RER
sont les fractions convergentes du développement
Qi LEE
mr Un +.,
qui correspondent aux quotients incomplets
io Qi leurs dénominateurs T;, T,, devront être de mêmes degrés que les produits Dh (TER ET oo) Dir T4 Fat De CPR et par suite de mêmes degrés que les fractions
Qi: ; Q1 j Qries: Va
formées au moyen des dénominateurs des fractions convergentes
Pin, Pin, Fi Qui Qi À
de la fraction continue
+ — Lo QU +
< T—2 + di ss , —] .
par conséquent, on aura
Qi FIRE "7 = 5 Q—X 1— 4 » ÔZ, . Qi)
Mais on a, d’après (9),
F(vQ)Z0%, SF(0Q,) 73 7 on tire de là
T,F (bQ) = ne, OT (QD 7 —
xM Q— Ve
Comme, d’après (8), le produit Q,, Q, est de degré inférieur à M+N, la première de ces inégalités nous donne
èT, 1 F(0Q) < . do. rx
On voit par là que les deux fonctions T, F(vQ,,), T; F(vQ))
sont de degrés non inférieurs à aM
Qi) :
et dans ce cas, d’après la formule (11) et en remarquant que V ne contient pas de puissances négatives de la variable, on trouve
SF(vQ,)= aa Dh D S'RA ce qui, joint à l'égalité
ÿ Hi Qu,
CYR ne Cu
nous donne ùqr NACNELTm rie En faisant ici ÀA=l—m—1,l—m—2,.... 1,
et remarquant que, d’après le $ 1, la fraction
aM QIX
reste de degré négatif, il vient
RES F(vQ,.,,) — 0, MS: F (vQ n +2) < 0, Te CT PIRE (vQ,.) < 0;
d’où il s’ensuit que, en déterminant les fonctions
|: ee os CD par la formule générale | ; ee COS — 1)" E (3; F(vQ))), on trouvera O1 —=0, 0,2 —=0,...., w,, = 0.
En posant dans la formule précédente ÀA—=l—m et remarquant que, suivant notre notation ($ 1),
ge"
de In F(VQn) < 5;
d’où l’on conclut, d’après la formule ci-dessus qui détermine la valeur de la fonction w,, que
on trouve
Ainsi nous nous assurons de l’accomplissement des conditions
mMm+-1 0.,.:.. w,., —=0,
êw,Z5, qui, avec les conditions déduites plus haut
do
min — Ps
comprennent toutes les conditions (3).
On voit par là que les inégalités (4) constituent les conditions non-seulement nécessaires, mais encore suffisantes, pour que la formule
uX — Y,
X, Y étant entières, et X de degré non supérieur à #, puisse donner une expression approchée de la fonction v aux quantités près de l’ordre x” exclusivement.
SUR
