ds Mm— nos M
— Lim)
ne dépassent pas les limites indiquées ci-dessus pour
1 pm) YA) Ym—r (A) Ye (0) — Vm (= 7) V1 O), EX. m k
et que d’après (10), (35) on a
D,.(0, —h) = Lt) = Ÿm1 C7) Vm (0) = Ym (7) mi (0),
nous concluons que si 4° est plus grand que la somme
hMm—] L (m Ÿ (— h) L (m
m (&) — (Le 1} 14 a =
n’aura pas de racines négatives et qu’alors, comme nous l’avons vu, les équations VO=0, 9, .,.@=0:..,; #7 &)—=0.
n’auront pas non plus de racines négatives.
De là, ainsi que des résultats des paragraphes précédents, en posant
D Co; GrûG— Ci, ce) Com Cm = Cu n
nous obtenons le théorème suivant.
Théorème.
Si la série Ge ER € es F1 x? a
est développable en fraction continue
RER 1 Ne al Et Pen RE 1 amT+Pm— où l’on a Led: RE A ts et si toutes les racines des équations ÿ (x) = 0, da (x) —0,..., Yan (x) — 0, Un (x) = 0,
formées avec les dénominateurs des m de ses réduites
@1 @), ?2 (x) re Pm—1 @), Pm (&) Ÿ1 (&) Ÿo (&)’ É Ÿ m—1 (€) Ym (x)
ont des valeurs positives, la même propriété avec le même nombre m a lieu pour la fraction continue provenant du développement de la série
CO C, C He EH) x x x
et pour ses m premières réduites, lorsque les coefficients es F4 FT .., EEE
ne dépassent pas les limites
A 1 h h? c h?2Mm—1 0 H* "1 Hi: Ho? 2. "2h" He.
1 h h? dam]
CG? 7: EEE : M LUE : A LP ie: A ,
où h est une quantité positive quelconque et H, une quantité positive plus
grande que la somme am]
Rh — 1 ne 3 men 7,
Ym (0)
dans laquelle L\”? est la limite supérieure des valeurs absolues des coefficients
du polynôme Yon (— À) Von (&) — Yan (—À%) Yan 1 (©) x
et L,” en est le terme constant.
$ 13. En passant à l’étude des racines de l’équation
(45) Y,, @) = 0, lorsque dans la série x La HA les quantités Cor Cyr Cas
sont complètement indépendantes entre elles, nous observons que d’après le $ 12 cette équation se reduit à l’équation
(46) Yn@+Ù (—1) 7, a= 0, dont les coefficients | Yu Ty-ars PV
sont déterminés par les équations (28). En posant dans ces équations
nous trouvons
F0 Bons, EE —=0, 7,=0;
après quoi l’équation (46) se change en l’équation
Il en suit que les racines de l’équation (46) sont des fonctions des quantités a UE APE M qui pour
sont égales aux racines de l'équation Ùn (&) = 0.
%;, ÉPTEREL TERRE 7"
En désignant par
les racines de cette dernière équation disposées dans l’ordre croissant, et par
cr, 0), r 0). . AE : pi
CCE
les racines de l’équation (46) disposées de manière qu’on ait
LA <a en à <a) Fe < x 0 pour e, = 0 e, = 0, e, = 0,. 5 53 6. :=0, nous aurons pour ces valeurs de &, e,, e,...e,, d’après ce que nous avons vu plus haut,
or (0) — (0) — b) %, — À,, To = Lo, = Lys.) x, = Th:
D’après (3) et (28) tous les coefficients des fonctions Wos Om (à)
s’annullent pour
et l’on a OWo __(—1}
de; gi+i
Par conséquent, en différentiant l’équation (9) suivant e, et en posant = 0, €, =0, €, —=0,...; nous obtenons dans le voisinage de ces valeurs de e,, e,, e,...
00m (&) Jus (— 1 ÿ Im [= (x, 2) Yyn a].
En portant ici les expressions (27), (10) des fonctions
Om (æ), Du (æ, 2)
et en divisant par g,,, nous trouvons
0Z(—1)1 7, el 1} pis 2) Yom (&) — Ya (2) Ÿm—1 () Un | ,
de; (æ— 2) e+1 ce qui pour %—=%,, x, étant une racine de l’équation (12 (x) = 0, donne 02 (— 1} Y; (xp) "ii 1 i [= Ym (2) nr (x) de; = (1) (ty — 2) 2iF1 F
d’où, en observant que Y,, s’annule pour 4 = 0, —0,e,—=0..., nous obtenons
(47) AE JV (—1) 4, .(&) [nt tnt.
x) gt+1
Puisque les racines Lis Vases Dyyoe es À
ont, d’après le $ 1, des valeurs réelles et positives, les termes du polynôme
de l’équation
CP (e—2)...(e—2x)...(e—2,), auquel se réduit la fraction
Ve (e) __ Ca) (2 — ap)... (2 — a)... (e— 2m",
Z— 4] Z2—X] ont alternativement les signes + et —. Si nous observons que le premier 2Mm—1
terme C? z a un coefficient positif, nous trouverons que le coefficient de z" sera représenté par la formule
FR (= 1) K, où
Par conséquent il vient
“a (e) ne | = — (
et l’équation (47) donne
(48) de Fe 1} © ee &)= — K4,,,(æ).
Cette égalité aura lieu pour
qui sont racines de l’équation Pr (&) = 0; tandis que pour les racines de l’équation (46) que nous avons désignées par sa.
nous aurons
+ (INF, (m9) = 0;
d’où nous obtenons, en différentiant par rapport à e,
LG) BTP OS CN 97, (np 2 En appliquant cette équation au cas, où e =0, e, =0, €, —=0,..., et en observant qu’on a ici, d’après ce qu’on a vu plus haut, D dm 0 ot,
nous trouvons que dans le voisinage de
aura lieu l'égalité , 0x (0) Ù mn (Li) se +Ù (— - @= LS LÀ d’où il suit 0Yy dx, (0) 2(— Eve 2 (1 des ses Ÿ'm &) :
ce qui, d’après (48), donne
0x (0) <a Van —1 (LD) Co) de LV UD
Cette relation détermine la valeur de la dérivée
0x} (0) de;
dans le voisinage de @=0, e =0, 4 —=0..., ct il est aisé de montrer que dans le cas considéré on en obtient
Ôx} (0) de; > 0
En effet, de ce que nous avons montré au $ 1 relativement aux équations
on voit qu'entre deux racines voisines de l’équation
| db, (æœ) = 0 se trouve une racine de l’équation
Yan —1 (6) = 0 en même temps qu’une racine de l’équation
Vn (&) = 0; donc la fraction Vn—r (x) 7m (&)
change de signe deux fois dans chacune de ces intervalles, en reprenant le
même signe pour
T—=A,;, Tay5os.) Diye..) C7
En observant que, pour la même raison, les équations
Lan (x) = 0, FER (x) = 0
n’ont pas de racines entre 2=%,,,x— +00, nous en concluons que les
fractions Ym—1 (2) Ÿm—1(Xm)
Vin D” ŸnEm ont le même signe que la fraction Ÿm—1 (+) LAC Va > 0 puisque, d’après $ 1, on doit avoir
bn (+ 00) > 0, d',(+ 00) > 0.
Ayant ainsi établi que
Il en suit
Ÿm—1 (xt) > 0,
m (a) nous obtenons de (49), où l’on a, comme on l’a vu, K > 0, (50) 2 > 0,
de; ce qu’il fallait démontrer.
L'inégalité que nous venons de démontrer fournit la limite inférieure de la dérivée dx (0) de;
dans le voisinage de FC
Pour déduire de l’équation (49) la limite supérieure de cette dérivée, déterminons d,,.(x) par (25), en y posant
n=Mm—1], 2 —2%,, ce qui donne
CE ne le
De cette même formule, en y posant n —” et en observant que les racines de l’équation
Li, Tyyoo) Dysoo) x
sont égales à
nous avons
da) =EK (a, —x).. (a —2) (&—2%.,,)...(@—2,). Par conséquent il vient de l’équation (49)
dx) F1 1)n—i—1 Kj{m—1) (xi)° i deg KM) (tr — 3). . (my — Ty) (tr — Li). + (5 — Tim)
En observant que d’après (25) 7 est différent de zéro, lorsque Y., (x) est du degré "”, et que d’après $ 1 les quantités
Di Mise cn Listes À Un (x) SR 0, sont toutes différentes entre elles, nous concluons de cette égalité, où
A Cr 0,
racines de l’équation
sont des quantités finies, que la dérivée
ûx 1 (0) de;
dans le cas considéré ne surpasse pas une certaine limite finie qui peut être trouvée d’après les coefficients des fonctions
FRE (x), (12 (x) b,.(&) = 0.
et les racines de l’équation
On voit de là que lorsque les quantités PIRE" PE NOR subissent une variation continue dans le voisinage de ee —=0, e =0, = 0, toutes les racines de l’équation (46) subiront aussi des variations continues
et que d’après (50) ces racines croitront avec €,, e,, e,... $ 14. Pour étendre ces résultats au cas, où
Co) (2 Cages L
diffèrent plus ou moins de zéro, nous remarquons que les proprietés des fonctions
L(&), Lo)... b,(@),
qui ont servi de fondement à tous nos raisonnements, subsistent, d’après le théorème que nous avons démontré, si au lieu de la série
TR + 2 +æ a? x3 .
on prend la série
C G C Com 1 Com FÉRRe E A DE Le ES 2 am + mi ec.)
où les quantités Gé, it :0
ne dépassent pas les limites
1 h hr? him—1 CT Hs Ni RE: À AT rt 4 Com—1 — Me?
LE de Le... C de
r : RER Her: :*3 H)° °°? ‘2m—1 77
h, H, satisfaisant aux conditions indiquées dans ce théorème, Il en suit que pour ces valeurs de Œ'o on peut répéter pour la série
ë :- € HA HA
tout ce qui a été démontré pour la série DORPAMLEE Cr DS …,
et que par suite, en remplaçant la série
D ue 0
par la série Orne HR TS Ces x HA Ha
dans la formation de l’équation Ÿ,, (&) = 0
par la méthode du $ 9, nous n’altérerons pas les proprietés de cette équation déduites au paragraphe précédent et d’après lesquelles toutes ses racines croissent d’une manière continuée, lorsque les quantités
Le Co) Ci» Egyee.
dans le voisinage de &—=0, e, =0, e —=0...
croissent également d’une manière continue.
Par conséquent, en observant que pour E = Cy — Co + € E,=C,—c+e,, E,=0c,—0C,+e,,
l’on obtient
Co — € C+e C>— € M HE : L ins 2 3 x x x x x x
et qu'aux valeurs de
es Co; js CPE . voisines de e, = 0, €, =0, e, —=0,...
correspondent les valeurs de E,, E,, H;: .
voisines de E, = 0, — C, E, Get, E, =; — C,,. .…
nous en concluons qu’en remplaçant la série
