AUX TERMES DU QUATRIÈME ORDRE PRÈS

(TRADUIT PAR A. M. LIYAPOUNOF.)

docmabamomuxs npamomuneünoe udcenie cé mornocmer do rembepmot cmencuu.

(Upuroxenie xE XL-My Tomy Sanucoke Huneparopcrkoë Axaremin Hayx®, X 1, 1882 r.)

(Lu le 24 novembre 1881.)

Sur les plus simples parallélogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne aux termes du quatrième ordre près.

$ 1. Dans un Mémoire Sur les parallélogrammes composés de trois éléments quelconques, lu le 18 décembre 1879 *), nous avons montré comment, par la considération du mouvement d’un triangle dont un sommet se déplace sur un cercle et un autre sur une droite, on peut trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que tout triangle donné, dont deux sommets se meuvent sur des cercles, décrive, par le troisième sommet, une courbe ayant un contact du cinquième ordre avec une droite.

On obtient ainsi une solution complète de la question sur la recherche des plus simples parallélogrammes qui fournissent un mouvement rectiligne, pour des déplacements infiniment petits, jusqu’au degré de précision le plus élevé possible.

Or les formules que nous avons développées dans ce Mémoire peuvent servir encore, ainsi que nous allons le montrer maintenant, à déterminer tous les parallélogrammes les plus simples qui fournissent un mouvement rectiligne avec une précision d’un degré moins élevée; c’est-à-dire, tels que le contact, avec une droite, de la courbe qu’ils décrivent n’est que du quatrième ordre. Nous y parvenons en considérant les conditions pour qu’un triangle, dont un sommet se meut sur un cercle et un autre sur une droite, décrive, par son troisième sommet, une courbe ayant un contact du quatrième ordre avec un certain cercle,

$ 2. En retenant les notations du Mémoire cité, nous supposons que le sommet À du triangle AA, M (fig. 1) se meuve sur un cercle, dont le centre se trouve au point C que nous prenons pour origine des coordonnées, et que le sommet 7 se déplace sur une droite FG parallèle à l’axe des #.

*) T. II, pag. 301—331.

Soit C, le centre du cercle ayant un contact du quatrième ordre avec la courbe que décrit le sommet À,. Le rayon de ce cercle sera désigné par ”..

Fig. 1.

Ce x

En désignant par «, la valeur de l’angle variable « — AMF correspondant à la position du sommet À, sur le cercie C;, au point de contact avec la courbe que décrit ce sommet, nous remarquons que le contact ne peut s’élever jusqu’au quatrième ordre que si la distance 4,C;, « étant voisin de «,, se développe suivant les puissances de sin «— sin «, en une série

de la forme AC, =7r,+%, (sina—sina) +...,

Or, en désignant par x, y les coordonnées variables du point À, et par %,, Y, les coordonnées du centre fixe C,, nous avons

AC = (x —2,) + (y — y).

Passant par suite à la détermination des coordonnées x, y, posons AA = a, AC=7+r, CF—b, AM=m, MAA,= 4, ACx = $. Alors, en projetant la ligne brisée C44, sur les axes des coordonnées,

on aura æ = 1 CSG + a COS(A — a),

y=7rsin$+asin(A— à);

et en projetant la ligne brisée CAM sur l’axe des y, on obtiendra cette relation entre les angles variables 6 — ACx et «a — AMF:

CF—b=7r sinf$ —m sin«.

En tirant de cette relation les valeurs de sin B et cosB, on trouve

a de sin 8 = ————;

(= | cos Ê — ET — }”

ce qui, étant substitué dans les expressions des coordonnées, nous donne

2 — Vr?— (m sin « + b) + a cos (À — à);

y = M Sin &« + a Sin(A— &) + b.

Substituons ces valeurs de x, y dans l’expression du carré de la distance À,C:

AC = (x — D + (y — 9).

Nous aurons:

AC = [VrË— (m sin « + b}? + a cos (A — à) — x, f

+ [m sin & + à sin (4 — à) + b — y};

et de là, en éloignant les parenthèses, il vient

(1) 4,C/— 2[asin À sin « + a cos À cos a — x, ] Vr?— (m sin « + b}? + 2 [am sin À sin « + &(b — y,) sin À — ax, cos À] cos & + 2 [a(y, —b)cos À — ax, sin À — my,]sin «

— 2am cos À sin? & + r? + 2,7 + y, (y, — 2b) + a?.

Telle sera l’expression du carré de la distance du sommet À, au point C;, quelle que soit la courbe que décrit le sommet À.,; et nous avons vu que, dans le cas où cette courbe a, au point correspondant à & — «,, un contact du quatrième ordre avec le cercle ayant C, pour centre et r, pour rayon, cette expression sera développable en une série de la forme

7) +27, K,(Sina—sina)+....,

Nous aurons donc, dans le cas considéré, cette égalité:

2 [asin À sin a+ a cos À cosa—x,] Vr?—(msina+ ++ (2) + 2 [am sin À sin « + a(b — y,) sin À — ax, cos A] cos « +- y, (y, — 2b)

— Dam cos À sin? « +- 2[a (y, — b) cos À — ax, sin À — my, ] sin « + d° = 7 + 2r, K, (sin a — sin a) +

$ 3. Pour présenter cette égalité sous une forme plus maniable, nous introduirons, au lieu de «, une variable z liée avec « par l’équation

: de +1 (3) so À où |

d — sin Ci.

On voit que, si l’on tire de cette équation les expressions de cos « et

Vri—(m sin «+-b} et qu’on les porte dans l'égalité @e celle-ci, en chassant le dénominateur, se réduira à la forme

(eu V1) Ve (P,+ 22 VAI +P,+Pe+Pe (4 .

FR Mae où à, , P,, P,, P,, P,, P, sont des constantes que l’on pourra facilement exprimer par les constantes À, a, m, r, r,, b, x, y, qui figurent dans l’égalité (2).

Il est facile aussi d’obtenir les équations qui permettent de déterminer les anciennes constantes A, a,m,0,r,7, %, Y% par les nouvelles À, M Es Pis Pi Ps; P;

en observant que l’égalité (4), si l’on y substitue la valeur de z résultant de (3), doit se réduire à une égalité identique avec (2). Comme on tire de (3)

I—dsna | ADR.

ce qui donne 1 ___sinxa—d4 sina—d d (sin « — d} PT date PT PRE M TSNS

Vi - V(1 — d sin a}? — (sin « — d? __ V1 — d?

sin & — d TT sin &—d cos æ,

ae g+(g2—h?+-9d+-1) d\2 h (1 — d?) V:-( AR h (1 — dd )

VE —gÿ— =

Vh2—{g+-d}? sin 4 — d

l'égalité (4) se réduit à

h(1— d&) (—d)sne R? — (9 + d} . g + (9? — h? + gd + 1) d\2 V2 — (g + ap (sin a — dÿ (RE sin . h {1 — 2) )

hi—@) Vi—d.ucose 1 (RES sin a+ 2 GP 904 D 8) VF = grd Gne—dÿ hi —&) A1 —&) )

h (1 — d?) 1— A R? — (g + d} Es g + (g? — k? + gd + 1) d\2 VE — (g + d? (sin « —d} h(—@) E h (1 — &) ) Fa (P, — P,d + P,4?) sin? « — (2P,d — P, (1 + d?) + 2P,d) sin « on P,®@ — P,d+P,

(sin « — d}? (sin « — d?

Pi — Pod+(Po— Pid)sina +55

PRET V1— cos «

L, (sin a — d}$

EUR (1 — d?2ÿ HE ....

En rapprochant cette égalité de (2), on voit que, pour les rendre identiques, on doit poser.

(5) m kW—(g—+ d}, r — h(—d) ?

(6) VV ge0--F+ga+ la.

. h(1— 4) ) u: : À — d (7) Scr æ sin À = 1-01 a UV1— d?, (8) RATE TT. :

(9) am sin À __ Po— Pd VI? — (9 + df, TX) 1 — dÀ os mi ‘DR (10) a (b — y) sin À — ax, cos À __ P, — Pjd Vh? —(g + d?, TZ url : M1. ?

(11) am cos À __P,— P,d-+ P,d? Vh? —(g+d?.

re POUE 1 — dÀ h(—d) ? 12 a(y,—b) cos A—ax, sin A—my, 2P,4— Pa (1+-d?) + 2P,d VI? —(g + d}, (12) ZA nn 1— dÀ h{i—d) ?

13 F0 y (y, —20)— 0? Pr — dr Ps Vo —(g+df (13) 2rx; Fr 1 — d} h (1 — d?)

$ 4. En partant des formules que nous venons d’obtenir, il est facile de montrer que la détermination, au moyen des quantités

d,m,7T,0b des valeurs de | À, a, Ts %;, Yi»

qui donnent la solution du problème, dépend d’un système d’équations dont l’une est du second degré et les autres du premier degré.

. — 364 — A cet effet nous allons d’abord déterminer les quantités auxiliaires g; h, nt En Ge me 7: À, W,

qui figurent dans nos formules.

En abordant ce problème, nous remarquons que les quantités g, h s’obtiennent immédiatement par les équations (5), (6), d’où il résulte

__(— ®) m(md + db) « Es 2 — (md + b}? — d;

Substituant ces valeurs de g et À dans la formule (4), on en déduira aisément les expressions des quantités

PF; F;, re Ps, PF, au moyen de À et tu. En effet, d’après cette formule, la différence entre le polynôme

P,+ Ps+P,s et l'expression

(P,+ Pa) V#—1 PT OS ne 1) Ve —g9 —# ne doit renfermer que les puissances négatives de z, d’où il résulte que ARS dE de

sont les coefficients de 2°, z, 2? dans les développement de cette expression suivant les puissances descendantes de 2.

En vertu de cela, il vient

H=hrl=t P,=P—=2+9(1 +) (1+y) 72 pe

Pit — EP, ++ ÈS +.

Quant aux quantités Ps P;

on les déterminera, d’après (4), par la condition que le développement de l'expression

(etreu VAT) Ve —gÿ ——(P,+ Pre) Vé—1,

Eva roue À ne contienne pas de termes en —, =. Cela nous donne deux équations, d’où

l’on tire ces valeurs pour P,, P:

P, = glé + Rx + (2 — 1)gu; P,= 4hg + hé + AËgh + (Ag + (RE —1}) pu.

En les portant dans les égalités précédentes, on trouve ces valeurs ponr-2.. PP:

P= — 5 (499 + l— 1) — (2R2 — 1)gX — + (49° + — 8) pr;

P,= (RP + 1)g+ (2 — 1) À + lg; P,= AlËÿ + hf — 1 + 49° + (49? + 2 — 2) pu.

Pour déterminer les quantités auxiliaires À, Le

nous remarquons que les équations (7) et (9), (8) et (11), en les divisant l’une par l’autre, conduisent à ces deux équations

m __ Po — P,d Vh? — (9 + dj?

APRÈS HR hVI = d

m P,—Pd+P,® Vhr—{(g+df

qui ne contiennent plus les quantités cherchées À, a, r., À, Y1, et qui, en

portant la valeur donnée par (5), se réduisent à

A—d) VR—(g+d) =(Pd—E?,) V1:

u V1— VRË—(g+d)\=—P?,+Pd—P@.

Il est facile de voir que ces équations, si l’on y substitue les valeurs de k, 9, P,, P,, P,, P,, P, que nous venons de trouver, se réduiront aux équations du premier degré en À et sm. En résolvant ces équations par rapport à À, p et en portant les valeurs ainsi obtenues dans les expressions de Pi, P,, P,, P,, P,, nous obtiendrons toutes les quantités auxiliaires, dont les quantités cherchées

dépendent d’après les équations (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13).

C’est la détermination de ces inconnues que nous allons aborder maintenant.

$ 5. Pour déterminer l’angle À, nous remarquons que les + Lames (7), (8), si l’on divise l’une par l’autre, donneront

À—d uV1 — d?

tang À —

Ainsi la tangente de l’angle À se trouve déterminée complètement. Quant aux deux angles qui ont cette tangente et diffèrent l’un de l’autre de 180°, nous prendrons pour À celui qui est compris entre 0 et 180°, en choisissant conformément à cela le sens suivant lequel la ligne a — 4À,, à l’intérieur de l’angle À AM, sera comptée positive.

Passant à la détermination des quantités à, x,, y,, nous remarquons que les mêmes équations (7), (8), si on les élève au carré et ajoute, donnent

a (A — dÿ+(1 — d’)p2

a (1 — di d’où il vient à VO — dP+(i—du?

me. 1 — dÀ

Des deux signes on devra prendre ici celui qui correspond à la supposition que nous avons faite à l’égard de l’angle 4. Comme cet angle est supposé être compris entre 0 et 180°, son sinus sera positif, et cela, d’après (7), ne peut avoir lieu que si le rapport

a un signe opposé à celui de

À — d 1 — dÀ

On déterminera ainsi la valeur absolue et le signe du rapport

Pour abréger, nous désignerons la valeur de ce rapport par f, de sorte que nous aurons

En posant encore, pour abréger,

r (P, — Pod) VR? — (g + dÿ? —N,,

IR wm1-# r [2P,d — P,(1 + d°)+2P,4] Vh?— (g + dÿ zN 1— dx =: h(1—d) ‘2?

nous présenterons les équations (10), (12) sous la forme

a(b — y) sin À — ax, cos À __ 7, Ti — N,;

a (y, — b) cos A°- ax, sin À — My; EN pa es at

De là, en posant d’après (14) a—fx,, nous obtenons ces deux équations

(15) f(O— y.) sin A — fx, cos A = N,; (16) f(y, —b) cos A— fx, sin A——N,.

qui serviront à déterminer x, et y,.

En résolvant ces équations, on tire de la première d’entre elles

(17) Y, —=0—cotang A. — 5;

et en portant cette valeur de y, dans la deuxième équation, on obtient une équation du second degré que voici:

(N, — m) D N, sin À x, + (fb sin —— m

Si l’on tire de cette équation la valeur de x, et qu’on la porte dans les formules (14), (17), on obtiendra les valeurs de x,, y,, qui représenteront la solution de notre problème, en considérant comme données les quantités r, », b et d—sinc..

À chacune des racines de cette équation il correspondra une solution à part, et si cette équation n’admet pas de racines réelles, on conclura que, pour les valeurs considérées de d, r, m, b, le problème est impossible.

$ 6. Sans nous arrêter aux calculs que demande, d’après ce que nous venons de montrer, la solution de notre problème, nous allons examiner la relation qui existe entre ses deux solutions lorsqu'elles sont possibles. Cette relation donne, comme nous verrons, des changements que l’on peut faire dans la composition des parallélogrammes les plus simples sans altérer le degré de précision, avec laquelle ils réalisent un mouvement rectiligne.

Soient x,', x,” les deux valeurs de x, tirées de l’équation ci-dessus et

! 4 Yi ? Yi

les valeurs correspondantes de 7,, a, les égalités Done, / ere LA ns | À TL, —L;; = Y:: G=8&

appartenant à la solution représentée (fig. 2) par le point À, et le centre C, et celles-ci

Fig. 2.

à la solution représentée par le point À, et le centre C,. Cela posé, nous aurons

a SAA. à AA,

et les équations (14), (15), (16) seront vérifiées par ces deux systèmes de

valeurs :

LA à U TL =, Y—Ys A—Q,

ss 1" De 144 Ho»: (44 = ; Y—Y1, AA,

ce qui suppose les égalités suivantes:

as rer fO—y;)sin A— fx, cos A = N,; fO— y,")sin A — fx," cos A= N,; fn — 0) cos A — fr LOL UN.

f(y— db) cos À — fx,” sin À — a = N,;

‘Il vient de là ANS RPSTSUOD AT AALITET Oh a! a + ,

Ep f@—y:) sin À— fx, cos A— f(b—y,")sin À — fx," cos 4; LCA re 0}008 4— fx) sin 4 — /

Ti Ad

—f(y,"— D) cos + ren fe" sin A— "5.

Ti et les deux dernières égalités se réduisent à

file ,. Es " Y, Sin À + %, cos A —Yy, sin ÀA+-4, cos À,

! my __ 4 m y,” Yi COS A — %, Sin A— or cos A2" sin A — +,

ou bien, ce qui revient au même, à

MU = cotang À: | 0 " ’ | PSE JS Y1”!

(y, —Y, )cos À — (x, —x, sin A (#6 —d;)

Comme d’après la première de ces égalités on trouve

u Y1 / 1 -œi" a) LT —%, —=%X - tang À 1 1 y !

in 2L- se À ( l 9) SE !

Ji 9 " r &;” æ Re — x :

. F 1+ 1” tang 4 æ " =

on aura, en portant ces valeurs de «/—#,", y/ — y," dans la deuxième, " " !

fn m ( 1 + à tang 4) cos À (2 — n,) à

et cette équation se décompose en deux, à savoir

fr —m(1 + Ytang 4) cos À = 0.

Or, en vertu de (19), la première de ces équations suppose les égalités &'=42, y) —Y,. Donc, les deux solutions étant distinctes, les valeurs de

M, Yi %, JL’ doivent vériier la deuxième équation, laquelle, en remplaçant, d’après (18), f par 7 se réduit à

a — m cos A—m %, sin 4— 0.

Il vient de là

Y,” __a'— m cos À

æ/— msnA ?

et les mêmes raisonnements, en changeant seulement x’, y, a! en x”, y", a” et inversement, donneront

Nous remarquons maintenant que les rapports

À 4 1 Yi * y ; à D a” a” x/— x

représentent les tangentes des angles que font avec l'axe des x les droites CC,, CC,, C,C, menées par les centres

et que les rapports

a! — mcos À a! — m cos À : ? Q m sin À m sin À

où, d’après nos notations, a A4 641 a 1X,

représentent les cotangentes des angles AA,M et AA M.

Donc les équations que nous avons trouvées expriment l'égalité de les angles que font les droites CC, CC,, C,C, avec l’axe des x, ou bien avec la droite FG, qui lui est parallèle, et les compléments des angles que les droites AM, AM, A,M font avec la ligne 44..

En vertu de cela, si l’on connaît un des deux points À,, À, et le centre C, ou C, qui lui correspond, on trouvera facilement un autre avec le centre correspondant; car, d’après ce que nous avons montré, par chacun des points À, À, avec le centre correspondant, le triangle CCC, est

complètement déterminé, et ce triangle donne l’inclinaison des lignes 4, M, A,M à la ligne 44.

$ 7. Le passage que nous venons de signaler d’un des deux points À,, À, à un autre, ces points décrivant, dans le mouvement considéré du triangle, des arcs infiniment petits, peu différents des arcs de cercle, peut être utile dans tous les cas, où l’on veut qu’un point du triangle décrive une courbe ayant avec un cercle plusieurs points communs, plus ou moins voisins l’un de l’autre. de

En effet, il est facile de montrer que, les points À,, 4, et les centres

C,, C, étant tels qu’on ait

CSC—F— MAA,