VIE
La constante d'intégration C se trouve facilement en remarquant que la fonction @(t) se réduit pour {— 0 à 7, = Yi (v) = 1. De sorte que l’on aura | OR À et par conséquent
get
Ÿ l PU UEE—S
$ 11. D’après l’expression trouvée de la somme
co 2 1
où é désigne une quantité variable, la limite inférieure de la somme
PAT | ts E
pourra être déterminée à l’aide des formules données dans notre mémoire mentionné plus haut Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. Pour appliquer les formules, données dans ce mémoire pour des intégrales, aux sommes
[ee] DRE T+Ti+.. + TE,
nous allons les présenter sous la forme des intégrales
C9 [ Yédx, | Yt 0x, 0 0
en désignant par Y une fonction de x qui s’annule pour toutes les valeurs de + qui ne sont pas dans le voisinage de
Monet Ds. :; et qui pour les valeurs de x infiniment voisines de te 1: 29,...;
a des valeurs telles que les intégrales
wo 1 2 [ For, | Fox, | For...
tendent respectivement vers les valeurs
lorsque w tend vers zéro.
Pour une fonction Y ainsi déterminée on aura évidemment
(ee) CO [rFœ= T0, 0 0 et m—1 [F0 T4 Tite... + TT
Comme la fonction Y{” ne devient pas négative entre les limites 0 et co, les valeurs limites de l'intégrale
Ÿ [ YF 0x d’après les valeurs des trois intégrales C9 CO CO [rto, [aytox, [st YF0r 0 0 0 seront déterminées par les formules données dans les $$ 6 et 7 de notre
Mémoire mentionné plus haut.
En faisant dans ces formules
nous trouvons que pour
la limite inférieure de la valeur de l'intégrale [ YF 0x
sera
ré 2 . (l Yi æ) Î Yon — © 0 a [ a? YiT ox En remarquant que d’après l’égalité
C9 [ Ft 07 = 0 (t),
on aura
© fa rtor=10(,
[error 0"(+t0(E,
nous en déduisons l'inégalité
AT
t 0! (t 2 Î FE 027 0 — rep
En prenant ici pour £ une racine quelconque de l’équation #6" (é (#) 2,
nous trouvons l'inégalité
Comme d’aprés les propriétés de la fonction Y on aura
[ Féda=T,+Tit+....+T, Ut,
l'inégalité précédente se réduit à celle-ci:
nee t(6/ (t))2 CRETE EEE TT
qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de £ satisfaisant à (11).
Donc, en se bornant aux valeurs de é comprises entre 0 et letremarquant que pour ces valeurs de £ on aura
lei. ht elteltr.. +7,
on devra avoir l'inégalité
TH 47, >00—pm0
d’après laquelle nous pouvons trouver une limite inférieure de la somme
en prenant pour £{ une racine de (11) comprise entre 0 et 1. $ 12. En portant les valeurs de 4/(t), @”(t) tirées de $ 10, on trouve
(e i av?) (1 — 2) et q?u?t + ge UT (13) Li
Vi —t? (1 —4) 2 »2 ( 2 Y hs era) gg v+i|i+ +5 v
La dernière inégalité nous donne la limite inférieure de la somme
Sn = To ++... + TT,
en fonction de la racine # de (12) comprise entre 0 et 1.
Il est facile de voir que pour » > 1, comme nous le supposons toujours, l'équation (12) admettra bien une racine entre 0 et 1; mais la détermination exacte de cette racine est très difficile.
Comme il ne s’agit ici que de trouver une quantité qui reste constam-
mM—1 :
ment plus petite que Là. T,, nous pouvons y arriver sans résoudre l’équa-
tion (12).
Pour cela nous tirons de (12) la valeur de V m—1 et nous divisons
par elle l’inégalité (13), ce qui nous donne une inégalité qu’on peut mettre
sous la forme
got ENES A 1+t e (e+; get) (a+ a ) Sms, Ï 1+t V m—1 1 GE t L 1—$t : (1 — 1} See TT mot (ta ot) 2t+ as
En remarquant que la valeur de { dans cette inégalité doit être plus grande que zéro et plus petite que l’unité, nous trouvons
go?t Fu . L + or <1—+9v?, D, gu<LI2+ qu <2(1+ 40),
1—t 9 9 1—+t 9,9 ne SU Penar ee BO
qg?v?
en vertu de quoi l’inegalité précédente nous donne
(14) Sym—1 > (g? 0? + 1) 8
Vm—i 3° V2 - PUS 2 ( 1—+t, 2 t+ 5 g*v
Passant à la détermination d’une limite inférieure de
1—t 9 0 LEE TN GE Y
nous remarquons que l'équation (12) peut s’écrire
1—t)t 1+t (m— 1) (8) = 8 + go = +; av
Comme # est comprise entre O0 et 1, tous les termes seront positifs et l’on aura
d’où l’on déduit m(l—Ë > 1, ce qui donne 1—i> m(l+t) et par consequent re Pt D'autre part, en cherchant les maxima des fonctions {—1t} D. TT:
qg2v?
Tire
pour 0 < £< 1, nous trouvons qu’ils s’obtiennent pour t—V2— 1, i—1 et qu’ils sont FR RTEUTRS égaux à Vas, en vertu de quoi l’équation précédente nous donne (m—1) (1—#)<P+2+(3— V8) ge:
d’où l’on déduit m (1— 28) L3+(3— V8) go?
et
CR Le vare,
ce qui donne
Lt ee 2 td La Ainsi, nous trouvons que
t>1 ere Lips k et l’on aura par conséquent
L + pu > 1—{+ = $ Pa 1—$,
de sorte que l’inégalité (14), en y remplaçant
t+ te par 1—,
nous donnera Sn—1 2 (m — 3} 1
ou bien
S . 2(m—3PVm—I1 - 1
FT vs (m2 — 2m +- 3)? Qo+ 1
En remarquant que, conformément à notre notation, on a
S, ,=T+lz+... rs, — PRES ans er
nous en concluons que la fraction
ou + st ini 15 em
sera plus petite que 3 V 3 (m2 — 2m +- 3) (2 02 +1) 2 (m — 3} Vm —1
Comme d’après le $ 9 cette fraction donne les limites de la différence des intégrales
v v + à Σe 0x, Jh@è — © —.O0 si l’on a les égalités É. + 00 ge?
he f, (&) 0x = = € 0x, — © — C9 + 0 ge AS et ces 2 Ôx x f, (x) 0x = = Te ; — © — © + + © ge?
ETTe 2 0x, — — œ + 00 + 00 g2x?
PESTE Li 2 0x, — © — ©
C9 ne su 4 Je hi =] 22" à 0x, — C0
la fonction f(x) restant constamment positive, et comme on a
End v 2 gx? son gx?
é ha 0 8 Ôx = —| e—%* 0x es. = 1 FE Vr : V27% x — © — co — co + © ge? + 00 ge 5 q ar 1 —— xe 0x = 0 — we 0% = — RL SSL EST x Le : 27 ide :
nous en déduisons le théorème suivant:
Théorème.
Si la fonction f, (x) reste constamment positive et si l’on a
Jo, [er @or—0, CLS J# ht =0,
1e A 07 À, Pt MEURT CA. UE, M AE. OO MUR Perl Mie Or DEL Me DOS Del vif, Re Mal. MO CUIR UNS OX OU ES US A OS EN COUT OU OR ONE OR DL NL DR
pe —+ 00 | 22 f (x) dr = ns Ï D" f(x) de = 0,
la valeur de l’intégrale
sera comprise entre les limites
V2 Æ. oi. 3 V 3(m2— 2m-+-3) (a? v2+- 13 Vz 2(m—3} Vm—1 — CO qgv
V2 1 2) 3 V 3(m2— 2m +3) (q? v? + 1)3 me TC .
J' . 2(m — 3} Vm—1 = 00
pour toutes les valeurs réelles de v.
Rad 3e
ce
