RME À

qui entre dans cette expression du coéfficient K,, nous évaluons la grandeur L d’aprés la formule du $ 5, en y portant les valeurs de À, 4, trouvées dans le $ 7, et en prenant

: Es 3%0 + x emtie SET 20 + 380 — 8% sin 1

En divisant la valeur de Z ainsi obtenue par la grandeur À —d pour

la même valeur de =, on trouve, toutes réductions faites, pour la détermination du rapport de Z à À — d une telle formule:

k T sin? sin$ (t9+ Bo—ÀT)

38%0 + Bo — k os 1

Lo + 380 — 3kr sin 0 + ques Ex

2 AE x COS do Sin = (to + Bo — kx) sin* à 2

En portant ici la valeur de 4 — 2p + 1 et les valeurs des angles À, %, B,, données dans le $ 9, nous aurons:

Fi cos (29+ 5 sin 29

: cos (3? +- y) sin 39 cost ET sin

En observant, d’après l'équation (20), que

: Y + ANT È sis (2 SEE __m? cost (39 + Y) "— +2 cost(o + r) ?

PES M Tr? cos4(o + y) on déduit de cette formule SR m? cos3 (30 +- y) sin3 29 À—d à

82r? cost (o +- y) sin 39.sin @ cos? .

où d’après le $ 11 nous avons mis y au lieu de ÿ + nT; en vertu de quoi l'expression trouvée plus haut du coéfficient Æ, nous donne

1 cos (p +- y)\3 K,= ; F y \ m sin 2o ) s 82rr, sin @.sin 9, cos? — $ 14. D’après cette formule il n’est pas difficile de montrer que pour les valeurs finies de r, r,, m, m,, le coéfficient X, dans l’équation

y=Y+EK, (c—x)+....

ne peut devenir égal à zéro, et par conséquent la courbe décrite par le sommet M du triangle AA,M dans la question considérée ne peut avoir avec la ligne droite de contact d’ordre plus élevé que le 5-me.

Afin de le montrer, nous observons que le coéfficient Æ, ne doit changer de valeur lorsque dans son expression on remplace les grandeurs rélatives à l’angle À

p, M, 7, is "T

par celles-ci

Pas Mas Vis 3 —Ÿ:

qui ont la même rélation à l’angle À..

Nous aurons ainsi une nouvelle expression du Æ,

Fe 1 Le (Gi — nŸ.

82r,r sin 9, sin ® cos? + pas er

On voit par ces deux expressions du coéfficient KX, que pour des valeurs finies de r, r,, #, m, il ne peut s’annuler que lorsqu'on satisfait aux équations (24) cos {pp y) — 0, cos (9, — y) = 0, d’où il suit que

7 24-+ 1 NE | Aa VD a nn PET PE ES

où g, g sont des nombres entiers quelconques. De ces égalités on trouve par l’addition et la soustraction

. fo+n=q+d+1r, lo—o+2y—(q—dr.

Mais on voit par (23) que les égalités (24), pour des valeurs finies de

r, M, T;, M, Supposent ou l'égalité

ie cos — 0,

ou les deux égalités cos (39 + y) — 0, cos (39, — y) — 0.

Dans le premier cas on trouve que y=(29 + 1)r, qg” étant un entier, En portant cette valeur de y dans l’équation (25), on en

tire

: Monte (a — 2q"— à. — (d + 2q + 2) Tr.

Et en déterminant les angles du triangle AA,M qui correspondent à ces valeurs de o, o,, on trouve, d’après le $ 8, que chacun des angles 4,

À, doit contenir un multiple impair de — ce qui est impossible.

En passant à l’hypothèse cos (39 + y) — 0, cos (39, — y) — 0,

nous observons que ces égalités conjointement avec les égalités (24) supposent

P=5m Dh q, g étant des nombres entiers. Si qg, g seront tous les deux impaires, les angles À, À, deviennent de nouveau impossibles. Si l’un d’eux est un nombre impair et l’autre pair, on ne satisfait pas à la première des équations (25). Enfin, si tous les deux nombres g, g seront pairs, l’angle y d’après (24) devra avoir la valeur

ve 290 + 1 .

des arr g, étant un nombre entier.

Mais pour de telles valeurs de ©, &,, y dans l’équation (22), écrite sous la forme cotang (p+91) tang [5 @—9)+ x

La tang nu Pa

cotang ns

0 ; le premier membre deviendra & ou +, selon que la somme ® + +, se réduira à x répété un nombre pair ou un nombre impair de fois, tandis-

Ps :

que le second se réduira à & ou à , duira à x pris un nombre impair ou un nombre pair de fois. En détermi-

nant la valeur du premier membre pour les valeurs de +, +, très proches

selon que la différence p — o, se ré-

de LT, LT, en supposant q, q être des nombres pairs, on trouve que pour J . Q 3 1 « .

ces valeurs sa limite est ou --, ou ie D'où l’on voit que pour de telles va-

leurs de +, ®,, y on ne peut pas satisfaire à l’équation (22), et par conséquent la dernière supposition est aussi impossible. |

$ 15. D’après l’équation y=Y+K, (c—2,)+....

. l l É on trouve qu'entre les limites t—2—- etx—, + l'éloignement

du sommet 7 du triangle AA, M de la ligne droite ne surpassera pas

Ko 76 D un

en négligeant les puissances supérieures de / et supposant en général la grandeur ? être petite. En portant ici la valeur de ÆX, que nous avons trouvée, on aura

1 ee (e+ :) ps

2048rr, sin ® sin 9, cos? + sr

pour la limite des écarts du sommet M du triangle AA M de la voie rectiligne, la longueur du jeu étant égale à L.

Ces déviations peuvent être faites beaucoup plus petites d’après ce que nous avons montré dans le Mémoire sous le titre: Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes. Pour cela, après avoir déterminé, comme on l’a montré plus haut, les longueurs des lignes AC, À,C, et les places des centres de rotation C, C,, il faut chercher quels changements doit-on apporter aux uns et aux autres, afin que la courbe décrite par le sommet M du triangle AA,M rencontre la droite aux points, dont les abscisses aient de telles valeurs:

To — 7% C8 15°, %,— cos 45, &, — - cos 75’,

x, + cos 15, x, + cos 45°, x, + cos 75° 0 2 a 2 #0 2 :

Lorsque cette condition sera remplie, les écarts de la voie rectiligne du sommet JZ du triangle AA, M sur toute la longueur / du jeu, resteront, comme le démontre l’Analyse, entre les limites:

Sa 1 (e (po + 2} 6 ?

in 2 65536rr, sin o sin ?, cos? péanh

el CS à LE 65536rr, sin @ sin 9, cos? mice