TR DV TI) VI
A ces deux valeurs de F(— V — 1) correspondent, comme nous le verrons, deux solutions différentes de l’équation (14) dont la recherche va nous occuper maintenant,
En nous arrêtant au cas de
(17) PORT VI Pat. Vi) I.
désignons par P et Q les fonctions entières, déterminées par les égalités: | P=+ (Ve teV—m)" (VR+I1—VE—2)"],
(18) Du doi Lo (|
En déterminant à l’aide de ces égalités les expressions de la somme P+ QVa—1@ et de la différence P — Q Va? — h?, nous obtenons:
P+QVr = (VR+1+ VE x)", P—QVE— = (VE +1 VE)",
Ces expressions étant multipliées l’une par l’autre donnent
PQ) =| (VTT S) (VIE) | = (01).
Il en résulte que (19) P?= Q(a?— Dh?) + (22 + 1)”.
En multipliant cette valeur de P° par celle de Æ*(x) qui d’après (14) est égale à la somme + D(x) (2? — 1) + L'(2 +1)", nous trouvons
P2, F5) —Q°.D(æ) (28h) + LA (a8+-1) "+ (he) (2241) "T L2Q+ Dax) |, ce qui donne 4.
P2 F2) —@Q Da) (2h) = LA(a8-+- 1)" (08) (22 1)" L2Q8+ Da), d’où l’on déduit, en décomposant le premier membre en facteurs: [PF (x) + QD (&) (a —18)] [PF(&) — QD (x) (& — H)] — (a+ 1) [LA (a + 1) (at — 2) (LPQ + D(x))].
Or, comme il est aisé de montrer, le premier facteur du premier
membre PF(x) + QD (x) (x? — TÀ)
ne se réduit pas à zéro pour x=#+V—1, racines de l'équation 4°+ 1—0. En effet, en vertu de (16), (17), (18), pour æ = + V— 1, on trouve
F(EV—=1)=V=1 Vi+m&(+vV—i), P= 92" (+ 1)"; Q —=
des, à n—3, = (+ 1) 2
d’après cela pour ces valeurs de x l’éxpression
PF(x) + QD (x) (a? —1®) se réduit à he V—1.2"" (1 +) EH V—1);
Or, cette expression ne peut être égale à zéro, la fonction ® (x), d’après (15), n'étant égale à zéro que pour les valeurs réelles 4—4%,, %,,....4,,.. Après avoir montré ainsi que le premier facteur du premier membre de l'équation obtenue ne se réduit pas à zéro pour les racines de l’équation a + 1—0 et n’a, par conséquent, pas de diviseur commun avec (x?+1}", nous pouvons conclure, en vertu de la même équation, dont le second
membre est divisible par (x? + 1)”, que P.F(x)— Q.®D(x) (x? —1®),
le second facteur du premier membre, est divisible par (x? + 1)*.
D'ailleurs, en représentant les équations (14), (19) sous les formes (F (x) — D (x) Ve T7) (F(x) + D (x) Va — À) = LA (a + 1)", Cu QVr— 2 — 1) (P— QVe =) = (x +1)" et en les multipliant l’une par l’autre, nous trouverons [P.F(&) — QD (x) (2° — 1?) + (QF(x) — P.D(x)) Va — |] [P.F(&)— QD (x) (@—h)—(QF (x) — P.D(x)) Va? —1#] = L'(@ +1)", ce qui se réduit à l'égalité suivante:
[P.F(x) — Q.D(x) (2 —1#)] —[QF (x) — PD (x) (2? —7) = L'(# +1)".
Or, d’après ce qu’on à démontré ci-dessus, l'expression PF(&) — QD (&) (a? — 19) est divisible par (2? + 1)”, on en conclut la divisibilité du terme [OF (x) — PG (GT (&° — 1)
par (x? + 1). Remarquant encore que 4?°—}? n’a pas de diviseur commun avec (x? + 1)”, on en tire que
[OF (&)— PS (x) est divisible par (x? + 1)”, et par suite que QF(x) — PD (x) est divisible par (x? + 1)", ce qui ne peut avoir lieu que pour QF(x) — PD (x) —0,
car, d’après (10), (15), (18), les fonctions F{(x), P sont de degré 2n, et D(x), Q de degré 2n — 1, donc
QE (&) — PD (x)
ne peut être de degré supérieur à 4n—1.
L'égalité obtenue entraîne comme conséquence que
Or, d’après (15), la fonction @(x) ayant tous ses facteurs linéaires
différents de + V— 1 et — V—1, dont le produit est a+ 1, les fonctions F(x) et D(x), en vertu de l'équation (14), n’ont pas des diviseurs communs. Cela posé, la fraction
ne peut être égale à la fraction
dont les termes d’après (10), (15), (18) sont respectivement du même degré que ceux de la première, que pour
C’ désignant une constante.
En portant dans l'égalité F(a)= CP
l’expression de P tirée de (18) nous trouvons que F(a)= + 0 [RE T 4 V)" + (RTE 2)",
C’est ainsi que s’exprime la fonction F(x) qui satisfait à l’équation (14) dans le cas où
A VD Vis RDV 1. LL
Quant au cas, où cette égalité est satisfaite avec le signe —, l’expression de la fonction F(x) qui satisfait à (14) s’obtiendra, d’après ce qu'on a vu ci-dessus, en prenant pour P et Q les fonctions: P=— Êé iz+ Ve)" + (VR+Ia— var — F)" |, Q— LOT 24 Va)" — (VR+T 2 — Va)" |.
2 = Ainsi s'obtient la seconde solution de Dénéation (14), où
F(x) — c" LES x + VER)" + (V4 1x Va —R 2 $ 8. Des deux solutions trouvées on doit choisir celle qui donne la
plus grande limite du rapport +
Dans ce but nous allons chercher la valeur de ce rapport en prenant d’abord pour F(x) la première solution et ensuite la seconde.
En comparant entre elles les deux valeurs du rapport TL ainsi obte-
nues, et supposant toujours H°> h, il ne sera pas difficile d’en distinguer celle qui donne la solution de notre problème.
En retenant la première valeur de F(x) et en y faisant
VAT, nous trouvons
F(H)=T [ (78 +i+ Ver BR)" +(Vr+1—VR— 7, ce qui étant porté dans l'équation (13) nous donne a [ (V7 Hit VR-H) + (VP+EI— Vr—H)") =(H+1) M,
d’où l’on tire la valeur suivante de C':
is (RE 1 he HE)" + (Vhèe 1 — Ve — H2)""
En portant cette valeur de C” dans la première expression de F@, on l’obtient sous la forme:
(H2+1) [Vi +r1+ ve)" + (V1 — Vi —a)"] R+i+VR HE)" + (Vh+i—vh2—H2)"
d’où il suit, en faisant æ — ,
F() Fe OR +1 + VE A)" + (RE I — VR— FD
Or, d’après l’équation (14) en faisant x — k, on a EF) — L(B+1}"—=0, d’où l’on tire pour la valeur de Z:
ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de F(k) à
F4 2(H2+.1Y M VB +1+ Ve = HE)" + (+1 — V2 = H2)"
En tirant de là le rapport
QE
on obtient
GR + VE) + (Vi — V2)" —+ me 2(H2+ 1)
=+1 Mer ns Fri ,/#—H#)" se H?+-1 H?+ 1 H?+1 H2+1 ) ?
ce qui peut être représenté, comme il est aisé de voir, sous la forme:
Ta)
M — —+- ere Z = + cos (2n.arc. cos Hi).
$ 9. Passant à la seconde valeur de F(x), représentée par la formule F(x) — C” [RET & + Va)" + (VR+ Ir Ve —m)" |, on obtient pour æ = H F(H)=30C'|(VE+1H+ VER)" + (VE T4 VER)" |,
ce qui étant porté dans l’équation (13) donne l’équation suivante pour l’évaluation de C”:
5 TOR T HV)" + (VE +1 1— VW)" ]= (H° + 1)" M.
En tirant de là la valeur de C” et en la portant dans l’expression considérée de F(x), on trouve
(GR +1 a + Var = R)"+( R2 +1 æ— Var hi)" rs GREET HV HR)" + (2 pe A+ 1)" #
ce qui donne pour æ = À
GQR+IH+VH RW)" + (yh+1H—VH HW)"
Or, en faisant AR, dans l’équation (14), on obtient | F2 (h) — LA (+ 1)" — d’où il suit
ce qui se réduit après la substitution de la valeur trouvée de F(k) à
<= 2h29 (H2 + 1) M ie Ra Re (V1 H—VHT hp"
d’où l’on tire
+ OR+ +iH+VH RE)" + (VREIH—VEHL R)"
2h29 (H2 + 1)" ir fæ + HET . . a H2— LA = + h MT (H2+1) h2 =) H?+1 (H?2+-1) k? | Or, comme le produit Æ Mer __ Æ +1 H2=7T2 — Hi Y (Gr =) H2+1 ÿ (A+) se réduit à l’unité et par conséquent Ha/P+1 He à: FN Se HE DE) RE SE GP + Dm 1) EE — H?+1 (H2+ Dr) ?
la valeur ci-dessus de peut être représentée sous la forme me af(& a +1, EF ne VE sa 2 En LE ei EE Hi * Ÿ Gp me) Hi * HD Rè ;
En considérant l’expression comprise entre les parenthèses [ |], nous remarquons que la plus petite valeur qu’elle acquiert pour
: M à CHR. En Hi (+R —
est 2. Il en suit que la valeur numérique du rapport
