LE
LRETEEN
fr d
ce
Sur la résultante de deux forces appliquées à : un seul point.
| 1. D’après un théorème sur les angles compris entre les plans qui passent par un point, on parvient aisément à une relation très-remarquable entre les angles que font les trois forces R,, R,, R,, appliquées à un seul point et les résultantes de ces forces, prises deux à deux, savoir: |
(1) sin (R,,[R,,2,]) sin (R,, [R,,R3]) sin (R3, [Rs, Ri]) us sin (R,, [R,,R,]) sin (R;, [R, R;]) sin (B,, [R3, R;]) ’
où par CB, BI, CR, BR], [Cl EI
nous désignons les résultantes des forces À, et R,, R, et R,, R, et R,, et par GB, LR, RD (A, [R, RD, (, Lis, RD...
les angles entre les résultantes et les forces qui les composent.
C’est cette équation qui servait de base à deux nouvelles démonstrations du parallélogramme des forces, données en décembre 1875 par M. Darboux dans le Bulletin des Sciences mathématiques, et par moi dans une Communication faite à la Société mathématique de Moscou.
Nous allons montrer maintenant comment on peut trouver, d’après cette équation, la valeur du rapport
sin (R,,[R, ER), sin (Ro, [R;, R;])
sans rien admettre sur la direction de la résultante et la continuité. 2. Après avoir remarqué, d’après l’équation (1), que le rapport
sin (R;, [R;,R3)) sin (R,, [R;, R;))
ne dépend pas de l’angle fait par les forces À,, R,*), nous supposons que cet angle est réduit à 120 degrés, et nous désignons par ® l’angle entre la force À, et la résultante [R,, R,] des deux forces R,, R,.
Nous obtenons ainsi
sin (R3, [R,,R3]) __ sin (120°— ®) sin (R;, [R, 3) sin @
V3 1 cs Cotg ? +
Mais on reconnaît aisément que la résultante d’un tel système de deux forces ne sera pas altérée si l’on diminue de 60 degrés l’angle compris entre elles, et que l’on diminue en même temps la force ZX, de R,; car un tel changement de notre système peut évidemment être effectué si l’on y ajoute trois forces égales à À, et disposées symétriquement autour du point d’application, savoir: deux forces dans les directions opposées aux deux forces en question, et la troisième faisant avec ces forces un angle de 60 degrés.
Or, pour le système de deux forces R,, À, ainsi i modifié, on aura, d’après notre notation,
sin (R;, [R,—R3,R;]) - sin (6 eg) sin (R;—R3, [R—R3, x) sin ?
V5 cotg Pire
ce qui, étant retranché de la formule précédente. nous donne sin (Rs, [R1, Ra) sin (Rs, [R; — Rs, R3])
sin GE, lus Pa) 880 Gi — Ro Ca RD 3. En remplaçant dans cette équation À, par BR, R,—Ry,, R— PR LE R,—(m— 1) R;,
que nous supposons toutes ne pas être inférieures à À,, nous “trouvons une série d'équations qui donnent
sin (Rs, [Ro R3]) ____ sin (R;, [Ro — m3, R3]) Sin (Ro; [Ro Rs) sin (Ro—mRs, [Ro —mR3, R3])
ce qu’on peut mettre sous la forme
sin (Rs, (Ro: El) Ro/1 , Po-MEs B, sin (Ra, [Ro — MRy, Ra]) @) er (ire Lo oem D 1}),
en remplaçant le nombre » par la différence
égale à ce nombre.
C’est à l’aide de cette formule que nous parvenons à tirer de l’équation
(1) la valeur du rapport sin (R,, [Ri,R2]).
sin (R,, [R;, R,])
*) Voir la démonstration du parallélogramme des forces de M. Darboux, citée plus haut.
4. À cet effet, nous supposons que, pour une force quelconque 7, on ait trouvé une quantité Z telle que la valeur numérique de
rsin(r,[r,r,)) 1 ri Sin (ri, [r,r1)) ne
ne surpasse pas ZL pour toutes les valeurs de 7, depuisr,—7r jusqu’à r,—2r, l'angle (r, r,) étant égal à 60 degrés. Dans cette supposition, en désignant par 4, 0% des quantités comprises entre zéro et 1, nous aurons, pour toutes les valeurs de r, == r + 6r, cette formule
rsin (r,[r,r +06r]) Le. o (r+-6r)sin(r+ 6r,[rr+0r) = +0" L.
Comme il est certain que la résultante ne change pas de direction quand on remplace les forces par leurs sous-multiples, on aura de même
(3) R; sin (R3, [R3,R3+0R:])
Ve ES CON (R3+0R3) sin (R3+0R3, [R:, R3 + 0R3]) 1=+0 L,
pour toutes les valeurs de (4) R;= = n étant un nombre entier. :
5. Mais, en prenant dans l'équation (2) pour # la partie entière du
quotient
(Rs — BR): LR, on aura
R—mR,= k,+0R,,
et, pour cette valeur de #, l'équation (2) devient
sin(R;, [Ro R3]) __ F(1 ER R;+0R; R;sin (Rs, [R3, R3 +0R3)]) un 1}) sin (Ro; (Ro; Rs) R; Ro (R3+ 0R3) sin (R3+ 083, [R3, R3+0R3]) ; qui, d’après (3), dans le cas de R RSS r he !
nous donne
sin (R;, [Ro R3]) __ Ro + R+0R sin (Ro, [Ro, R3]) BR; [1 ete - L]
En posant, dans cette formule,
te ER, et en désignant par 6, ? (ZA ?
les valeurs correspondantes de 4 et 91, nous obtenons
sin (Rs, [Æi> Ra]) A [1 + th ÿ O1] ne sin (R;, [R;, R3]) R; nes BR; : .
sin (R3, [Ro, Rs]) __ Ro [1 + E; 2e BE; 8,0) L| :
sin (Ro, [Ro RD R3
6. En portant ces valeurs dans l’équation (1), nous trouvons qu'elle donnera 1et+08
sin (R;, [R:R2]) pes RL; R; à sin (R>, [Ri; Ro]) 7 Le (ei D 6,0)
0,0) ZL
d’où, par la substitution de la valeur (4) de À,, nous tirons cette formule:
(+ 06)r 141222" 0,0) Z, | (BR; ; [R; ; E,]) me E;, B; . .
sin (R,, [R,,R]) B; 1 + Aæ+o)r 9,(0) Z T1, -0@ s
Comme, dans cette formule, le nombre » peut être pris aussi grand qu’on le voudra, et.que les quantités
oi: 7 à 0,°), 8,0),
les seules qui dépendent du nombre » et des forces À,, Æ,, restent comprises entre zéro et 1, on trouve, d’après cette formule, en faisant croître » à l'infini,
sin (R,, [Ri, Ro) __ Re
sin(R,,[R,,R])
