D RS

, 2 ! , Pas Parts Phi aies

les racines de l’équation

Yi (e) = 0 et en les disposant avec celles de

par l’ordre de leurs grandeurs croissantes, nous trouvons la série

C4 A , Lo Por Pin Paso ee 8)s 8); Plsupsoc eg or Bu) dont les termes sont tous compris entre x, et x.

$ 4. Revenons à la fraction continue

Q2 + Bi —

Ut ho — e, - 1 7 me +Bm que l’on obtient en développant l’expression

b b [r (æ) dr [ æ f (x) dx [ MA f (x) dx a a a

: —.. Po en DS Ve K 22m ?

en fraction continue et en s’arrêtant à la mi"° réduite.

Cette expression ne diffère de l’intégrale

que par les termes

b b [ a? f (x) 0x Î am F1 f (x) 0x a a 22Mm+F1 a g2MH2 Ts, dE.

et comme ces termes n’ont aucune influence sur les » premiers dénominateurs de la fraction continue

a2 + Bi — ,

Usb 1

me + Bm —

nous pouvons, en nous bornant aux » premiers termes, la regarder comme provenant du développement de l’intégrale

| f (&) dx Z—X

Or, cette intégrale, où, par hypothèse, la fonction f(x) reste positive pour les valeurs de x entre a et b, peut être regardée comme la limite de la

somme 2 À 2 ‘ 2 (0) + a) +... En a 34 (Æn),

dans laquelle les quantités x, désignent une série de grandeurs croissantes de 4, = a à æ&, —b, et les C(x,) des quantités positives choisies conformément aux ralbuts correspondantes de f(x); et nous en concluons, d’après le

$ 2, que les coefficients &,, &,,..., æ,, de la fraction continue A8 + Pi — : ?

LE + Bo — 0, 1 ns m2 + Bon

provenant du développement de l’expression

b b [ f (&) à [ &f(e) dx [ a f(x) dx a a

: ere EU QUE

auront des valeurs positives, définies par les formules

Gens ; et Due * sr Ù [ Yo (a) f(e)èr [ 41 (0) F(o) de [ Va (07 (ar a a a

et que les dénominateurs (,, (2) et d,,. (2) des réduites

Em), 9m (), Ym(2) Ÿm—1 (8)

auront toutes leurs racines réelles, distinctes et comprises entre a et b. De plus, en désignant par

&o) CECILE anse En