EX

En vertu de cette équation, d’après ce qui précède, on obtient pour le polynôme cherché l’expression suivante:

(4) Z= CE, 2" "+ CE(aT +...

En déterminant la plus grande et la plus petite racine de l’équation F(À) = 0, nous trouverons la plus grande et la plus petite valeur du rapport

+1 Î 2? 00 (x) dx

Z étant un polynôme de degré m— 1. Les expressions de Z pour lesquelles ce rapport atteint ses valeurs extrêmes sont données par la formule (4), quand on y remplace À par la plus grande et la plus petite racine de l’équation (3).

. — Ves

$ 6. Nous allons nous occuper maintenant d’un cas particulier, où les

valeurs extrêmes du rapport e 1

et les valeurs correspondantes du polynôme Z s’obtiennent de la manière la plus simple d’après ce qui a été exposé. Ce cas aura lieu lorsque

L'intégrale +1 09 (2) — À8 (2) :

fe rue are |

se réduit dans ce cas à

or, en considérant la dernière intégrale comme limite de la somme

(25 — À) 0 (25) DE : L — 2 PE rs 2),

nous trouverons, en vertu de ce que nous avons montré dans le Mémoire sous le titre «Sur les fractions continues» *), que le dénominateur de la m-ième réduite de l’intégrale

(2 — À) 0 (2) per de eme À

s'exprime 4 l’aide de d,,,,(x), L, (x) c’est-à-dire à l’aide des dénominateurs de la (m-+-1)-ième et m-ièm réduites de l’intégrale

son |

2Q qe,

*) Voir T. I, pag. 203—230.

par la formule | (5) Dan (À) Ye (E) — Ÿm-e1 À) Pme (2).

Les fonctions Ÿ,.,,(x), (x) étant respectivement de degrés » + 1, m, le terme le plus élévé du polynôme représenté par cette formule sera de

la forme H4,(Q).x”,

et par conséquent dans le cas considéré l’équation qui détermine la valeur de

À sera:

D’après ce qui a été démontré dans le $ précédent la plus grande et la plus petite racine de cette équation donneront les valeurs extrêmes du rapport

Pour déterminer les valeurs correspondantes du polynôme Z, multiplions d’après le $ 5 la formule (5) par une constante arbitraire C'et prenons pour À les deux racines nommées ci-dessus de l’équation 4, (À) — 0.

On aura ainsi pour le polynôme cherché Z l'expression suivante:

D ie OT Ÿm-1-1 À) Ym (&)

qui peut être représentée par 7 C, Dan (&)

x” en posant

CG RTE» (8,1 (Q).

Dans le cas particulier où l’on a

ÿ (æ), d, (&), . ….. LA (&), … de réduites de l’intégrale

les dénominateurs

se réduisent, comme on sait, aux fonctions de Legendre

CU a à

RO Par conséquent la plus grande et la plus petite racine de l’équation X,,=0

représentent les valeurs extrêmes du rapport

Z étant un polynôme de degré m — 1. En faisant dans la formule

__ Co Xm

À égal à ces racines, nous aurons les expressions des polynômes pour lesquels ce rapport atteint ces valeurs extrêmes.

$ 7. Après avoir montré comment se déterminent les valeurs extrêmes du rapport

+1 [ 2260 (x) dx Lt |

Z étant un polynôme de degré donné, revenons maintenant à nôtre problême de la recherche du maximum et du minimum du rapport

Y étant un polynôme de degré n et conservant le signe + entre x=—1 et æ — + 1. Ces valeurs extrêmes du rapport

comme on l’a vu dans le & 2, seront égales aux limites que le rapport

Îz (1-2) (1 — x)P0udx

1 ; jz (+2 (1— 2)Ÿ0vdx

ne peut dépasser, lorsque p — 0 ou 1, 9, = 0 ou 1, Z étant un polynôme

de degré non supérieur à Eee, Désignant par EEE le plus grand

nombre entier contenu dans ——%—#© et remarquant que l’expression géné-

rale d’un polynôme de degré E“—%— renferme comme cas particuliers

les polynômes de tous les degrés inférieurs, nous trouverons ces limites d’après ce qu’on a vu dans les $$ 2 et 3, en posant

(6) m1 pa,

et en faisant à l'égard des nombres o, p, les 4 suppositions suivantes: 1) p—0, p,—=0, 2) p—=1, po—0, 3) pr 0, Po = 1, 4) p=1, p,=1.

Les limites entre lesquelles seront renfermées les valeurs extrêmes du rapport

+1 J F (1+ 4) (1 — &)0 udx

re (1 +) (1 — æ)0 vdx

pour ces valeurs des p, p, et les valeurs correspondantes de »#—1, seront les limites du rapport

le polynôme Y étant de degré non supèrieur à » et conservant le signe + entre 2—=—1] et x — +1.

$ 8. Nous allons montrer maintenant comment ces limites se trouvent dans un cas singulièrement simple, savoir, quand « —zv. Pour une telle valeur de w, d’après $ 6, les valeurs extrêmes du rapport

Jz A+) (1— 2)0 wdx

J = (+) (1— x)0 vdx Dee? À

pour un polynôme Z de degré m— 1, seront égales à la plus grande et la plus petite racine de l’équation

L, (x) étant le dénominateur de la m-ièm réduite de l’intégrale

(1 + 2 (1 — 2)0 udz DE .

qu’on obtient par le développement de cette intégrale en fraction continue. Pour trouver les valeurs extrêmes de ce rapport, qui sont d’après ce qui précède les limites du rapport

lorsque le polynôme Y est de degré non supérieur à » et reste positif entre æ——1 et x—+1, nous devons considérer 4 hypothèses à l'égard des

nombre p, Po:

p—=0, p—0, p=1l, p—0, p=0, fo—=1, p—=1l, po—=l;

n +2 n +1 n +1 n (7) Mm—=E——, m=E——-, mMm=E——, m,= LE.

Désignant par Pa (2), Yn (@), Ÿn (x), Ÿn (&)

les fonctions auxquelles se réduit la fonction d,, (x) pour les valeurs précédentes de p, p,, nous remarquons que les plus grandes et les plus petites des racines des équations

(8) e () er 0, go) (à) = 0, (4 (À) — 0, sg (À) — 0

seront égales aux valeurs extrêmes du rapport

Î 2 (1+-x) (1 — x)0 œudæ

[za (1 — 20 ur

et parmi celles-ci la plus grande et la plus petite seront les valeurs extrêmes du rapport

dans les conditions posées.

Passant à la détermination des fonctions

Un (&); Ÿm (&); Ÿm (&); Yn (&)

pour différentes valeurs de ”, nous remarquons d’abord que la première entre elles de (æ),

correspondante à

se trouvera à l’aide du développement de l’intégrale

en fraction continue, cette fonction étant comme on l’a vu le dénominateur de la m-me réduite.

D'après la formule (5), en y faisant À= 1 et remplaçant 4, (x), L,.1(&) par V® (x), V9, (x), nous trouverons les expressions suivantes des fonctions L9 (x), Ÿ (x) qu’on détermine à l’aide du developpement des

intégrales +1 +1

(1+- 2) udz (1 — 2) udz.

] æ—s ? ] æ—2 de

pan | T3

cm 394 =

en fractions continues:

LD (— 1) 40, 1 @) — V0, (— 1) YO (x) ?

(9) go) (x) rer æ +1 __ de A) PU (&)—4®,, (1) 4 (x)

Par la même formule, en y remplaçant d,,(x), d,,.,(æ) par Y (x),

LP. (x) et posant À—1, nous trouverons l’expression suivante de la fonction

Ÿ® (x) qui se détermine par le développement de l'intégrale

(1— 2) Cest Ph T—8

on À à l’aide de la fonction Y® (x) déterminée par le développement de l'intégrale

+1 [= CE q

(4) LD (1) LD, (x) — DE), (— 1) LD (x) bd (æ) —. +1 y

à savoir

En substituant dans la dernière égalité les expressions des fonctions

WP (x), LP, , (x) tirées de (10), nous trouverons qu’elle se réduit à la suivante

LU) (x) — — MY), (x) + NyQ) (x)

(11) go (x) — te 1 ?

où (1) L— ne CU (1) VD (— y (1) ga, (— 1) |,

ou FREE D (1) Ps (—1) } pe ya CDN CD)-HEL EME]

C’est ainsi qu’on trouvera toutes les fonctions qui figurent dans l’équa-

tion (8). Quant aux nombres Mo M, Ms My,

qui déterminent les degrés de ces équations, on trouve d’après (7) en posant

n="21, les egalités m=i+ 1; mi; ml; M,=l, et posant n = 21— 1,

on aura m=l; m=l; m=l; m=I— 1].

$ 9. Dans le cas particulier où = }, D (2), WP (æ), Ya (&). ...,

représentant les dénominateurs des fractions réduites du développement de l'intégrale ;

les fonctions

en fraction continue, se réduisent, comme il a été ce remarqué dans le $ 6, aux fonctions de Legendre

X, ? X,, Z;, D . 26 d ; et par suite dans le cas considéré nous aurons

PO = Xp Van = Xp YO = Xp ss:

en vertu des proprietés des fonctions de Legendre on aura dans ce cas

g0 (1) = 1, Yo: (1) = Fa 1, (A (1) = k, —D=ba—D=(-1S ace (1) d’après cela les équations (9), (10) et (11) nous donnent Q9 (= (— 1)" mn Èn,

“A0 mg va

X — X QE (a) = (— 1)" Rae En.

Remarquant d’ailleurs que d’après les propriétés des fonctions de Le-

gendre X 2m + 3 X m+1

m +-2 m + 2 % m1 m+Ee<2" M?

nous trouvons que la dernière des formules précédentes conduit à l’expression suivante de la fonction 4} (x):

92m +3 X x—X VD (x) = (—1)" m2 Se pa

ns 168

Il en suit d’après le $ 8 que les valeurs extrêmes du rapport

+1 Î Yxdxæ RARE à ?

Ydx le polynôme ?Y restant positif entre x = — 1 et x—+1,se trouveront au moyen des équations ; m (&) = X,,,= = 0, Yo) = (— 1) ES = 0, (12)

XI41 — À D @) = Aa —0,

lorsque le degré de Y n’est pas supérieur à 27, et au moyen des équations

Pr) =X,=0, QD (x) = (— 1) EN 0, (13) (8) ® (x) = Ft — A UN,

1 A+ 1 Xyx — Xy do (x) = (— 1) : — TE 1=0, lorsque le degré de Y n’est par supérieur à 2/ — 1. $ 10. Au moyen de ces équations nous trouverons la limite supérieure du rapport

en déterminant la plus grande quantité qui satisfait à une équation quelconque parmi les équations (12) ou (13), selon que la limite du degré du polynôme Y est égale à 27 ou à 27 — 1.

Cela se fait facilement en vertu des propriétés des fonctions de Legendre. La fonction de Legendre X, admet toujours, comme on le sait, des valeurs de signes contraires pour deux racines consécutives de l’équation

donc, il est certain que dans chacun des / intervalles entre ces dernières

se trouvent des racines des équations de degré /

Xi À p Xi X p Xe Xi ph BE. ui 4 a?— ] Re PE A

D'où l’on voit que toutes les racines des équations précédentes sont plus petites que la plus grande racine de l’équation

par conséquent c’est cette dernière racine qui représente la plus grande des quantités qui satisfont à l’une quelconque des équations (12). En appliquant les mêmes raisonnements aux équations

RG Xj2— Xi, X,=0, 3 —0,

nous nous convaincons de ce que toutes les racines de l’équation

Xy2x — Xp

seront moindres que la plus grande racine de l’équation X,—= 0.

Cette racine surpassera en même temps toutes les racines de l’équation

ts — Xi:

æ—1 mené

parceque, d’après ce qui précède, ces dernières sont plus petites que la plus grande des racines de l’équation