BE VE (EVE

Cette égalité donne pour la valeur de

H H? Us M GrVstil=

l'expression - H? 1) M:i:53/4

GS dE Date

Pour savoir lequel des deux signes + doit être pris dans cette formule, supposons qu’on ne donne que des valeurs positives aux quantités À et H: dans ce cas on aura

H H3 n, /[H H? n G+Vr der a par conséquent d’après (8)

H H3 n M en ne Cette inégalité nous montre que l’égalité obtenue ne peut être satis-

; re ; Me :

faite qu'avec le signe supérieur du radical VA — 1, et qu'on doit avoir par conséquent

et A Mme à.

h h? ) LE ?

d’où il suit H / H? Se M? | 5 AY NT ) PA RUE Tor

Or, en déterminant d’après cette égalité le nombre », nous trouvons

RSR Pin

A 1H Me à

ce qui donne la limite inférieure du degré d’une fonction entière dont le plus grand écart de zéro entre 4——h et &—+h est égal à L et qui prend la valeur M pour æ— H non compris entre 4=—h et x = +}. Toutes les quantités k, H, L, M sont supposées positives.

S 6. Nous allons nous occuper maintenant de la même question par rapport à la fonction trigonométrique de la forme

{ À, + À, co8® + À, COS 29 +. ...—+ À, cos ng (9)

| + B, sinp + B, sin 29 +....+ Bb, Sinny, que nous désignerons pour abréger par

Nous supposerons connue la valeur de cette fonction pour une certaine valeur

et nous désignerons, comme ci-dessus, cette valeur par MW; nous allons chercher ensuite parmi toutes les fonctions de la forme (9) qui satisfont à l’équa-

tion

f (?,) = M celle, qui s’écarte le moins possible de zéro entre deux limites données D = — Po, ? = + Do, la valeur +, n’y étant pas comprise.

Pour réduire la fonction f(+) à une forme algébrique, introduisons une variable æ en posant

tang += x.

En tirant de là

RQ ALT satef 7 ET 5 Va

nous remarquons que la formule (9), après la substitution des valeurs des sinus et cosinus des angles multiples de ©, se réduira à la forme:

Con + Ca +. + Con (æ? + 1)

Co Ci... C,, désignant des constantes.

En posant (10) Cr" + Cr +. ...+C,=F(x),

nous pouvons écrire l'expression de f (+) sous la forme

F (11) F(e) — (x? Tr 4 Or, en posant (12) tang © eus tang © nd - À

nous remarquons que d’après (11) l'égalité

fo) =M

à laquelle doit satisfaire la fonction cherchée, se réduit à la suivante:

D'où il suit (13) F(4)=(2+1"M, ce qui entraine la réductibilité de la fonction F(x) à la forme

RE + pe + + np) (@ —H)+ (2 +1)" M, où Pis Paso Porn

désignent des quantités constantes qui doivent être déterminées par la condition que la fonction

f de F(x) LL 4 pe + Don) (c — H) + (H?2+ 1) M ep @? +1} entre æ— — } et æ = + h s’écarte le moins possible de zéro.

En désignant par L le plus grand écart de zéro entre t——h et

æ— + h de la fonction cherchée et appliquant le théorème déjà cité, nous arrivons, à l’aide des raisonnements exposés aux $$ 2, 3, à l'équation suivante à l’égard de la fonction F(x)

Li, Toy. Ty désignant des quantités réelles inégales.

Cette équation se réduit à la forme

en posant (15) D(& = + VC (&—x;) (G—2)....(x—x,.),

où le radical doit être pris avec celui des deux signes # pour lequel le rapport F(y —1) V—1Vi+n.d(v—i)

se réduit à une quantité positive.

$ 7. Passant à la résolution de l’équation (14) nous remarquons que pour elle donne F(V—1)=—(41-+2) (V1);

d’où il résulte, après l’extraction de la racine,

FD -200E 0 VIP, V1,

où, d’après ce qu’on vient de dire sur le choix du signe dans la formule (15), l’on doit retenir le signe supérieur, ce qui donne

(16) F(V—= 1) = 06 (=) Vi 1.— 1.

En posant | AL ——V—]1,

dans cette équation, nous trouvons F(—V—1)=8(—v—1) (12),

d’où l’on tire, en extrayant la racine, les deux valeurs suivantes de F(—V —1):

PV D = VIE OV) V— 1: