MO ND

dont le degré soit inférieur à », et par

Mr:

Me Pate fr Pr

les quotients et les restes obtenus par la division du polynôme y par Q du

premier reste », par Qu du second reste par ER et ainsi de suite.

En égalant les dividendes aux produits des quotients par diveseurs ajoutés aux restes, nous obtenons une suite d'équations

y=E,Q, nr, r,=E, +7, = Oro ei Q,+r..

1 u—1 be 1)°°°

En éliminant des équations les restes

Var Tunarteee Vas Ve

et en observant que le dernier reste 7,, qu’on obtient par la division de l’avant-dernier reste par Q, — 1 est zéro, nous sommes conduits à l’expression de y que voici | (

Jr, 0, Ke, +80; + F0.

Mais comme notre polynôme cherché

——— 2 Line À ; y= A+ A4t+ A+... +4, 8 à

ne sera jamais d’un degré supérieur à » — 1, il est évident que la fonction Me qui s’obtient par la division de y par Q ne pourra pas être d’un degré plus élevé que celui de |

et par conséquent son degré sera inférieur à celui du quotient

Qu.

Qu ?

est d’un degré supérieur à 7% — 1.

car, par hypothèse, Q

bu +1 Quant aux fonctions

PF. PUS Sim

leurs degrés seront inférieurs à ceux des quotients

Qu MS

car elles résultent de la division des restes

A Vo)

NO r

par

LE .. RE: Qn Q,;

et ces restes eux-mêmes obtenus par la division de y par

0 0... Den

et ainsi de suite, seront nécessairement de degrés inférieurs à ceux de

Qu Qishns 21y Ge Pour déterminer les facteurs

RE

eg LE

dans le développement de y par la formule

(6) y=F,Q,+E +... +EQ+rF0Q,,;

u—1 Vu—1

nous observons que le binôme Uy—V,

devient, en y substituant pour y sa dernière valeur, et en y exprimant v par la formule (5),

uy—v—# Qu+F. ,Q, ;u+....+FQu+F Qu Po — ©, R,—0,R,—0,R,...., d’où, en y remplaçant Qu, Q,,u,...., Qu, Qu, par leurs valeurs déduites des égalités |

BE, = QLu—?,, Paix cou Nu

nous obtenons la formule que voici

UYy—0 = —E,+r LE, St, +(F—-0)k+(E—v)R,+........... + (Œ pi Ou) E,,+(F nu Op) E,—0 F4

En examinant cette nouvelle expression de la différence

UY —V, nous voyons que ses termes

—Do+rPÉPP ES Ep CP UE EP

forment une fonction entière, et que les autres, comme il est aisé de le voir, sont tous de puissances négatives qui vont en décroissant. En effet, conformément à notre notation,

BR =Qu—#,, R=Qu—?P,,...., R,= Q,u—#P R,=Qu—E,, R,,,=Q,,;u—#P,,,........ RP NL sg, et ces restes, d’après les propriétés des fractions réduites, sont de degrés égaux à ceux des fractions ne @2° Qs? RAT ENT Qp ? Qu +1? Quest?

En rapprochant ces considérations de ce qui a été dit, dans le numéro précédent, sur les fonctions sur