DR M TE

puisque d’après les conditions du théorème du $ 12 les coefficients Co; Ci; Cus« 1 Le.

sont supposés ne pas dépasser les limites

1 h h? ; h2Mm—1 OS : AC D : AE ae : MCE Mie 0 ONE: INC

1 h R? R2Mm—1 (A —+ Ho’ A + H,’ Co + H,? .. > Cons + 4, °

$ 15. Dans le cas particulier lorsque l’on a

Ho’ Ho?

la série ee PR AS ME Fra HA HA est égale à Mat sd HAS RE RU DES D Le Hi (x + h)

: Par conséquent, d’après le $ 9, l’équation se réduit pour ces valeurs de Æ,, E,, E,... à l’équation

(51) Un (x) + Has Yi (— À) Yon £ = Le (—2) ni @ ”

En observant que ces valeurs de E,, E,, CRE)

pour À > 0, H, > 0, croissent en même temps que — nous voyons d’après È le paragraphe précédent que les racines de cette équation croissent avec Æ. De même, en posant

1 h | E= 2 E, Er Je? E=—7.. LE À

nous nous Convainquons que les racines de l’équation

CORSA R PCERTEUEPETC RE

décroissent lorsque . croît.

D’après cela il n’est pas difficile d’obtenir les limites des racines des équations (51), (52), racines que nous désignerons par

Z; , Toy. Ljy.., T ns

in 7 Di > La pres Ljpee., Lm

en les supposant disposées de manière que l’on ait pour = 0

DR D Su SR, D Ti di D.

En observant que ces équations se réduisent pour Æ,—c à l’équation

bn (&)= 0, dont les racines disposées dans l’ordre croissant forment la série

Di, Ds, Dj, Vins nous concluons que pour He.

l’on aura généralement / " (53) Cie ui x à

Puisque ainsi la racine œ, de l’équation (51) se réduit à la racine x,

de l’équation À db. (&) = 0 pour

et qu’elle croît avec cette dernière quantité, qui, d’après le $ 10, ne peut pas

être inférieure à O, il en suit que la limite inférieure de la racine x/ est x.

x 5e : 1 Quant à la limite supérieure de x}, cette racine, en augmentant avec A

n’atteint jamais la valeur æ,,, de la racine de l’équation

(UR (œ) .. 0, qui suit +, dans la série

T;; Topos TL}, Lipysoe es Th;

parce que, comme il est aisé de le montrer, l’équation (51) n’est pas satisfaite pour æ—x,,,, tant que À, n’est pas infini. En effet, en posant

a T Hi dans le premier membre de cette équation et en observant que Yn @) = 0, nous trouvons qu’il se réduit à la fraction

— Yep (—h) Von (&i4), (Ho — Hyn) (Ti42 +)

qui ne peut pas s’annuler pour une valeur finie de Æ, puisque, d’après le $ 1, l’équation

mn (0) = 0 ne peut pas être satisfaite par la valeur négative x — — h, et sa racine æ,,, ne peut pas donner | PRES (ty) nd 0.

On voit de là que la racine x, de l’équation (51) sera contenue entre les racines &,, æ,,, de l'équation

(2 (x) = 0, et que par conséquent (54) D LI Tysne En répétant le même raisonnement pour la racine æ,', de l’équation (52), qui, comme on l’a vu, se réduit à x, pour Æ = 0 et di-

: 1 ’ minue lorsque Æ croit, nous trouvons " (55) LT, , LE < Ty

Ainsi s’obtiennent les limites des racines des équations (51), (52) et au moyen de ces racines l’on pourra trouver, comme nous le verrons, les li-

mites des racines de l’équation à D (x) : msi 0, e

que l’on obtient d’après le $ 9, en remplaçant dans Ja série

me RU

les quantités à Co; Cs Co) 9 €

par les quantités KE, E

ne dépassant pas les limites

1 h h2 h?2m—1 D Mi 1 h h? h2Mm—1 er as nu

où » est une quantité positive quelconque et À, une quantité positive qui n’est pas inférieure à la limite trouvée au $ 12. Dans le cas particulier, où l’on a

AL

ces limites se réduisent à zéro et nous avons

E,=0, E,=0, E,—=0,..., E,,—=0; l’équation w,(@)=0 devient donc ici (2 (x) — 0, et nous avons d’après $ 13 x) = %,.

« 1 LA D: # En passant au cas, où Hs diffère de zéro, et se rappelant, comme nous Vavons montré, que les racines de l’équation

Ÿ,, (@) = 0 croissent avec les quantités

£,, EE, E,,...,E nous en concluons que lorsque E,, E;, E,,..., E,

ne sortent pas des limites

1 h h? p2m—1 H,? H,? nt DRE 1 h h2 h2Mm—1 A ARE. € mn A CR RUE :

le maximum de la racine

correspondra à

1 k hr?

= 7 E,= Eee.) E

Mais puisque, comme on l’a vu, pour ces valeurs de

FES HT CERN | SE l’équation

se réduit à l’équation (51) dont les racines sont

, La T; , Toys.) Die.) T ns il en suit qu’une de ces quantités fournira le maximum de la racine 0), Il est aisé de reconnaître celle d’entre ces quantités qui donne le ma- . . 4 . . : x ximum de la racine a), si — est infiniment petit. Dans ce cas on voit,

A, d’après les formules qui déterminent les limites des quantités