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Sur le rapport de deux intégrales étendues .

| aux mêmes valeurs de la variable.

$ 1. Le rapport de deux intégrales

f Yudx J Yvdx :

étendues aux mêmes valeurs de la variable x et renfermant sous leurs signes des différentielles ayant un facteur commun Y éprouve des variations plus ou moins grandes, quand on change la valeur de ce facteur.

Nous allons montrer maintenant comment se déterminent les limites que ces variations ne peuvent dépasser, lorsque le facteur commun Y conserve la forme d’un polynôme de degré non supérieur à ». Nous supposerons en même temps que le polynôme Y et la fonction v conservent leurs signes dans les limites de lintégration, ce qui est la condition nécessaire pour que le rapport

[l Yudx J Yvde

ne puisse prendre toutes le valeurs de — co à + co. Pour simplifier nos formules nous supposerons encore que les intégrales

[ Yudx, [ Yodx

sont réduites de la sorte que leurs limites soient æ——1 et z— +1 et que le signe conservé par le polynôme X et la fonction v dans les limites d'intégration soit le signe +. É >

$ 2. En abordant la détermination des valeurs extrêmes du rapport

dans les conditions posées ci-dessus nous allons démontrer que la plus grande et la plus petite valeur de ce rapport correspondent aux valeurs du polynôme Y qui satisfont à l'équation suivante:

où p— 0 ou 1; po —= 0 où 1, Z étant un polynôme entier d’un certain degré. Pour le démontrer, soit

la valeur du polynôme Y pour laquelle le rapport

atteint sa limite supérieure ou inférieure dans les conditions posées.

Le polynôme Y, ne changeant pas de signe dans l'intervalle de æ= — 1 à &— + 1, toutes les racines de l'équation

contenues entre — 1 et + 1 doivent être racines multiples et leurs degrés de multiplicité doivent être pairs.

Désignant ces racines par

ct leurs degrés de multiplicité par

24, 2u,,....2u, et supposant que

désignent les nombres des racines de l’équation

F0 égales à

nous remarquons que le produit 2b 2H V2 v Vo (@—2,) “(t—2%) *... (t—%) “(1+x) (1—2)

représente un polynôme de degré non supérieur à celui de Y,, que ce polynôme, comme le polynôme Y, lui-même, conserve le signe + dans l’intervalle de x=—1 à æ—+1 et que son rapport à Y, reste fini pour les valeurs de x entre æ = —1 et x = +1. | rs

D’après cela, U étant déterminé par l'égalité A) U=(c—a) (a)... (o— a) (1 +2) (1— a)", et & étant un infiniment petit, l'expression 7, aU

représentera un polynôme du même degré que Y, qui conserve comme celui-ci le signe + entre x = —1 et x — +1,

Par conséquent la valeur du rapport

pour #1

ne pourra être ni la plus grande, ni la plus petite dans nos suppositions, si le rapport

Î® + aU)udx

Ï® Æ aU)vdzx

avec l’un des deux signes + de « est supérieur à

et avec l’autre —inférieur à cette quantité.

Or pour que cela soit impossible pour « infiniment petit, la dérivée par rapport à « de l’expression

J M=+ aU)udx

burgs à

at à

pour «—0 doit être nalle, comme on le sait, ce qui nous donne l’équation suivante:

Les polynômes Y,, U et la fonction v restant, d’après ce qui précède, positives entre & = —1 et x — --1, les intégrales

Sn SSL TO Î Yvdx, [ Uvdzx "4 ri

ont des valeurs différentes de zéro, et dans ce cas il résulte de l’égalité précédente l’équation que voici:

1 +1 JYoudz J Uudx —1 —1

1 1 J'Yovdx J Uvda —1 —1

D'où l’on voit que la plus grande et la plus petite des valeurs du rapport

correspondent à FU,

U étant déterminé d’après (1) par la formule

U— (x — 2)" (x — x.) "ei ...(T— 2)" +) (1—3%)"°

où p— 0 ou 1, p, = 0 ou 1. En vertu de cela l’expression Y—U indiquée ci-dessus qui donne les valeurs limites du rapport

se réduit à la forme # Y—Z2(1+x) (1 —x)", où

On voit d’après cela que les valeurs extrêmes du rapport

dans le cas où le polynôme Y de degré non supérieur à n conserve le signe +- entre 4——1 et x = +1, sont égales aux valeurs extrêmes du rapport

ri :

J Z2(1+ a) (1 — x) 70 wdx

+1 fz2a + a) (1— x)/0 vax

où p—0 ou 1, p,—0 ou 1 et Z un polynôme pour lequel le degré de l’expression A+ 2) (1 — ro.

ne Surpasse pas ». | Posant pour abréger

A+ (mou 0, (x),

(1+ x (1—xov— 0 (x),

nous allons nous occuper. maintenant de la recherche du polynôme Z de degré donné pour lequel le rapport

+1 ; [2206 (x) dx cas |

+1 J Z?86 (x) dx

—] atteint sa plus grande ou plus petite valeur.

$ 3. Remarquant que le rapport

ne change pas de valeur, lorsqu'on multiplie le polynôme Z par un facteur constant quelconque, nous concluons d’une part que le polynôme cherché contient un facteur constant arbitraire et d'autre part que par un choix convenable de ce facteur ou pourra assujetir le polynôme Z à satisfaire

l’équation +1 [20 (x) dx = -

pes |

D'ailleurs cette équation ayant lieu, le rapport

Tnt de re È | Jz 20 (x) dx re à

se réduit à l’intégrale

+1 [2 6, (x) da, MECS

donc, le polynôme cherché Z pour une certaine valeur du facteur constant représentera la solution du problême suivant des maxima et minima relatifs:

«Parmi tous les polynômes d’un degré donné et satisfaisant à l'équation

+1 [20(x) dx = 1 "1

trouver ceux qui donnent à l’intégrale +1 [ 2 0, () dx werk

la plus grande ou la plus petite valeur».

Multipliant par des constantes arbitraires les polynômes qui représentent les solutions de ce problême, nous obtiendrons les expressions générales des polynômes pour lesquels le rapport

atteint ses valeurs extrêmes. Quant au polynôme Z qui fournit la plus grande ou la plus petite valeur de l’intégrale

sous la condition

[ 220 (x)dx =1,

eus À sa recherche présente un cas particulier du problême dont il était question dans nôtre Mémoire, sous le titre: Sur les maxima et minima des sommes,

composées des valeurs d’une fonction entière et de ses dérivées *), Appliquant aux intégrales

+1 +1 [Z20,(x)dx, [2*0(x)dx —1 1 ce que nous avons donné en général à l’égard des sommes et changeant le

signe du facteur auxiliaire À, nous trouvons que le polynôme Z de degré m—1, qui procure le maximum ou le minimum de l'intégrale

+1 [ 27 6, (x) dx En:

sous la condition

*) Voir, T. Il, pag. 3—40.

se détermine par l’égalité suivante:

+1 Le produit Z ] De dz aux termes en x" près inclusivement est égal à une fonction entière. | ni Cette égalité n’étant pas altérée par l’introduction d’un facteur constant quelconque dans le polynôme Z, l’expression générale de Z qui satisfait à cette égalité renfermera un facteur constant arbitraire. La valeur de ce facteur se trouve à l’aide de l'égalité

[226 (x) dx = 1

enr | dans la solution du problème des maxima et minima relatifs indiqué plus haut; en passant de cette expression du polynôme Z à son expression générale qui donne les valeurs extrêmes du rapport

Îz 60 (x) dx

[220 (x) dx

nu | on devra introduire de nouveau d’après les remarques précédentes un facteur constant arbitraire dans l’expression du polynôme Z.

$ 4. Désignant par V la fonction entière qu’on obtient en développant l'expression

+1 60 (2) — XO (2) Z les 4 en | suivant les puissances descendantes de x et par B:. B,....1es coefficients des puisances négatives de x nous aurons, d’après ce qu’on à vu à l’égard du polynôme cherché Z, l'égalité suivante

0 — 10 B B [ue a = Ve + mr ec

WT:

asc

d’où l’on trouve en divisant par Z, +1

% (z) — 0 (2) APE L4 PB; B; de = 7 + Zn Zomes Heeee

On voit d’après cette égalité que la fraction

À Z représente la valeur de l’intégrale +} | 00 (2) — À0 (z) L LT — 2 re exacte jusqu’au terme dont le degré est égal à celui de — inclusivement,

ce qui n’est possible, comme on le sait, que dans le cas où dans la série des fractions réduites de l'intégrale

+1 d 9 “si (2) de, mn qu’on obtient en la développant en fraction continue, se trouve une fraction égale à :

Z? et la fraction réduite suivante ait un dénominateur de degré supérieur à #, ce qui suppose l’absence de la fraction réduite au dénominateur de degré "”, car le polynôme cherché Z est de degré m— 1.

Cela posé, il est facile de déduire dans chaque cas particulier l’équation à laquelle doit satisfaire la quantité auxiliaire À et de trouver l’expression des divers polynômes Z pour les différentes valeurs de À qui satisfont à cette équation. Quant au choix parmi ces valeurs de À de celles qui donnent la solution de nôtre problème, il ne présente pas de difficulté; car, comme on va le voir tout de suite, À est la valeur du rapport

fz 20 (x) dx

Pour nous en convaincre, remarquons que, d’après ce qui précède, dans la série de réduites obtenues par le développement de l’expression

do (2) — XO (4) LA étre GE nent ‘

: : AE 2 — ‘ en fraction continue, la fraction 7 St suivie par une fraction ayant un dénominateur de degré supérieur à celui de Zx.

Or dans ce cas, comme il est connu, aura lieu l'égalité suivante

[z (8, (x) —X0 (x)) dx = 0,

d’où il résulte

On voit d’après cela, que dans la résolution de nôtre problème, exigeant que le rapport

HI Jz 2 6, (x) dx

Ÿ226 (0) de

soit le plus grand ou le plus petit possible, il faut adopter pour À la plus

grande ou la plus petite de ses valeurs pour lesquelles dans la suite des fractions réduites de l’intégrale

| dl) — 2000 ge

gs |

il en manque celle dont le dénominateur est de degré ".

$ 5. L’équation, qui détermine les valeurs de À, et l'expression du polynôme correspondant Z s’obtiennent facilement au moyen du développement de l'intégrale

en fraction continue, Ayant trouvé la réduite de ce développement au dénominateur de degré m», faisons d’abord disparäitre dans les termes de cette fraction les diviseurs contenant la quantité À (ce qu’on peut faire toujours en multipliant le numérateur et le dénominateur par une certaine fonction de À). Le dénominateur prendra la forme

FQa"+ Fa + Eat +....,

où FO), FO, LL 0,

désignent des fonctions entières de À.

Multipliant cette formule par une constante arbitraire, nous trouvons l'expression (2) CFO)" + CE (2 + CFO) + ....,

qui embrasse tous les polynômes de degré non supérieur à m qui, étant multipliés par

[ dE) — 0) y,

donnent un produit qui se réduit à une fonction entière aux termes en æ " près inclusivement, Remarquant que le polynôme cherché jouit de cette propriété même, nous concluons qu’il doit être représenté par la formule (2); or, le polynôme Z étant de degré non supérieur à »— 1, le terme en x” dans cette formule appliquée à la détermination de Z doit disparaître, ce qui entraîne l’équation