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qui détermine la limite de l’écart entre le polÿnôme cherché et zéro. Quant à la forme du polynôme
F(x)=2"+14,2 '+4,x *+....+4,1t+4AÀ,,
après avoir fait subir à F’(x) la transformation ci-dessus indiquée, elle restera la même, car, d’après l'inégalité (2), l’expression
L,(@— 1) (&+ 1} (x — a ju (r— a), (x — œ, jm
ne contiendra pas de puissances de x, supérieures tout au plus à n — 2.
Nous voyons ainsi qu’en admettant la possibilité de l’inégalité (2) on peut rendre le polynôme (x) plus approché de zéro, en lui conservant, conformément aux conditions de la question, la forme
gd + An + An *+....+4, 2+AÀ,
et sans faire varier le signe de sa dérivée première entre les limites 4 — — 1 et x —= + I.
Or cette conclusion est absurde, puisque, par hypothèse, Le polynôme en question est celui qui diffère le moins possible de zéro, entre les limites —=—]letx—+ 1.
En observant que cette inégalité, dont le côté gauche est le nombre des racines de l’équation
comprises entre les limites 4 — — 1 et x — +- 1, et la partie droite le degré n — 1 de cette équation, ne peut avoir lieu, non plus, avec un signe d’inégalité contraire au premier, nous sommes conduits à admettre l'égalité
d’où il résulte que toutes les » — 1 racines de l’équation | F'(x) = 0 lui seront communes avec l’équation GG — 1) (+ 1)" (a) (a)... (m — a, )m — 0, et qu’ainsi l’on à F'(x) = C(x— 1) (+ 1)(c—0o) (x — a). ...(@—a jm,
où C'est un facteur constant.
Pour trouver la valeur de ce facteur, nous observons que, le polynôme cherché étant de la forme
a+ Aa + A,2" +....+ À, .2%+2À,,
sa dérivée sera
F(a)=ne" "+ (n—1)4,0 + (0 — 2) Aa oh 4, ce qui, re à l'expression ci-dessus de F”(x), nous donne n = C.
Par conséquent, 7” (x) D être représentée par la formule que voici: Fh=n(—1)@+1)(r—a)@—e)... (G— ae.
Si maintenant on désigne par |
es quotients, et par
Pa::. Po les restes qu’on obtient en divisant les exposants À, ho par 2, cette égalité pourra être mise sous la forme F'(@)=n (a 1) (ee 1) [Ge 19 a+ 18 a) (aa ea de,
ou bien (3) | F'(x) —= n (x — 1}? (x +- 1}. U?,
U étant un polynôme donné par la formule G— 1 Ge 1j (ao — a). (o— a = D.
4. Les nombres o et p, de la formule (3) étant les restes de la division de À et À, par 2, ils ne peuvent avoir que les valeurs
CRE à
et il est très-aisé de voir, dans chaque cas particulier, d’après la forme du nombre », degré du polynôme cherché ÆF(x), et d’après le signe de sa dérivée première F’(x), entre 3——1 et æ— + 1, lequel de ces deux nombres doit être adopté pour o et dans l'expression de F’(x) par la formule (3) | F'(x)—=n(x—1} (x + 1}° U?.
En effet, si n, degré du polynôme
F(a&)=2" + An" "+ A2 *+....+4,%+A
est un nombre impair, sa dérivée F’(x) sera de degré pair, et dans ce cas l'égalité (3), où U? est aussi une fonction de degré pair, indique que le facteur
doit aussi être une fonction de degré pair; mais comme il n’est possible de satisfaire à cette condition, ni dans l’hypothèse de
ni dans celle de
on est forcé d’admettre que, dans ce cas, on aura ou
p—0 et po—= 0, ou bien p—=1l et po—=]l.
Pour décider lequel de ces deux systèmes de valeurs de p et p, doit être adopté, nous observerons que le premier nous donne, d’après la formule (3), l'expression | F'(x) = n U?,
et le second F'(x) = n(x— 1) (x+ 1) U?,
et qu’ainsi, la variable x demeurant comprise entre — 1 et +- 1, dans le premier cas, F’(x) aura une valeur positive, et que, dans le second cas, elle aura une valeur négative. De cette façon, il est clair que les valeurs
p—=0 et p—0
doivent être adoptées dans le cas, où F(x) sera une fonction constamment croissante entre les limites 3— — 1 et 4 — + 1, et les valeurs
p—1l et p,—=lI,
dans le cas, où F(x) sera une fonction constamment décroisante.
Passant à la considération du cas où » est pair, nous observerons que, dans cette hypothèse, le degré de la dérivée première de F(x) sera impair, et, par suite, pour satisfaire à l’égalité (3), nous devons assigner à o et p, les valeurs que voici: ou bien
Ë ne p=0, p=]1, ou vice versû p=1l, p, = 0.
Or, comme pour ces valeurs de p et e la formule (3) devient respectivement
F'(x)—n(x—1)U?, et que la première de ces deux expression reste constamment positive depuis
x — — 1 jusqu’à z— + 1, et la seconde constamment négative pour les mêmes valeurs de x, nous concluons que, dans le cas de »n pair, on a
p—0 et p, = 1,
si F(x) est un polynôme toujours croissant, depuis 4——1 jusqu’à x = +1, et p—=1l et pp —0,
quand F'(x) décroîtra constamment entre les mêmes limites.
5. Pour déterminer le polynôme U, qui figure dans l’expression ci-dessus de F’(x), nous ferons remarquer que, d’après le n° 3, ce polynôme est un produit de la forme
(œ— 1) (x+1)%(x— a)" (r— 0)... .(@— x Jim;
par conséquent, il a toujours la forme Ua + Ba + Ba t+....+B, %+B,,
et la valeur du degré Z s’obtient à l’aide de l’égalité (3), qui donne, entre les exposants, la relation
D'un autre côté nous savons, par le n° 3, que la limite de l'écart entre zéro et le polynôme cherché F(x), depuis x = — 1 jusqu'à x — + 1, est égale à la valeur numérique de l'intégrale
:ÎF (x)dz;
mais cette intégrale (3) se réduit à +1
Eneef (1 (1 —27 U*dx,
at |
si l’on y met pour F’(x) son expression (3), et la valeur numérique de cette dernière intégrale est évidemment
+1 zfa + a) (1 — x) U? dx.
Donc, en désignant par Z la limite de l’écart entre zéro et le polynôme cherché F(x), nous aurons
+1 (5) L= 3 [a +2 ( — x) U? dx.
Ainsi, pour diminuer, autant que possible, la quantité L, sans changer
toutefois les conditions de la question, nous aurons à déterminer le polynôme U de façon à rendre minimum l'intégrale
+1 Ja + a) (1— x) U? dx.
Re
Il est facile d’y parvenir à l’aide des fonctions Pose. Des het En qu’on obtient en développant l'expression
Q-me+ VIS À) (1—s+V1— 257 +52)"
en une série de la forme T+Ls+<T#+.... + Ts + rs
En effet, on sait que ces fonctions sont de degrés 0, 1, 2,...,/,..., et qu’en général pour tout » distinct de », elles satisfont à l’équation
Tm Tm, | ne Rire ie
rare" |
de plus, il résulte, de ce que nous avons établi dans notre Mémoire Sur les fractions continues *), que l'intégrale
Z étant de la forme x+ Ba '+Bx "*+...+8B, x+8B,
acquiert une valeur minimum lorsque le polynôme Z ne diffère de la fonction T, que par un facteur constant. Nous en concluons donc que le polynôme
U= x + Bat t+Ba"+....+B, 2+B,
qui correspond à la valeur minimum de l’intégrale
+1 Ja +x)(1—x) UV dx,
sera donné par la formule
en faisant
*) T, I, pag. 203 —230.
dans l’expression de la fonction 7}, qui nous est fournie par le développement en série
Ta Tsr TN mer + Te +...
de l’expression (+ s + V1 — 257 + SP (1—s+yI— es)
V1 — 2sx + 5?
Désignant par | K, le coefficient de x! dans la fonction
et remarquant que cette puissance de x doit figurer dans le polynôme U avec un coefficient égal à l’unité, nous en concluons que l’expression que nous venons de trouver pour U entraîne l’égalité
1= CK,; d’où l’on tire
(6) à Eee
où, comme nous venons de le dire, la fonction 7, s'obtient en développant l'expression (1 s-+ V1 — 257 +52) Po (ses VI — 2sx + 82) ?
Or, comme ce développement peut être représenté par l'égalité que voici:
Le, ]
(1 s-+V1— 257 + 52) "0 (1— ee V1 +8) be: s"
SE ADN GA DORMI rente 2 V1 — 257 + s? : “
en désignant par
les coefficients de
dans la fonction 7, pour une valeur quelconque de #, nous aurons
(+ s+V1— 28x + 52) Po (1—8+V1—92sx +582)?
V1 — 2sx + s?
œ En AE: 0: PT HE 6,
quelles que soient les valeurs de s et #. Donc, si l’on pose
et si l’on fait ensuite
l'égalité ci-dessus se réduit à la formule
(1-+V1—2a) PP - m — A ut VI — 2x 2 La
Cette formule nous montre que X,, coefficient de x dans la fonction T,, sera identique au coefficient de a dans le développement en série de l'expression (1-+V1— 24) PP Fes
Mais comme on sait, par ce que nous avons dit dans le n° 4 sur les nombres p, et p, la somme p+-p, ne peut être que zéro, 1 ou 2; l'expression
(1-+ VI — 2x) Po—P V1— 20
pour ces valeurs, peut être developpée en séries
1 in 1.55: : 40-01 à UT at tir les à
