COSI

[rcosp),

— -t-cos

(2x-i-rcosw).

Od parvient facilement à reconnaître que cette valeur reste toujours au dessous du maximum de R que nous veuous de trouver pour x = a. En effet, en cherchant les valeurs de p, pour lesquelles l'expression

S = ^""°''*-^ ""^'P. — cos (r cos^)

peut devenir maximum ou minimum, on trouve l'équation

(2) ~^ cosp — sin (r cosp) sinp ^ 0.

Cette équation se vérifie évidemment quaud on fait

siap^O ou cosp = 0,

et hors ces cas, elle ne peut être satisfaite; car, tant que siu p est différent de zéro, on a

( 2 ) >r-èm^p,

et comme

sin^ (r cosp) < r* cos^p,

cela

tandis que l'équation (2), pour cosp différent de 0, donne

Donc, les maxima et les mmima de l'expression

„ e'sinp-t-e-'-™ ,

ne peuvent avoir lieu à moins qu'on n'ait

cos^ =: 0 ou sin^ = 0.

D'après cela, en remarquant que l'expression

ersinp-i-e-rsLnp

— — ^ cos (r cos^)

devient

selon qu'on prend cos ^ ^ 0 ou sin ^ ^^ 0, et que la première valeur surpasse la seconde, nous concluons que c'est cette valeur qui est le maximum de l'expression

ei-slnp-t-e-''siii!' , .

^ =^ , — ^ COg ^^ COS p).

Mais comme l'autre facteur

S,= ^ ^î^^ 1- cos {2x -+- r cos j?)

de la valeur de U^^t^ SS^ ne peut être évidemment au dessus de

il suit que cette valeur de R ne peut surpasser la limite

— 2G0 — et, par conséqueut, qu'elle est iuférieure à

ce qu'il s'agissait de prouver.

Ainsi l'on parvient à reconnaître que la plus grande valeur que peut avoir le module de l'expression

[ï] sin (ic -ï- reP^"^) -f- o — x\^

pour X compris entre a et X, racine de l'équation

X — 0 = 1) sinX, est celle-ci:

Il en résulte que l'intégrale qui représente le reste de la série en question, est an dessous de cette valeur;

h i:r:[^"('-^^rj ^=(^-») ^-c^^t-

Cette limite du reste sera plus ou moins grande selon la valeur de r. Mais comme r est tout-à-fait arbitraire, rien n'empêche de le choisir de manière que la limite

devienne la plus petite possible, et, par conséquent, la plus proche de la vraie valeur du reste. On y parvient, en prenant pour r une valeur qui rende minimum l'expression

ou, ce qui revient au même, maximum celle-ci:

En dénotant par h le maximum de cette expression, ou aura pour la limite du reste la valeur

(JC-<.)(|)", et comme la différence X — «, eu vertu de l'équation

X — a = 1] sin X, ne surpasse pas fi, on peut prendre pour cette limite TexpressioD suivante :

Quant à la valeur de k, on trouve que le maximum de

a lieu pour r, racine de l'équation

et que la valeur approchée de ce maximum est 0,66274. Donc

§ 4. Pour trouver la limite du reste dans ie développement du rayon vecteur, on prendra

F{x} ^1 — T] cos (ï, ç (x) = sin x,

. toujours que X désigne Vanomalie excentrique, a l'anomalie moyenne et t] V excentricité.

Ces valeurs de Fix) et ç (x), eus'arrêtant dans la série deLagrange au tenne

71" ^"-'■F'(a)'p"(a) 2.3....» da^-' >

donnent pour le reste

ii"[Y|sln(i-Hi|(nm(»^-.}-t

OÙ î = 0 après les différentiations.

En suivant la même marche que dans le paragraphe précédent, on mettra cette expression sous la forme.

àfj'?

n {X -^ r^V-^l (,| .in {x -^ re^V-') -^ g - :.)" y^j

On commencera la recherche de la limite supérieure du reste, ainsi transformé, par le calcul de la pins grande valeur que peut avoir le module de

i\ sin (x -+- reP^""^) (yi sin (x -+- rtf^-'') -t-a — x)"

pour X compris entre a et X, racine de l'équation

X — o:^T) sinX

Or, nous venons de trouver dans le paragraphe précédent, que pour ces valeurs de x le plus grand module de l'expression

[ïj sin (a; -+- nf''^} -t- « — xf est

et que ce module n'a lieu que pour x^a, et, par conséquent, dans le cas où l'expression

[i) sin (x -+- re*''^'"') -t-a — xf se réduit à

[t] sin (x -i- î-fl''"!''-')]^ .

Donc, la valeur if (--^~. -\ est la limite des modules de chacune de ces deux expressions

[t] sin (a; -\- reP'-') -«-a — xj, [v] sin (x -+- re^-^jj.

D'où il suit que le module de

T) sin (x -+- re''^"^) [i] sin {x -+- re^'^~^) -t-a — a;]"

ne peut surpasser

et par conséquent, la valeur de l'intégrale

qui est le reste de la série en question, doit être au dessous de cette limite:

Cette limite s'approche le plus près de la vraie valeur du reste, quand on prend pour r la valeur qui la réduit à son minimum, ce qui a lieu pour r détermiué par l'équatiou

Mais on n'augmente pas notablement cette valeur, en prenant pour r la racine de l'équation

qu'on trouve, en faisant dans l'équation précédente n infiniment grand. Avec cette valeur de r l'expression

se réduit à la quantité que nous avons désignée par /c, et alors l'expression trouvée de la limite du reste devient

r(X-a)(Ap.

De plus, comme la différence X — a ne surpasse pas ï], ou peut remplacer cette limite par celle-ci:

^'•(ir='Kfr-

Les limites que nous venons de trouver pour le reste du développe-

ment de l'anomaUe excentrique et du rayon vecteur seraient notablement diminuées, si dans l'évaluation de la limite du module de

lyi sin (x -t- re'''^~^) -t- a — 3;]^,

au Heu de remplacer, comme nous l'avons fait dans le § 3, les expressions

~ cos (r cos p),

pour toutes les valeurs de p, par leurs maxima

on tenait compte de leur diminution, quand sin p s'approche de zéro. Mais malgré cette hypothèse défavorable, les limites trouvées suffisent pour montrer clairement que les déreloppements de Vanomalie excentrique et du rayon vecteur, selon les puissances croissantes de l'excentricité, sont tonjoui-s convergents, si la valeur de l'excentricité est inférieure à la limite 4^=0,66274. C'est ce que Laplace a trouvé le premier et ce que M. Cauchy a démontré par une méthode très ingénieuse. Ces Umites suffisent aussi pour prouver que dans ces développements l'erreur est toujours au dessous du rapport de l'excentricité à 0,66374, élevé au degré égal au nombre des termes qu'on retient.

On s'en assurera, si l'on remarque que dans les expressions

*(r'. HT''

que nous avons trouvées pour ces limites, les facteurs h et kr sont inférieurs à 1; car la valeur de h est 0,66274 etr, racine de l'éq

est au dessous de 1,2. — En supposant, comme nous l'avons fait, que dans ces développements ou arrête la série de Lagrange au terme