Pçaf 2.8 Pix; 8.4. P: x + IT + xt x

et après y avoir réuni les termes de dénominateurs communs, elle. nous donne la série suivante:

-2M;x ZM;x;+ZEN;x ZM;x?+Z2N;x+2Z1.2P;x ue à —Æ + .. +

Donc il résulte que les sommes > Ms; sure

Dz+ NS 2Na,+ NN 1.2P,x;,

Due m— Na + D (m—1)(m—2) Pr" +,

sont les coefficients de

x? x2? par RC am

dans le développement de l’expression No’ (x) 2 Pg (x)

Mo’ (x) (x) p(x) p (x) He Go dx?

selon les puissances décroissantes de la variable x. Mais nous savons, d’après le n° 2, que ces sommes forment les premiers membres des équations qui déterminent les valeurs des coefficients du polynôme

LE mMm—1 y—=A+At+H....+ À, € ,

pour lesquels la somme D Fe Vis Y Yi; stuu)

devient un maximum ou un minimum, et nous concluons que ces équations s’obtiennent en réduisant à zéro les coefficients de

É x? x?) Per At CE R am

dans le développement de l’expression No'(x) 3} Pe'(x)

M? (x) (x) ? (x) (x) dx dx?

suivant les puissances décroissantes de la variable x. Partant sous cette condition:

L'expression No’ (x) Pe' (x) (1) Me &@)__ 4 p (x) 4 p(x) ? (x) dx dx? re

en

avec une approximation poussée jusqu'aux puissances x" inclusivement,

est égale à une fonction entière où M, N, P, .... sont, comme nous l’avons vu dans le n° 2, les dérivées partielles de la fonction F (x, y, y, y", ....), prises par rapport à y, Y,Y,....

$ 4. Nous avons supposé, dans tout ce qui précède, que les coefficients

du polynôme y= A+ A,2+ A, +....+ 4, 2

étaient entièrement arbitraires: examinons maintenant le cas où le choix de ces coefficients est limité par plusieurs équations de la forme

S'ÉG Yi Yi Yi ...)= 4%,

D ÉG Vs) Vi Use +.) = y

. . ou , . “ . . . . . . . . . ,

FAUNE bts LES 2 | TER EE" MN EE

sont des fonctions entières quelconques de x, du polynôme y et de ses déri- , à (2 ?

véesS y, y ,.... Nous supposerons d’abord que les sommes que nous

venons d'écrire s’étendent aux mêmes valeurs de la variable x

%;, Lo PTE 6 + PRE

ainsi que la somme | D £G Yi) Vs; Y sus)

dont on cherche la valeur maximum ou minimum.

Par les propriétés connues des maxima et minima relatifs, les valeurs des coefficients

qui rendent la somme S At, VU Vi d: ...)

un maximum ou un minimum sous les conditions exprimées par les équations

D £G, Ya Ur hs .….)=@,

: 1 \' LA r * DHACT Mods. )= 0,

. . . . . . . TA Lt . . . . h A