ous m

0) 20; 8; 4 En ° Tout ceci doit avoir lieu, bien entendu, si les intégrales

a peuvent prendre des valeurs données pour f(x) positive entre Set 0 $ 5. Nous venons de voir que, si les valeurs données des intégrales

b b [ f(&)0a, [af()dr,. [ 2" f(@) 0x

sont possibles pour f(x) positive entre a et b, l’équation

déterminée par ces valeurs ne peut pas avoir des racines hors des limites a et b.

Deux cas peuvent donc se présenter: 1) aucune des racines de l’équation

Yn (@)= 0

v’atteint ni la limite a, ni la limite b, et 2) l’une deslimites aetb ou toutes les deux annulent la fonction 4, (2). Nous allons d’abord examiner le second cas qui d’ailleurs se présente très rarement.

En regardant l’intégrale b

| JF (æ)

a comme la limite de la somme

6220) 5%) + Pen),

Z2—% 2—% INR) ET

où l’on a æ, — 4, x, —b, et en remarquant que, d’après le $ 2, le dénominateur de la dernière réduite

Pn+1 (2),

Ÿn+-1 (2) égale à cette somme, est le seul qui peut s’annuler pour 2=4%, — a et

2—%, —b, nous en concluons que, dans le cas considéré, la somme

62(xo) Me 62(x;) He Le (x) 2 — Xo Z—%) Z2—Xn

et par conséquent l’intégrale

doivent être égales à la réduite Pm (2), Ym (2)

Or, cette fraction se décompose en une somme de fractions simples de la forme

Pm (2) A à (20) 1 Pm() __ 1 ER Pm(2m—1) 1 Ÿm (2) Ÿ'm (20) € — 2 Don (21) 2 — #1 LPE Um Em) 2 — 2m +

et pour que cette somme puisse être égale à l’intégrale b

a il faut que la fonction f(x) s’annule pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, qui ne sont pas dans le voisinage de

T— 29, Ze. DEL EET

et que pour les valeurs de x infiniment voisines de T— 2, CORREL ZE"

elle ait des valeurs telles que les intégrales

j re, Jr. ['faêr

se ramènent, lorsque w devient nulle, aux valeurs

Pm(20) Pm() 1524 (2m—1) .

Yon (Co)? Ÿ'm > Von Em) :

Avec une telle fonction f(x) l'intégrale

[ f(&) ox

a se ramène au résidu intégral

£ Pan \&) (e), ÿm @ ()’ pour toutes les valeurs de v entre les limites «a et b, différentes de

20) &; ... , Z Quant aux valeurs de

VE Ko 6e 3 Epnas

on voit que pour ces valeurs de v l’intégrale [ f(&) 0x (21 reçoit des accroissements brusques, égaux respectivement à

Pm (20) Pm (21) Pm (£m—1) .

Ven Go)”. mn (n)° °° * Ve Cm)?

et par conséquent pour