développées en séries commodes pour le calcul numérique.

Nous trouvons ainsi, d’après l'équation (3),

T=2s8np+3+....;

en remplaçant 7 par cette expression dans les équations (1) et (2), nous obtenons les séries suivantes:

2 cos 29.cos? in 20.co8?

FR Ds ne is, cos 39 cos? 39 ?

te 30. 20.cos? 083 o (3 cos 29 — cos 4 cos 39 cos 39

En développant l'expression Æ d’après la formule (11), nous avons

1 3 — 2 sin?

1 + FA 3 E=t(ir Er +... )8.

On substitue à T dans les expressions

(1 — T2? 1+2 sinç.t+t? ia T?2(2— T?)’ 1—2sinç T + T?

la série qu’on a trouvée plus haut, alors ces expressions se développent en séries:

(4 sin? ® — 1}? ( 3t a 8 sin? ®.cos 29 sin ®.cos 2p.(4 sin? ® — 1) APRES à. ‘4

— 8sinp.{—+ 16 (3sin?o—1)?+....;

par suite, nous obtenons de l’équation (12) pour 1 — cos «, la série suivante:

(4 sin? o — 1}? (e 48 sin°ç—62sintq+ 184 ço+1l sin @ cos 2? sin @.cos 29 (4 sin? o — 1) ph UE nee bn

En exprimant sin &, au moyen de 1 — cos«,, on trouve

sina,— V2(1— cos «,) — (1 — cos «.},

ce qui nous donne, en y portant le développement de 1 — cos «;:

ing 2y [1 4 56 sinf g — 50 sinto+15sin9, #4 “

sin ®.cos 29 sin ®.cos 29 (4sin? ® — 1)

En portant cette série pour sin «, dans l’équation (14) et observant que les expressions:

2 (2 — T?) T—sing , 2(1+28in9.t+#)t REG d SSAACRS PT (1— 12}

se développent en séries:

4 cos ®.cos 2 12 cos o.sin 2 ? ROUE 4e 2

cos 39 cos? 39 PE sin 82 sint ® — 16 sin? 9 — 1 Énro Te (4 sin? ® — 1}? Üt....,

on obtient, la réduction faite, pour la longueur de la course du point M dans le cas considéré la série suivante:

8 cos 9 V — sin ?.cos 29.# cos3 ® (8 siné o — 6 sin? ? — 1) Fe 1 — tL+.... |, cos 39 sin @.Ccos 29.cos 39

$ 7. Nous avons examiné le cas, où l’angle « reste dans les limites qui ne diffèrent que très peu de zéro; maintenant nous allons considérer le cas, où l’angle « prend toutes les valeurs possibles depuis — x jusqu'à +7. Alors la droite AA, fera un tour complet par rapport à la droite CC, et le point M décrira la courbe fermée qui sera entièrement comprise entre deux parallèles, plus ou moins rapprochées entre elles selon la valeur plus ou moins petite de £.

En prenant + 7x et — 7x pour les valeurs extrêmes de l’angle «, nous posons dans nos formules A —= TT.

Pour cette valeur de «, on obtient de l’équation (12)

EME AU RS, LORR LE | Root re 1+2 sinvp.t+t? D: sas T2(2—T?) | \1—2 sin ?.T + T? ?

d’où il suit

1+2 sinp.t+ ti? \2 1 1—28sing.T+12) — (T2—1p

On déduit de cette équation

1—2 sinp.T + T?

1+2 sing t+t? = +(T 1).

En portant ici la valeur de T° d’après l’équation (3), on obtient l’é-

quation suivante:

M4 4sino.{ + 6+4sinop.{t+ 1 —

H{[$+2sino.f + 36+ 2sinpf —(1—6#)}.

er 2(1+#) ’ nord) ÆtvVar : ds 2 (1 + #2)

La dernière formule ne donnant de valeur réelle à sin + pour des va-

leurs assez petites de é, moindres que V+, nous nous bornerons à la première formule.

En observant, que dans la formule retenue le signe du radical se change, lorsqu'on remplace { par —{ et o par —0, nous ne la prenons qu’avec le signe supérieur. |

On a ainsi —1t(2+9)+V2— 02

sin o — :

ensuite d’après l’équation (3) on obtient la valeur correspondante de 7, qui se réduit à la forme suivante:

t+V2—18 Fr CEE Es

à V2 cos 9; 1+1V2— 1% ;

Je ee à

La même substitution effectuée dans l’équation (11), où la quantité Æ détermine la limite de l'écart du point de la droite, on trouve pour Æ l'expression qui se réduit à la suivante:

Cet écart sera très petit dans le cas, où la valeur de £ diffère très peu de zéro; dans ce cas toute la courbe, décrite par le point MW, s’écartera très

peu de la droite.

Pour trouver la longueur de cette droite, qui peut être remplacée avec la précision, déterminée d’après l’équation (15), par la courbe, décrite par le point M, nous observons que les extrémités de cette droite sont déterminées par le plus grand écart du point M à droite et à gauche de l’axe Oy; quant à la valeur de cet écart, on la trouve en cherchant la plus grande valeur qu’atteint la coordonnée x du point M, lorsque « reçoit toutes les valeurs possibles.

Puisque dans le cas considéré nous avons