TRADUIT PAR X. LYON

(Lu le 10 mars 1887.)

(Hparoxenie £& LV-my rouy Sanncoxr Huneparopcxoë Araremin Hays, X 6, 1887 r. Acta mathematica. T. XIV, 1890—1891, p. 305—8315.)

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Sur deux théorèmes relatifs aux probabilités.

$ 1. Dans un Mémoire, sous le titre: Des valeurs moyennes *), nous avons montré comment on obtient des inégalités, d’où l’on déduit facilement un théorème sur les probabilités qui contient comme cas particuliers le théorème de Bernoulli et la loi des grands nombres.

Ce théorème, nous l’avons formulé ainsi:

Si les espérances mathématiques des quantités

Un Ugs Ugyooue, et de leurs carrés

2 2 2 Us, Un y Ug geo

ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique d’un nombre n de ces quantités et la moyenne arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quantité donnée, se réduit à l'unité, lorsque n devient infini.

Nous avons été conduit à ce résultat en cherchant à déterminer les valeurs limites d’une intégrale d’après les valeurs données des autres intégrales qui contiennent sous le signe f , outre les fonctions connues, une fonction inconnue, assujettie à la seule condition de ne pas devenir négative entre les limites d'intégration. En développant la méthode employée dans

ces recherches nous arrivons, dans un cas particulier, au théorème suivant sur les intégrales **):

**) T. II, p. 443—478.

Si la fonction f(x) reste constamment positive et si l'on a + CO —+ CS CO —+ © [ f(&) 0x = 1, [ xf(x)0x = 0, Î fr [ a f(x) 0x = 0, — ©