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d’où l’on tire la formule

Doi) — L (ns Et 2..." D'i (Gi) Sas pe, (G) F FA }

dans laquelle le dernier coefficient &,,, le dernier dénominateur Z.

, Sera égal à y, coefficient de z dans

Aiïnsi pour toutes les racines

8; (AR .. 45 de l’équation

D, (2) = 0 on aura Do(z) __ 1 De) a Lo (2) + do V2 (2) +... + om Von (2) + Y Lm (e)’

et comme, en vertu de (2) et (3), 2 = v annule la fonction ®, (2), on obtient la formule

Do(v) __ 1 ;

D”, (0) a Vo (0) + do Da? (0) +... + op Va (0) + Y Lun (©)

$ 8. Dans le $ 1 nous avons montré que les limites de la différence entre l'intégrale

se [ F(æ) 0x a et le résidu intégral Do (2) . sont données par 1 ©,{(v) 1 @,(v) T0 +300

et l’on voit d’après la valeur trouvée de la fraction

Do(v) D"; (v)

que le degré d’approximation avec laquelle le résidu intégral

F] Do (x) LA (2)

donne la valeur de l’intégrale

[ f(&)ox

sera déterminé par la fraction

2 “ax Po? (0) + do 12 (0) +... + Cm V1 (0) + Y 2m ()?

dans laquelle la quantité y seule dépend des limites a, b des intégrales considérées.

Cette fraction augmente lorsque y diminue, et elle diminue lorsque y augmente. Comme la valeur de y qui est toujours positive sera nulle pour 4 —= — co, b — co, et deviendra infiniment grande pour 4,,(a) = 0 ou d,,(6) = 0 ($$ 1 et 6), on voit que la différence entre l'intégrale

et le résidu intégral

Do (v)

tendra vers zéro si a ou b s’approche indéfiniment de la valeur d’une racine de d,, (+) et si v n’est pas racine de cette fonction, ce qui est bien conforme aux résultats auxquels nous sommes arrivés dans le $ 5.

La limite (7) de cette différence atteindra au contraire sa plus grande valeur pour a = — cc, b— © et ce réduira pour ces valeurs des limites a,

b à la fraction 2 «Lo? (v) + à Vi2(v) +....+ Cm Ven —1 (©)

Il est facile de voir que la valeur de cette fraction diminue lorsque le nombre » augmente, et qu’elle deviendra nulle pour m — co, si la série

ce Do (0) + ad (0) + a, Ve (0) +...

est divergente. Cette fraction dépend évidemment de v aussi, et par conséquent, selon la valeur de v, le résidu intégral Do (2)

donnera la valeur de l’intégrale

avec une approximation plus ou moins grande. Il est cependant facile de montrer que pour certaines valeurs de v la valeur de la fraction

1 1 2 a Po? (0) + a Di) +... + om Pm—1 (0)

et par conséquent aussi la valeur de la fraction (7) dont elle est la limite supérieure, sera plus petite que

b = [ f(x) dx.

En effet, en désignant par D la plus grande valeur du dénominateur

ak (0) + ad (v) +... .+ an V1 (0) pour a < v <. b, nous trouvons l'inégalité

b b [Ce bé (0) + ah (0) +... +, 02, (0) f(0) 00 < D [ F(æ) 0x,

et comme d’après les formules b b b BUAONOL EPA LACOSTE CIEL ES

, Lin a

le premier membre de cette inégalité se réduit à », on aura l’inégalité

b m < D Î f(x) ox

ou bien

- « k e L4 « La On voit par là que ;> qui, conformément à notre notation, représente la plus

petite valeur de la fraction

1 1 ra ay Do? (0) + ao 2 (0) +... , + om Von ()?

pour les valeurs de v comprises entre a et b, sera plus petite que

Donc, quelles que soient les limites a et b, la différence entre l'intégrale

et le résidu intégral

Do (2) mt) a—0

ne peut pas surpasser la valeur de la fraction

1 1 2 a Lo2(v) + ao V2 (0) +... ++ em V2 (2)

ou bien de la fraction