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Des maxima et minima des sommes composées de valeurs d’une fonction entière et de ses dérivées.

$ 1 Le calcul des variations nous donne le moyen de déterminer les valeurs maxima et minima des intégrales uniquement dans le cas, où la forme des fonctions inconnues, renfermées sous le signe de l'intégration, est supposée entièrement arbitraire. Mais si, d’après la nature de la question, la forme de ces fonctions inconnues est limitée par quelques conditions, leur détermination, en vue de rendre maximum ou minimum une intégrale, ou en général une somme quelconque de leurs valeurs, exige des procédés particuliers.

Nous nous bornerons ici à considérer le cas le plus simple de ce genre de questions; savoir, celui où la fonction inconnue est supposée entière et d’un degré déterminé, et où tous les termes de la somme proposée s’expriment au moyen de cette fonction, de ses dérivées et de la variable indépendante, et forment une fonction également entière et de forme déterminée.

Ce cas mérite une attention particulière à cause de ses applications, qui comprennent, entre autres, la solution de la question de l’interpolation parabolique d’après la méthode des moindres carrés.

$ 2. Soit Fa, 4:V; vs.)

une fonction donnée et entière de la variable indépendante x, du polynôme inconnu

et de ses dérivées LA ', Y: Y ;.

Désignons par %, , %, 9 Vs, . . +

une série de valeurs quelconques de la variable indépendante x, que pour plus de simplicité nous supposerons différentes entre elles, et par

D F(&, Yi, ÿ, AE rue) la somme des valeurs de la fonction

Fay, 4,1)

pour ces valeurs de la variable x. La valeur de cette somme dépendra de celle des coefficients Re di A

m—1 du polynôme y=A,+A,t+....+ A2 +....+A z

et les valeurs de ces coefficients qui rendront la somme