CT

présentent une série croissante. Après avoir fixé ainsi l’ordre de disposition des quantités

Zos 21 ge DATE TE)

pour toutes les solutions des équations, remarquons que, d’après le $ 3 du Mémoire précité, pour p —%, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des équations, celles-ci ne peuvent avoir qu’une seule solution que l’on obtient à l’aide du développement de l’expression C CG C2 Cox

en fraction continue; nous en concluons que, dans ce cas particulier, les quantités

se déterminent complètement par leurs indices et peuvent être trouvées sans difficulté. Pour distinguer ces quantités de toutes les autres qui satisfont aux équations (1) pour p >> k, nous conviendrons de les désigner

20 Lo, =, = Lys kp = T1)

, Pen + Fe ESS 3 ss Uo = Yos Un = Yis Ug — Ygse CP Van 0

Les quantités z,, 4? fournissant la solution des équations (1), pour p=k on aura

(2) Du= G; dx one Ci; Dee {mn or j LARMES Cox

où, d’après ce qu’on a posé concernant 4, &, 2,,...2,__,, On doit avoir

Lo LL ge se Le Ty

Nous allons maintenant montrer que de ces inégalités et des équations

(2) on peut déduire les inégalités auxquelles satisfont toutes les solutions réelles des équations (1), quelque grand que soit le nombre des inconnues

Lg ir ge + En

Vo; U;; U,. eu, .

C’est de là qu’on tire les valeurs limites des intégrales et des sommes qui ont fait le sujet de nos Mémoires intitulés: 1) Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux *), 2) Sur les résidus intégraux qui donnent des valeurs approchées des intégrales **), ainsi que de notre Mémoire précité Sur les sommes.

Quant aux quantités

ds M

Yos Yir Vas + + Yu

- qui se déterminent par les équations (2), elles s’obtiennent, comme nous

l'avons dit, à l’aide de la fraction continue résultant du développement de l’expression

nous trouvons que, d’après le $ 2 du Mémoire précité, on doit y avoir

h=uT+b, D—=aT+/h,,...D—=%T+/É, dr Dar 0. ar 0,

*) T, II, pag. 421—440.

**) T, IL, pag. 443 —478.

si les équations (1) peuvent être satisfaites par les valeurs réelles

u Use . .U

0? ms p—1

pour un certain p.

En supposant ces conditions remplies, et en désignant par

h@)” D) ‘WG

les réduites résultant du développement de l’expression

RD RE æ æ? as dise x

en fraction continue

nous concluons, en vertu de ce qu’on a démontré dans le Mémoire précité, que les inconnues

Lo, Li, Dose Li, | dans les équations (2) sont égales aux racines de l’équation x (x) = 0, et que, d’après ces racines, les inconnues

Yos Yis Vase + °Yx

se déterminent par la formule générale que voici

— Pl), (8) CA En 77) $ 2. En posant

25 = Lo; 2, = X;, T3 — Lo) FE LR ET

de la solution des équations (2) nous déduisons celle des équations (1) pour le cas p—%, quand le nombre des inconnues ne surpasse pas celui des équations. En passant au cas du nombre plus grand des inconnues, quand les équations (1) deviennent indéterminées, nous remarquons que, pour toutes les solutions réelles de ces équations, la somme

WU HU HU He ee + Us

où g désigne l’un des nombres 9152, .2="1;

ne dépassera pas une certaine limite qui peut être obtenue en s'appuyant sur le résultat du $ 8 du Mémoire précité concernant la détermination du

maximum de la somme