AA,.A,C?— AA, .A

l'expression sin À sin (4, — 4) ms Sin (4 + 4) sin (4 + 4) sin (A+ A+ 4), po sin À,.8in 4, sin À, sin À, .sin (4, — 4j) sin (À +- À;) sin (A + À:) ___ sin (4 + Ai) sin (À + À) sin (4, — A2) sin À 3 +2 * sin À,.sin 4, blm sin? À, .sin? 4, RE

qui ne renferme pas l’angle variable « et qui conservera, par suite, sa valeur pendant le mouvement considéré du triangle.

° $ 8. D’après ce que nous avons montré relativement aux points qui dans le mouvement considéré du triangle reviennent simultanément sur les circonférences de certains cercles, on peut trouver en tout parallélogramme composé d’un triangle et de deux rayons un point qui décrive approximativement un arc de cercle, et cela avec le même degré de précision que celui, avec lequel le parallélogramme réalise un mouvement rectiligne.

En effet, soit donné (fig. 3) un parallélogramme composé du triangle

Fig. 8.

AA,M et des rayons AC, À,C,; susceptibles de tourner autour des centres

C, GC. Soient ensuite: FG la droite, avec laquelle la courbe que décrit le

sommet ÆZ doit avoir plusieurs points communs, et À,, C, le point du triangle

AA,M et le centre qui lui correspond, déterminés, comme il a été montré,

dans la supposition que le sommet M du triangle AA,M se déplace sur la

droite FG et le sommet À sur le cercle C.

Parmi les positions que prend le triangle AA.M dans le mouvement

du parallélogramme, celles pour lesquelles le sommet M se trouve sur la droite FG peuvent, évidemment, être considérées comme provenant du

mouvement, pendant lequel le sommet ÆZ se trouve toujours sur cette droite. Or nous avons vu que dans un pareil mouvement les points À,, À, reviennent simultanément sur des circonférences tracées des centres C,, C.

Donc, toutes les fois que le point M du parallélogramme viendra sur la droite FG, le point À, se trouvera sur une circonférence tracée du centre C, par un certain rayon; et, par conséquent, la courbe que décrit le point 4, aura autant d'éléments communs avec un cercle que la courbe tracée par le sommet JM en a avec la droite FG.

Comme dans le mouvement, où les sommets 4, À, du triangle AA,.M se déplacent sur les cercles C, C;, le sommet M et le point À, reviendront simultanément, le premier sur la droite F#G, le second sur le cercle C,, les positions du triangle AA, M, dans le mouvement considéré actuellement, pour lesquelles le sommet ÆZ se trouve sur la droite FC, seront aussi les mêmes que dans le mouvement où le point À, est assujetti à se deplacer sur le cercle C, et un des points À, À, sur le cerele C ou C,;.

On voit de là que dans les mouvements des triangles AAM, A,A,M, considérés à part, les sommets

À; À, se déplaçant sur les cercles Gre

C;; Ci,

le sommet M décrira une courbe dont les points d’intersection avec la droite FG seront les mêmes que pour la courbe qu’on obtiendrait, si les sommets À, À, du triangle AA, M se déplaçaient sur les cercles C, C..

Cela nous montre que si l’on remplace, dans le parallélogramme donné, le triangle ÂA,M par le triangle AA,M, ou bien À,A,M, en remplaçant, conformément à cela, le rayon mobile 4,C ou AC par le rayon 4,C,, ni le nombre des points d’intersection avec la droite FG de la courbe que décrit le point M, ni la position de ces points ne seront pas changés.