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étendues chacune à des valeurs différentes de la variable x, par les sommes étendues aux mêmes valeurs de la variable æ données par l’équation
nous concluons que dans ce cas les coefficients du polynôme
re 2 m—1 y= A+ Ax+ A+ ....+1À, 9
se détermineront par la méthode indiquée dans le numéro précédent, quand on remplacera dans les formules de ce numéro les fonctions
Luis, Liv, di... :.)..
par les produits
BG %1,1. Du.) SP (E,4y,y ,.:..), ….
et par conséquent ils se détermineront par la condition établie à la fin du n° 3 si l’on y pose
F(x,7,9,9,....)=8,B,(2,9,9,% 3...) +28 PB, (2, 9,y,y ,....) HS, P,(2,9,9,%....)+....,
où À,, À, + « . ., Sont des facteurs constants, mais inconnus.
En déterminant, pour cette forme de la fonction F (y, y, y, y", -...), la valeur des dérivées
__4F(x, y, y, y...) M— dy ?
__dF(x, y, y y". ce NN dy’ ?
dF(x, y, y,y",....) P— ( , dy! ;
PE, Ron EE 66 er 9 a End |
eu LE et en désignant les dérivées partielles des fonctions
P, (x, y, ÿ ÿ", .…. “À P, (æ, y, Y' UE RE LE: (x, Y; Y; y", .…. .), …. prises par rapport à AR FR APE
par M, M, 1; ?
N; 4 FA d, ?
FX, F6; F,, ee à
nous obtenons M=S,M,+iS M+2xs, M+ . N=SN+LSN+LSN + ....
P=SP +uSP+AS EP + ....,
Donc l'expression (1), qui duree le n° 3, doit être égale, . la valeur cherchée du polynôme
à une fonction entière, avec une approximation poussée jusqu’à la puissance x" inclusivement, s’exprimera ainsi:
Ë So Mo?) , So), So, MD) (x) 1 (x) 32 (x) So No ? (x) Si N, +" (x) SN; p(x) d 0 M wi 4 00 +...) (4) dx Pie 0 A SP p'(x) À Se P,9'() | Fa p(x) 2) | 2 (x)
Mais les équations (3), qui servent à déterminer les fonctions S,, S,, S,,...., nous donnent
So p' (&) __ T Po’ (x) Pi (x) pa (x)...
8, 9x) __ Pr" (&) Po (x) Pe (2).
S29 a T4 P2/ (x) Po (x) Pi (x)...
OR y
En remplaçant, dans les seconds membres de ces équations, © (x) par le produit Po (æ) P,(2) p,(&) . ...,
nous aurons
So p’ (x) __ Po (x) CT ras Po (Z) ?
Si g'(x) __ pr (x) Te® ht?
D'où l’on voit que les fonctions
Sop (x) Sip'(x) S,p'(x) q(x) ? œ(x) ? Cu : :
et Po (x) Pr’ (x) Pr (x)
ue diffèrent entre elles que par des parties entières. Donc, si dans l’expression (4) nous mettons ces dernières fonctions à la place des premières, nous ne changerons que la partie entière de cette expression; quant au degré d’exactitude avec lequel cette formule représente une fonction, il restera le même, et par conséquent elle pourra toujours servir à déterminer le polynôme
ER 2 \ m—1 Yÿy= A+ At+A +... + À, € .
En exécutant cette substitution nous obtenons l’expression suivante :
M, po (x) À M, ®;' (x) M, o2/ (x) Po (&) 1 (x) 2 pa(x) No, Po (x) N, 9," (x) Ne P2” (x) a} go () TC) 2 po (&) He...) dx P5 Po (x) - P,9;'(x) P, ?> (x) né” Po (&) pe A Pi (x) De h9 P2 (x) ji dx?
Cette expression, d’après ce qui vient d’être exposé, doit se réduire à une fonction entière, qui la représentera exactement jusqu’à la puissance — » de la variable x inclusivement, toutes les fois que le polynôme
y= A+ At+A+....+ A, 2",
aura des coefficients voulus pour que la somme
(x, y; UE Yi PR? +)
a ON devienne un maximum ou un minimum, sous les conditions
Ù (x, y; ÿ "> .….)=@;, d &, (à, 7; ÿ vi: ...) =
Nous sommes parvenus à cette conclusion en supposant que les séries
a; ; UP (PE ee ee ee 2 9 b., 1 b,, M, 7 LE | > à Ci» Co) Ca) ve 59 ?
ne contenaient pas des termes égaux entre eux; mais, par la méthode des limites, il nous serait aisé de l’appliquer aussi au cas où ces séries auraient des termes communs.
$S 6. Nous avons établi, dans ce qui précède, la condition qui sert à déterminer la valeur du polynôme d’un degré donné y, qui rend la somme
DR TC NE Re
un maximum ou un minimum, et nous n’avons fait que deux hypothèses concernant les coefficients de ce polynôme. D’après l’une, leurs valeurs étaient supposées arbitraires, et d’après l’autre, elles devaient satisfaire aux équations
JE, DE, y; y, ÿ',. a )= Ge;
Dans ce dernier cas, la condition qui sert à déterminer le polynôme cherché contient des constantes inconnues À,, À,, ...., dont les valeurs se trouvent par les mêmes équations de condition auxquelles doit satisfaire le polynôme 7, et qui sont en nombre égal à celui des inconnues àX,, À, ....
La détermination du polynôme y, limité par la condition de rendre la somme
D Pol, Y; Y 3 Y'irs-)s
un maximum Où un minimum, à de l’analogie avec la solution des questions semblables dans le calcul des variations. Dans le cas particulier, quand cette somme se réduit à une intégrale, le polynôme y, déterminé comme il vient
su (D
d’être dit, peut être considéré comme une valeur approchée de la fonction qu’on obtient à l’aide de la méthode des variations. Mais dans le calcul des variations la fonction cherchée, étant déterminée par une équation différentielle, s’obtient en l’intégrant par les méthodes connues, tandis que, dans le cas que nous examinons, la détermination du polynôme y exige des procédés spéciaux, car elle se réduit à une condition qui ne se laisse pas exprimer par des équations de formes connues.
Pour montrer comment des polynômes peuvent être déterminés à l’aide de ces conditions, examinons le cas très-simple où les fonctions
P, (x, y; ÿ, Ye 2e en ALAN PA D WE CBS D,(E,. 4.4, Winsrs),
ne contiennent y qu’à une puissance qui ne dépasse pas la seconde, ses dérivées 4 1!
y 2 y 3 ER]
à une puissance qui ne dépasse pas l’unité, et avec des coefficients qui ne dépendent que de la variable x.
Dans ce cas les dérivées
RO L'ACAUA ANUS OUR) dx, y,y',y",....) M= o (#3: FE , à == 1 . , es
ne contiendront pas y, Y,...., et y ne s’y trouvera qu’à la première puissance. Quant aux dérivées
N, — d P, (x; 7; Y', Fr ° R N. 22 d æ, (æ, y; y’, AT di )
dy , 1 dy REC | — dPo(r, y y y",....) Fe (æ, y, y’, y”,....) Fi = at , PR ; 2 dy" 2 CR elles ne contiendront pas du tout y, y, y’, .... Partant l'expression Mo o' (x) M, pr’ (x) À M, 2’ (x) Po (&) 1 q,(x) 2 2(x) ner
N, Po (x) N, 9” (x) N, p2/ (x) A M A + À 4 0) +...
dx
Po (&) . L' @,(x) 2 (x) dx?
e{RN@,) Ba @,) Ba, —-
os
qui d’après le n° 5, moyennant le polynôme cherché
Mm—1 J= A++... + AT,
doit devenir égale à une fonction entière jusqu’au terme en #7” inclusivement près, se réduira au binôme
À Ms d dans lequel w et v sont fonctions de la seule variable indépendante x. Ainsi, dans ce cas, la recherche du polynôme
y= A+ At+....+ 4, 2"
assujetti à la condition de rendre la somme
D EM ro)
un maximum Ou un minimum, se réduit à la détermination d’un polynôme y, de degré m—1, tel que le binôme wy—v, jusqu’au terme en æ ” inclusivement près, soit une fonction entière. Nous allons montrer que les polynômes qui jouissent de cette propriété s’obtiennent facilement à l’aide de la série que j'ai publiée dans mon Mémoire intitulé: Développement des fonctions en séries à l’aide des fractions continues *).
$ 7. Nous avons établi dans ce Mémoire, qu’en développant une fonction quelconque « en fraction continue
en désignant, de plus, par
ses fractions réduites, par
les différences
et par
*) T. I, pages 617—636.
su É
les fonctions entières qu’on obtient à l’aide de la formule o,=(—1)"" Ba, (0,0—E0,v),
nous aurons pour développer la fonction v d’après les valeurs
E, , k, , 1, F:# 6: 0 la série que voici
(5) v—=Ëv+0,R +0,R,+0,R8,+....
où E désigne la partie entière de la fonction, et où l’on admet que « et » sont des fonctions développables suivant les puissances entières et décroissantes de la variable x.
Pour déterminer, à l’aide de cette série, le polynôme
y=A+At+A+....+ A4, 27 7, au moyen duquel la différence UY—V, est réductible à une fontion entière, exactement jusqu'aux termes en #7”
inclusivement, désignons par
Ou le dernier dénominateur des fractions convergentes
