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ont des valeurs réelles, et que la fonction O(&)

ne change pas de signe, la fraction continue, qu’on obtient en développant l'expression 0 (x) (x) px) ?

comme il est connu, sera de la forme

DT ZTrtE + E

Az+B, +.

où À,, B,, À,, B,,.... sont des quantités constantes *). Dans ce cas les

fonctions Q;) ose.) nr...

ont pour valeurs

4 =A,2+B,, 4 —=42+8B,,....,0,—=4,2+B,, et les dénominateurs

PQ), L(),...., 4,0), 9, @), bre...

des fractions réduites de l’expression

0 (x) æ’(x) px) ?

seront de degrés

0,1,....,Mm—2, m—1, m,....

Comme dans ce cas le dernier dénominateur d’un degré inférieur à , est (x), et celui qui le suit immédiatement, c’est-à-dire Ÿ,,,, (x), est du degré m, d’après ce qui a été établi, le polynôme cherché y sera donné par la formule

Mettons à la place de g, sa valeur = À,% + B, dans la formule du ° 7 qui sert à calculer les facteurs

nous aurons

— Qu 1 es Et,z a B,) (2 (x) ES p Fe) 4 Ÿn (x En nos "(x 2)

Si nous désignons par U la fonction entière qu’on obtient en divisant le produit

Ÿ, (&) F(æ) 0 (x) p'(x) par œ(x), nous aurons, par notre notation

E* (æ).f (æ) 0 (x) (x RE à (x) M

*) Voyez le Mémoire intitulé: Recherches sur les fractions continues (T. TI, pag. 203— +230). Du reste cela résulte aussi de ce que æ,, 2, æ3,.... étant réels, 0(x) conservant toujours le même signe, notre problème a toujours une solution, quel que soit "m, car cela suppose d’après le n° 8 que dans la série ÿ, (x), ÿ, (x),...., il y aura toujours un dénominateur du degré m, et que par conséquent il s’y trouvera des dénominateurs de tous les degrés, ce qui n’est possible que quand la fraction continue dont il s’agit a la forme que nous venons d’indiquer.

et Yn (x) f (x) 6 (x) p'(x) __ bn (@)F (21) 0 (1) … Va (ta) (t2) 0 (2) Es — FF n re 1 Br n CE 2 PE = U + N'J (25)9 (x) Ÿn Go TX — Tj

d’où nous tirons

Yn (æ) f(x) 6 (æ) ?'(x) E Yn (ra) (t6) 0 (cs) o (x) p(x) (x)

= DAE0Edn(D

T — Xj

Ainsi l'expression trouvée ci-dessus pour le facteur ©, se réduit à la suivante :

a, = (— Ses LEA x + B,) N'J (œ5) 0 (x) ) Don Ce)

ZT —

Cette formule peut s’écrire ainsi:

ss æ

Le terme placé sous le signe E est du degré zéro; donc, en faisant x — oo nous aurons sa partie entière, et nous trouverons ainsi:

En calculant d’après cette formule les valeurs des facteurs ion ©

m—1? On

et en les mettant dans l’expression du polynôme y, nous obtiendrons la formule que voici:

= AD T)0 (x) 4). 4 (@)—A4, fa) 0()b,(x). (+ … LA 1 4, fa), (c) À LT G}+-D" T4, f(x) dx) (x) Da(Z).

C’est ainsi que l’on détermine le polynôme du degré »m— 1 qui rend maximum ou minimum la somme

ie D

étendue aux valeurs réelles de x et dont le facteur Y(x) ne change pas de signe.

Cette formule sert pour l’interpolation parabolique, d’après la méthode des moindres carrés, quand il n’existe aucune condition particulière relative à ses coefficients.

$ 10. Passons maintenant au cas où dans le polynôme cherché

CRE 2 mMm—1 y= A+ À t+A,2+....+14, 2

le coefficient de z°, où / est un des nombres 0, 1, 2,....,#—1, est supposé donné.

La condition que le coefficient de x, dans le polynôme y, doit être égal à un nombre donné peut être exprimée par l'égalité

D +, (æ, y; UE “> .. .)=4@,

pourvu toutefois qu’on n’étende cette somme qu’à la seule valeur de la variable +, x — 0, et que la fonction

Pers dl : :

se réduise à un seul terme J = Dans ce cas, d’après la notation du “A

n° 5, nous aurons

et toutes les dérivées partielles de

prises par rapport à y, y, y”, y',.... seront zéro, excepté la seule dérivée par rapport à y, qui sera égale à 1.

Supposant, comme ci-devant, que la somme qu’on se propose de rendre un maximum Où un minimum est

“e D 5 (y—f(@) 0() et qu’elle s’étend aux valeurs de la variable x, telles que

%;, Lo) Tasse.