H,> IN
et par conséquent, d’après ce qui précède, il doit se trouver pour cette valeur de A, des fractions aux dénominateurs des degrés
M, MT), 5,71 dans la série des réduites de l’expression
Wen W;
tirées du développement W—W=1
Dh —-— 1
DT gs.
En remarquant que cela n’est possible que si
is ses Im
sont du premier degré, nous en concluons que dans le cas que nous considérons, À, satisfaisant à l'inégalité (42), la fraction continue provenant du développement de l’expression
sera de la forme
1 MCE
Pa TO —° me à ent à Pm T+Om —° .
Comme elle doit conserver cette forme pour toutes les variations de l’expression W — W, qui laissent subsister l’inégalité (41), les coefficients
Pis Pare + 3 Pm
ne peuvent ni s’annuler ni devenir infinies, tant que l’inégalité (41) reste satisfaite; par suite, étant des fonctions rationnelles des coefficients de l’expression W— W,, ils ne peuvent pas changer de signe tant que A, ne dépasse pas la limite assignée par l'inégalité (41). En remarquant que pour H,= 00 on obtient, d’après le $ 10,
et que par conséquent la fraction
Es LG —
Door) 1 + PmT+Om Te,
se transforme en A TH —
Lo TH —*. FES où, d’après (1), l’on a
DO ULS,; >,
on voit de ce qui précède que, dans les suppositions que nous avons faites, les coefficients
2 Pin Paseo +3 Pm auront des valeurs positives.
$ 12. Nous avons ainsi établi que lorsque Ce Mir Pasort
ne dépassent pas les limites
de Le H,’ Ho? j ; AS : ER 1 h r? R?2Mm—1 Sa Pr H° CR FN FA EC ti 4 . A, et qu’on admet m) AM—1 H, > LM =,
la série
: Co — € Q +re Ce W—W = + inter +...
æ æ HA
se laisse développer en la fraction continue
Pi T+H—G —
Pa THO2 —* 0 1 Pr — © Em T+0m .
> 0, pa>0,..., Pm > 0;
donc en désignant par | QG) O4)... On
PU Po V0)
les réduites, nous voyons, d’après ce qui a été dit au $ 1 sur les fractions continues de cette forme, que toutes les racines des équations
Y,(&)=0, Y,(x)—0,..., W,,(x) = 0 ont des valeurs réelles et que ces valeurs sont toutes positives si l'équation ww: (c) = 0
n’a pas de racine négative. Pour trouver la condition sous laquelle cette dernière circonstance a lieu, observons que l'équation
w,@=0 se réduit en vertu de (4) et (27) à celle-ci di | Yn (® + D (1) 7, = 0,
le coefficient
étant, d’après (43), pour n—n contenu entre les limites
Ÿm (— à) Lam) Um (— À) Lt) ru m ne Si he m Re .
VAT 27 Rest
De là et considérant que d’après (35), (10) on a
DE, == (DE TO te (I) Lo],
D, (x, — h) = m1 = À) Yon (@) — Yi (— À) m1 @;
nous arrivons à la conclusion que dans la somme
op n
DIX, x
les coefficients des différentes puissances de x sont contenus entre les coefficients des puissances correspondantes de + dans les fonctions
Yn (— À) Dana (— À) Ye (x) — Yan (— h) Ÿm—1 @),
Fe —. L\m) xz+h ; Yan (— À) Ya (— À) Yon (te) — Yi (— À) Ya (&), m Hy—* — L{m) xz+h
En comparant ces fonctions avec la fonction
Yan (— À) Ya (— À) Yon (©) — Vin (— À) Yon 1 À
EH— Hy» æ+h
qui figure dans l’équation (23), et en observant que l'inégalité (24) dont le second membre est < 0 est satisfaite, si
H—Hy ne sort pas des limites ___ Ÿm (0) h Yan (— À) Ÿm—a (— À) Ym (0) — Ÿm (— À) Ym—à (0) Yan (0) h
Dm D) Yi À) Ÿm ©) — Ÿm (À) Ÿm—à O)
nous concluons, d’après le $ 7, que si
1 1 + Rares ) Am — se H, — se L(m) F: QU Lt L{m) ne dépassent pas les limites ie Lun (0) h D D) ma (— h) Van (0) — Ÿm (À) Yi 1 CO)” Yan (0) h
Pr Ch) Pme C0) Vin ©) — VC À) Ÿm 1 O)’
mn @) + (—1) X, = 0
ne contiendra que des variations des signes et par suite ne pourra pas avoir de racines négatives.
l’équation
Comme les quantités
