GE

nous aurons, en conservant la notation du n° 5,

P,(&, 9 Ye) = 7 (y— f(x) 0 (x), M, EP d) (y —f(x)) 0 (a, Fa 4 Po (2, CE Ps).

P — a Po (x, " ») 0, (Gt —x,) (x —%) (t—%x)....— 09, (x).

Avec ces valeurs des fonctions

Mo, Nos Pi,-..., Po(t), P1(t)

et ayant en vue la remarque que nous venons de faire sur les dérivées partielles de la fonction / 4 À (x, Ys YsY >: .….) = prises par rapport à y, Y,....,Y,...., le polynôme cherché sera déterminé, d’après le n° 5, par la condition suivante:

L'expression (y — f (a) 6 (a) @/ (x) a y — f (x)) 6 (x) 9 (x La a Po (x) + dx!

doit se réduire à une fonction entière avec une approximation poussée jusqu’au terme x" inclusivement.

Comme cette expression, après la différentiation et la multiplication indiquées, se réduit à la différence

0(æ) Po’ (x) ,, (= 0 (x) Po’ (x) ___ 1.2.. en),

Po (x) Po (©) ati

pour déterminer le polynôme y nous devons, conformément à ce qui a été dit au n° 7, développer en fraction continue l’expression

0 (x) Po’ (x) Po(x) ”

En nous bornant à examiner le cas où toutes les valeurs de

sont réelles, et où la fonction O (x)

ne change pas de signe, nous aurons, d’après ce qui à été dit dans le numéro précédent,

= + 1 Po (&) D XrsE +

où À,, B,, À,, B,,...., sont des constantes.

Ce développement de la fonction

0 (x) Po’ (x) Po (€)

nous donnera la suite de dénominateurs des réduites

(UM (x), Ya (x), RS Pr D, (x), (Un (x), Ne. (x), on Le qui seront de degré 0, 1,....m—2, m—1, m,... Comme le dernier dénominateur de degré inférieur à » est d,, (x), et

comme celui qui le suit immédiatement, d,,,., (x), est de degré », le polynôme cherché

y= A,+A%+....+ A, 2% d’après le n° 8, s’exprimera par y=0%,()+o,p{(r) + ....+0, 9%, ,() +0, 4, (@).

Mais comme dans le cas que nous examinons

QU = À,2%+ B,;, Nn=A2+2,, id

t Q, = q, (x), @, ÊTES d (x), nr SNS. sa ete , € S y —1(@) 0(æ) 8 (&) __ 1.2...

Po (x) ali 9

nous aurons, d’après le n° 7 , pour déterminer les facteurs

nor Op Vo

9) me) 18h) | [( Po - ali da (x) |

M ff) 0 (x) po (&) 1.2....1.h | Et "NC E De at+1 ) La a |

la formule que voici:

se 00

ce qui peut être. écrit ainsi:

o, = (— 17! Eee fs f (&) 0 (x) Po’ (2) Ÿn (& .. Lente)

Po (t) Po (X) n—1 es (x) T} Ya (x)

Mais, d’après ce qui a été établi dans le numéro précédent, l’expression

Fus+s,) (eee prete ete)

Po (x) Po (x)

se réduit à

Fe.

A, DT) 0x) Ye) et la fonction b, (x), développée par la série de Maclaurin, nous donne Yn (&) __ Ÿn (0) Yn! (0) F4," (0) ic REP Er + a; UE EUX SE p” SE À +1 Fa 1+- :

up (Pro. Drnr: 5) Ÿn 2(0)+..…; par conséquent See © A NE A 1.2....(+1) (+2) În ENS

et la différence

Dh (&) tn À da (x) al+1 al +1

se réduit à la série Ÿn! (0) 1 Pnl—1(0) 1

s FN L2....H{—-1)a En multipliant cette expression par 4,2 + B, et en rejetant dans ce produit

An Ÿn} (0) By Yn (0) Any nl 1(0)\ 1 F4 + (Re 0 4 Sn),

les termes où la variable æ a des exposants négatifs, nous aurons pour la valeur de ÿn AE Yn (&) Ems+s) (28 R)

An Ÿn! (0) CEUANE 2

l'expression

PURE huis

Par conséquent la formule qui sert à déterminer ©, se reduit à SRLPRRT ee, | o,=(— 1)" 4,(S f(x) d(x) (x) —ùx (0).

Ayant déterminé d’après cette formule les valeurs des facteurs |

“ès

OPEREE e On)

et les ayant mises dans l’expression du polynôme cherché

y—=0,%, (x) + 0, 4, (x) + st +0, 4, .(@) +, 4, (#),

nous verrons qu’il se réduit à

y = A (D FD 0) Ce) — à hr (0)) di (@) — 1, (SF) 0@) hr) — à h/(0)) bi(e) +...

+ (DT 4,(D fe) 0) 4, @)— 4,1 (0),

où À, est une constante inconnue qui, dans notre cas, sera déterminée par la condition que le coefficient de z° doit avoir une valeur donnée.

On trouvera aussi de la même manière l’expression du polynôme y, dans le cas où plusieurs de ses coefficients sont donnés, et les autres sont déterminés par la condition de rendre maximum ou minimum la somme

DE (y—f&) 0(),

étendue à des valeurs données de la variable x.

FIBRA RNQ OT: à UNIVERS ii Y

OF RCALIFORN\È