POUR CERTAINES VALEURS DE LA VARIABLE

(XRADUXX PAR C. À. POSSÉ.) -

npu nshomopuxé berurunaxe nepe.mrennou.

(Hparoxenie x& XL romy Banucorr WHuneparopcroÿ Axaremin Hayxe, X 8, 1881 r.)

(Lu le 23 décembre 1880.)

Sur les fonctions qui s’écartent peu de zéro pour certaines valeurs de la variable.

$ 1. Si une fonction entière F(x) s’écarte peu de zéro, entre les limites & = — h, x — + h, elle ne peut atteindre en déhors de ces limites une valeur considérable pour x peu différent de — X ou de + » que dans le cas où le degré de cette fonction est assez grand. Nous allons montrer maintenant de quelle manière, d’après le degré de F'(x) et la limite supérieure de son écart de zéro pour les valeurs de x entre —h et +, on pourra trouver la limite supérieure de sa valeur pour æ == Æ en déhors des limites — het -+h. Or, comme toutes les valeurs de la fonction F(x), tant entre les limites 4 = — h et x — +-}, que pour æ — H, peuvent être modifiées dans un rapport voulu à l’aide de l'introduction d’un facteur constant, nous allons nous borner, pour simplifier l’exposition, à la supposition que la fonction F(x) ait une valeur donnée M pour x — H et nous allons chercher ensuite parmi toutes les fonctions entières, satisfaisant à la condition

et étant d’un degré donné », celle qui entre 4 = —h et 4 = + h s’écarte le moins possible de zéro. En désignant par Z le plus grand écart de zéro entre &—= —h et x—= +} d’une telle fonction et remarquant que pour toute autre fonction du même degré et ayant la valeur M pour x — H le plus grand écart de zéro entre = —h et x—+h SuEpesere L, nous devons conclure que le rapport