n da
on trouve n-t- \ ou n -1- 2 termes, selon qu'il s'agit du développement de
Vanomalie excentrique ou du rayon vecteur] car dans le premier casoupreud
F{x) = X, et dans le second
F{x) = 1 — Ticosir,
ce qui donne uu terme de plus.
§ 5. Dans le cas de plusieurs équations simultanées de la forme
X— fl = v]9(X, Y,Z, ),
Y—h=^^(X,Y,Z,....), Z-~c^aO{X, Y,Z, ),
la réduction des intégrales, dont nous nous sommes servis pour trouver la série de Lagrange, conduit directement au développement des fonctions de chacun des inconnus X, T, Z,.... selon les puissances croissantes ï], ^, o, . . . . et donne les restes de ces développements. C'est ce que nous allons montrer à présent sur les deux équations
(4) Y^b=:S;i^iX,Y},
en cherchant le développement de F(X).
En suivant la marche analogue â celle qui nous a conduit à la série de Lagrange, nous mettons la valeur cherchée F(X) sous la forme
(5) F{X) = F{d)-t-fF'ix)dx,
et nous réduisons l'intégrale
jF'{x)âx
d'après la méthode mentionnée, eu remplaçant F{x) par F\x"). Ainsi nous trouvons
^F'{x}dx^^F'{x")dx:={x'-i-C)r{x")—\^^^^^^P^dx,
où G, comme nous le savons, peut être une fonction quelconque de x". On prendra pour G la valeur
en supposant que y est fonction de x" déterminée par l'équation
(6) y^l=^^^^"^yy
Ainsi pour la valeur de l'intégrale indéfinie /i^{iE) dx l'on trouye jF\x)dx = {x~a—-^^{x'\y))F'{x'')—\^^'''-''--^^f'^^^^'^'^'Ux.
En passant à l'intégrale définie
ÇF'{x)dx,
nous remarquons qu'à la limite x=X, on a
x — X, x" = X, et d'après (4) et (6)
Or pour ces valeurs de x, x" et p l'expression
en vertu de l'équation (3), devient zéro.
Quant à la limite inférieure de l'intégrale 1 F (x) dx, en prenant
on trouve que cette expression se réduit à
î/(, étant la valeur de y pour x = a. — Cette valeur de y, en vertu de (6), sera déterminée par l'équation
(7) % — b = ^-i^ia,y,).
Donc, d'après la valeur précédente de f F' («) tïa: il viendra
— 2G7 — ou, ce qui revient au mêrae.
-i-lfJ-F"(a)?',(",y)iiy.
En poursuivant la même marche, nous réduisons les intégrales qui sont contenues dans cette valeur de l'intégrale
Çp'(x)ix.
En réduisant l'intégrale
nous trouvons
r ■»(»'- ° - If (""■ »)) I" («") j il(»' - <■ - viq> (i", »))' F' (x"l
I f^M^'-t-f.¥(^",y))'F'(x") j^ 2] WT '
et comme l'expression
x — a — ifitp (a;", î/),
d'après ce que uous venons de voir, se réduit à 0 ou à — vjq {a, y^), selon qu'on fait
x = a:" = X ou
cette équation nous donne
.^d(x'-a- r.<p (^', y)) F' {ce") , r,^ dF' {a) q>^ (a, yp)
1 f^di(:«'-a-,i»(j;",yi)»F'(x")
OU, ce qui revient au même,
f-d{x'-a-x,<f(x",y))F'(x")r, -^-^ dF' (a) y'^ [a,l>)
1 dx" 2 da
-¥j, wr ™
^<iJ*f"(a)q.(<.,!,)9„'(i.,S)(ij,
Passant à l'intégrale
nous remarquons que la même méthode de réduction, appliquée à l'intégrale
J y {«) T'y (".»)<'», nous donne
jF'(i>)f',(«,y)'l<l^!P'(<t)<f'y(«,!l"}*J
ce qui devient
J P' («) <p'y («, y) dy={îj—h — ^ (a, y")) F' {a) <ç\ (o, y")
Ml
si l'on prend
C=~b~i']>ia,y").
Comme l'expressioD
eu rertu de (7), se réduit à 0 pour y :=y" = y^, cette réduction amène
jy-' (a) (p'j, {a, y) dy = F' {a) <o\ [a, h) g'j^ {a, h)
1^° dF' [a] y'„ {a, y") (y' - 6 - g^ (», y")) ^
Lorsqu'on substitue ces valeurs des intégrales
dans l'expression précédent de on trouve pour sa valeur
2 Ja («ia:")^ ^ rfa
f * <i fe'- 1 - î't (», !>"l) J" M <■'</ (». »") J.
Si maintenant nous continuons de réduire de la même manière les iutégrales de cette valeur de
Çf'(x}cIx,
Lous trouvons que
2 h (d^'T ' da
___ f djy'-h-i-i, (g, y")) F' [a) y'„ [a, y") , ' J 6 ày" !>
