VARIABLE CONTENUES ENTRE DEUX LIMITES DONNÉES

YRADUIT PAR 3. C. MLODTETEVSKY.

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(Lu le 2 décembre 1892.)

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npocmreumuxe Opoénuaxe hynhuii npu bCerurunaxé nes

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(Hpuroxeaie x LXXII romy Sanucokr Huneparopcxoë Aranemiu Hayx®, N 7.)

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UNIVERSITY

Sur les polynômes représentant le mieux les

valeurs des fonctions fractionnaires élémentai-

res pour les valeurs de la variable contenues entre deux limités données.

$ 1. Dans plusieurs cas les calculs approchés se simplifient considérablement, en remplaçant les expressions fractionnaires par des fonctions entières qui en représentent avec une exactitude suffisante toutes les valeurs dont dépend le résultat cherché. Les expressions approchées de cette sorte pour les fonctions fractionnaires se déterminent au moyen des théorèmes que nous avons démontrés dans notre Mémoire Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions *). Nous allons montrer à présent, comment au moyen de ces théorèmes on trouve les polynômes de différents degrés qui représentent le mieux les

valeurs de la fraction élémentaire

pour les valeurs de la variable x, ne dépassant pas les limites = — h, z—= + h,

Nous supposons les quantités Æ, À positives et pour que la fraction reste finie entre Z——h, x—+h, nous prenons HR:

En désignant par

n—2 nn —1 DHrP TH... +p,, 4x + Pr:

*) T. I, pag. 273—8378.

le polynôme cherché, nous observons que l’erreur absolue qu’on commet en représentant par ce polynôme les valeurs de la fraction

H—x est égale à la différence

7 —Po—P) D— ss —p, © —p,, x Puisque le quotient de la division de cette différence par H—x se réduit à l’expression 1+(2— H) (p,, 2 + p,, 2" +... + 20, + p;), l'erreur relative de la représentation approchée de la fraction

par le polynôme n—2 for 2

DM +.. HD, % + Pi %

sera d'autant plus petite que l’expression 1+(c— 2H) (p,, 2" +p, a+... +0, 5 +)

diffèrera moins de zéro. Par conséquent, pour abaisser autant que RoBMIbIS la limite supérieure de cette erreur entre

TX — — h, L= + h, il faut donner aux coefficients Dos Pise Py—or Pn—1

les valeurs pour lesquelles l’expression

1+(c— 2H) (p,, 2 "+ p,, 2" +... .+ pm 2+2)

s'éloigne le moins possible de zéro entre Zz——}, x—=+h Les quantités Pos Pire Dnss Pn—ir

qui satisfont à cette condition s’obtiennent aisément au moyen des théorèmes démontrés dans le Mémoire cité plus haut, comme on le voit dans notre Mémoire Sur les fonctions s’éloignant peu de zéro pour certaines

valeurs de la variable *), où, au moyen de ces formules, sont déterminés les

coefficients

Pn—1? Phase 4 Pi Po) avec lesquels la fonction

M+-(H— 2) (p,, «7 "+p,, MR 4: + D, T + D)

s'éloigne le moins de zéro, æ étant contenu entre x = —h, x —+h. La quantité M est supposée ici connue et pouvant recevoir une valeur quelconque.

En posant Ms,

nous obtenons d’après les formules de ce Mémoire que l’expression

1+(2—H) (p,, D HP, D +... + 2 +)

s'éloigne le moins de zéro entre

Gz——h, t=+h si les coefficients Pr Pn—o2° Di) Po

sont déterminés par l'égalité

| : + (&— À) (pe 1h is RES & + Po)

@) “Go eV EDy CAVE) + (AVE hi)"

et que l'expression

formée avec ces coefficients Pn-1? Paie e Pi; Po

atteint dans l'intervalle 3 = —}, x — +- h, les limites

2h" 2h" — a Pr or. + nee (H+VHI =) + (H—VHI =)" (H+VHE— WE) + (H—VHE =)"

sans les dépasser.

Il s’ensuit que toutes les valeurs de la fraction

*) T. Il, pag. 335—356.

de x——}h à x —+h ne peuvent être représentées par aucun polynôme du degré n—1 avec une telle approximation que l'erreur relative n’at-

teigne ni la limite es an" (H+VH?—R) +(H—VH2—hW)"

ni la limite un 2h" (H+VH?— M)" +(H—VH2 TR)"

et qu’elle ne dépasse pas ces limites seulement dans le cas où les coefficients D, ,; Poe + «Pi, PO Satisfont à l'égalité (1), ce qui détérmine le polynôme

fi—! + ti?

Da 1 7 De HD LD

du degré (n—1) qui représente le mieux la valeur de la fraction

dans l'intervalle | z——h, x=+h.

$ 2. En déterminant le polynôme cherché

Le ne NE es me ane |

au moyen de l'égalité (1), nous voyons qu’il est représenté par la fraction

(A+ VAE TE)" + (H— VHS — (+ Va) — (Var) [(H+VH2=R)" + (H—VH2—h)"] (H—x)

Pour obtenir le polynôme

Do FD TH... + Ph, vx,

ge nn / n —] T ?

auquel se réduit cette fraction, observons que, la somme (4+VH 6)" +(H—VH— 6)",

étant une fonction homogène du degré n—1 des quantités 4, h, en ouvrant les parenthèses, elle prendra la forme

2) (4+-V HR)" + (HV HR)" = A, H"+A4, PH" +4, MH" +...

les coefficients A AM c'e . ne dépendant pas de 77, .

En remplaçant dans cette égalité Æ par x, on trouve (+ Va 7)" + (x Va 8)" = EVE NT A, Ma tp 2 ce qui, retranché de l'égalité précédente, donne (4 + VAR)" + (4A—VH HR)" — (x Var)" — (x — Re = À, (H°— 2") + A, , PA — a") + A4, MA — a *) +. en divisant par A — x, on a

(H+VH2— RE) + (HV HR) — (e + Var 2) — (x — V2 RE)" H— x

= A, (HT + H° x+H +...) + À, , PH +" c++ H +...) +4, , MH + HS c+ He +...)

en on nas an nva nes :

ou encore (+4 VH2 =) + (H—V HER) — (ce + Va ht) —(x— Va? —h2)" H— x

= À4,H" "+4, PH +A, MH +...

+ (4,4 +4, MH + A, MH +...)x RAT" + 4 PAT +4: MH +...) a

En comparant les expressions qui multiplient ici MN D...

avec le développement (2) de la fonction (44 VAR) +(H—VH =), nous observons qu’elles représentent les parties entières des quotients de la division de cette fonction par PO ci On a donc, en désignant par le symbole E ces parties entières des quotients,

(A+ VH3— h2) + (H— V HER) — (ee Va —h2) — (x — Var hi)" H— x

=K [va R) (8 -vr 6) + E Len" (am) 24 E [(4+VR TR)" + (4 1" Le Æ — hà) “lz 7 : x? +

ce qui, divisé par (4+VR TR) + (H—VR— D donne (A+ VH2 =) + (4 — VE RE) — (x + Var h?)" — (x — Var =)" [(4+ VA?) +(H—VH?2=R@)"] (H— x) CB C@+va-m)" + (av 6") + (H+VH2— 1) +(H—VH2—R)" E C@+va-m%)" +(4a-vR—5%)] Z Av) eV) | E C@a-+va 6)" + (avr —&6)] & (H+VH2=R) + (H—VH2— HR)

60 00 00 0 0.0 0 6 0 0 0 ee 00 © °.8 © 01e © © © + à

Par conséquent, d’après ce qui a été démontré sur le polynôme

(pr NL

Po + P Hours Dre A Poe æ

représentant le mieux la fraction

H — x dans l'intervalle ETES h, L= + h,

ce polynôme sera représenté par la formule E Cave" (am) 7 E LV) + (VE) (H+VH2=—R) +(H—VH2 RW) (H+VH2— 72)" +(H—VHI—Rh)"

E C@-+v8-0)" + (av 6)] x .

(H+VH?—R) + (H—VH2—R)"

Si nous comparons cette expression approchée de la fraction H— x sous la forme d’un polynôme du degré n — 1 avec l'expression

à gn—2 an—1

H ++. ty + n°

que l’on obtient en développant cette fraction en série suivant les puissances croissantes de +, nous voyons que cette dernière est la limite vers laquelle tend la première expression lorsque 4 converge vers zéro.

Comme la formule

1 æ Hd H + H? +

diffère de la fraction

par la quantité

l'erreur relative que l’on commet en représentant par cette formule la

fraction

CR al

H— x entre

z=—h, 2=+h peut atteindre les limites h" h"n ee» (MESSE = €

tandis que pour la formule que nous venons d’obtenir cette erreur ne dé-

passe pas les limites

2h" an" SR + .

(A+ VHi= RP) + (H—VHE M)" (H+VH2—h) +(H—vVH2 = R)"

$ 3. L'expression approchée de la fraction

que nous avons obtenue peut être utilement employée dans plusieurs cas. Pour donner un exemple, nous allons en montrer l’application à l’évaluation approchée de l’intégrale

| ax de:

Nous supposerons que la fonction f(x), de même que H— x, ne devient pas négative entre z——#, x — + h.

En désignant par F l’erreur relative de notre expression approchée pour les différentes valeurs de la fraction H—x%?

nous trouvons que son erreur absolue sera donnée par la formule F.

par suite, nous obtenons, d’après la formule du $ 2, pour la valeur exacte de

l'expression an Eee vepe qe à H—x (H+ VH?2—h)" + (H— VHz=h)" E Cv)" + (4 VR = R)"] (H+ VH?2— 2)" ss (H— VHr—= mi)"

El@+ve-m#)" +(a-vVr—6)] % do 0 + VE) + (Gi VH =)" *VTH—e

En multipliant les deux membres de cette égalité par f (x) dx et en

intégrant de & = — h à æ = + h, nous avons +h :

fe .. Bl+vVR-R)"+ (V6) 5 42. CE RP TA 7: CL Jr dx —h

Ê Ca+va mm)" + (avr R)") x 3 (H+VH2—h) +(H—VH2—W)" Jef à

EÊ [(H+vH2= ht)" + (H—VH— m)"] =. +h ave em Jef) dr

+h PO Pt +- [ xl («) dx, —h ce qui peut s’écrire plus succinctement ainsi +h n n +h +-h ElG&+vH-76)" + (4-VH5—R)] . Sf(x) dx 1 Jp — + | LE Far H—x (H+VH? à)" + (&—VH— PERD H—x U 4 —h en posant 1 mL:

a+ + Im F5 DC LOS Mend

En observant que cette égalité donne

où le terme HN (H— x) est du degré inférieur à —n" par rapport à A, nous trouvons ElG@-vRr-") + (4-vr m))] s- E Le-vr) + (avr) EF (avr) + (avr)

par conséquent, l’expression précédente de l’intégrale

+h JF (x)

| = dx

2 * se réduit à celle- -Ci: 7 ELG@-+-v#-0)" +(4-VH—%)] js (@) de

JF (&) io

jé d = (H+VH AGE"

En observant que, F étant l’erreur relative de l’expression approchée

de la fraction

Sms

cette quantité, d’après le $ 2, ne peut pas dépasser les limites

2h" 2pn Ge ve me (VAR) (He VER) + (HV =)" et que les fonctions fn d’après nos suppositions, restent positives entre x = —, x—<+4h, nous

trouvons que le dernier terme +h J Je F'(x) dx —h

de l’égalité précédente ne pourra pas sortir des limites

2h" A dx NT DS pres H2— à) + (H—VH2—WR)" 4?

A Il s’en suit que la fraction

E [(H+vVH2=m)" + (H—VH2 = R)"] [ae RCE #

2h" f(x) dx RANT FT VH2— à)" + (H—VH2— 1h)" | H—-x

(H+VH2— 1)" + Œ— VHE— peer 5

dont le dénominateur est le polynôme (44 VER) +(H—VH—R)",

donne l’expression approchée de l’intégrale

J (æ) dx H— x

avec une erreur relative ne dépassant pas les limites

an" (Hs VHr— hi) + (H—VHr—M)"

an" À - + (H+VH2— HR) + (H—VHI—R)"

SUR LES SOMMES QUI DÉPENDENT DES VALEURS POSITIVES D'UNE FONCTION QUELCONQUE.

(TRADUXT PAR X. PTASTXCKX.)

. (Lu le 16 février 1894.)

renit hahoù nu6o hynhuiu.

(8anucxu Hmneparopcroï Axanemiu Hayx®, VIII cepia, T. I, X 7, 1895 r.)

en de Fins * Qt

Sur les sommes qui dépendent des valeurs positives d’une fonction quelconque.

$ 1. De notre Mémoire Sur les sommes composées des valeurs de monômes simples multipliés par une fonction qui reste toujours positive *) on voit quel intérêt se rattache aux valeurs réelles des inconnues

CPRCITEL TEE CIE

Uoy Us Ugye Un)

propres à fournir des valeurs données aux sommes

Su, Ÿ à $ 2 2 2:75 2k—1,, 9 0 0

La recherche des inconnues

Mas Mis lon en

Ugs Us Ugye el,

sous de telles conditions se ramène à la résolution des équations p, p p p | JE LE Sd 2k—1,,9__ (1) Sd u/=0; Das =G, un u = Cu... Be = Cp 0 0 0 0 où

sont des quantités données.

En faisant

+ SEE FER Se 2 PR === Er... Fra PT

*) T. II, pag. 561—610,

nous pouvons remplacer ces équations par les suivantes

p p p p LT A ss pts) 2 Er 2k—1 DER à DE Où Date Dre... DE Cu 0 0 0 0 plus simples, en ayant toutefois en vue que les valeurs réelles des inconnues Ugs Us Ugse os Un ne s’obtiennent que pour T,, Y 1) 7,,...Y

ue p—1 positifs.

En écrivant les valeurs des inconnues LA , U, , Va , D: 9:18 #4,

dans une solution quelconque des équations (1), nous les supposerons toujours rangées de sorte que les quantités