PERS. Ur
6. D’après toutes les recherches précédentes, il sera aisé de trouver, dans chaque cas particulier, un polynôme F{(x) de la forme
d'+ A2" + A, *+....+4,2z+AÀ,,
qui, tout en restant toujours croissant ou décroissant depuis & — — 1 jusqu’à æ — + 1, diffère le moins possible de zéro entre ces mêmes limites.
Nous commencerons par déterminer les nombres p et p, en observant que, d’après le n° 4, on à, » étant impair,
p=0, py—=0, ou bien p=l, p—1,
selon que le polynôme cherché croîtra ou décroîtra constamment entre les limites 4 —=—1 et x — + 1, et que, dans le cas de » pair, ces mêmes nombres seront | p=0, po=l1, ou bien e=1, p=0,
selon que le polynôme cherché sera constamment croissant ou constamment décroissant pour toutes les valeurs de + depuis æ — — 1 jusqu’à æ — + 1. Connaissant o et p,, nous trouvons, à l’aide de l’équation (4),
(8) j =" mt,
puis nous cherchons la valeur de la fonction 7,, coefficient de s' dans le développement de l’expression
(+ s + V1 — 257 + 52) Po (1 — 8 + V1 — 28% + 52) P
V1 — 2sx + 52
selon les puissances ascendantes de s, et la valeur du coefficient X,, par la
formule (7). Les valeurs de 7, et de X, étant connues, à l’aide des équations (3) et (6), dont on élimine la fonction U, nous déterminons F’(x), dérivée du polynôme cherché,
Fa) ge (&+ 1) (œ—1).7?;
mettant cette valeur à la place de F’(x) dans l’équation (1), nous obtenons enfin, pour l'expression du polynôme cherché, la formule que voici:
T + 1 era à À
Nous trouverons ainsi le polynôme cherché, qui, jouissant de la propriété de croître ou de décroître constamment depuis 4 = — 1 jusqu’à æ — + 1, différera de zéro moins que tous les autres polynômes de la même forme.
Maintenant, pour calculer la valeur de Z, limite des écarts de ce polynôme, nous observerons que la formule (5), en y mettant l’expression de U tirée de l’équation (6), nous donne
+1] (+ x) (1 — x} TŸ dx,
feat à
ou bien, en mettant pour » sa valeur tirée de l’équation (4), c’est-à-dire la somme 2 + p + p + 1,
+1 L— errant] ( + 2)" (1 — x) T? dx.
Nous observerons ensuite que, d’après ce que nous avons établi, dans notre Mémoire Sur les fonctions semblables aux fonctions de Legendre *), sur la réduction de l’intégrale
+1 9] Le, °] D Tnt: D, Ton 0 0
(+) (1 — x)t sa
+) T. IL, p. 61—68.
à l'intégrale À 2AHUAHI (1 — stx) F
xh(1—xM(1— six?) ?
la valeur de l'intégrale
Ja +2) (12) T'dr
qui entre dans l’expression de Z, sera le coefficient de (st) dans le développement de la formule intégrale
po p+rl 4 he.
æP0 (1— x) P (1 — stx?)
suivant les puissances ascendantes de sf. Or, comme cette intégrale devient
1 1+V st den Le 7 08 1 —7= pour p—0 et p, —0, 1 1 1—V st: log ec] 3 — — 0 — ] — ] . Fa 1+V st s?t? ROUE P » Po ;
et
— 7 log (1—s), pour p—0 et p—1
de même que pour 9 = 1 et p, — 0, et que ces trois expressions se développent en trois séries que voici:
2 ++ st + 2 (sé? iii pas,
