A LA REPRESENTATION APPROXIMATIVE DES FONCTIONS
(Mémoires de l'Académio Impériale des sciences de Sfc.-Pétersliourg. Sixièrae S' Sciences mathématiques et physiques. Tome VII, 1869, p. 199 — 991.)
(Lu le 9 oelohre 1857.)
Sur les questions de mlnima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions.
§ 1 . Tant que la variable x reste dans le voisinage d'une même valeur, ou parvient à représenter, par les principes du calcul différentiel, une fonction quelconque f{x), sous une forme donnée, avec la plus grande approximation possible. Ainsi l'on trouve la représeutatiou approximative de f{x), dans le voisinage de x^^a, sous la forme d'un polynôme de degré n, en s'arrêtant dans son développement d'après la série de Taylor
/■{*)=/•(<') -t-'^rw+'-^rw-'-. • ■ .
au terme ^ ""' f"{a). On obtient de même la valeur approchée de f{x) sous la forme quelconque Z, en égalant à zéro pour a; := a la différence f{x) — Z et ses premières dérivées. — S'il ne s'agit que des valeurs de x qui avoisinent a, ces expressions de f{x) la représentent avec la plus grande précision dont elles soient susceptibles d'après leur forme. Mais cela n'a plus lieu, si la variable x n'est assujettie qu'à rester dans des limites plus ou moins étendues. Dans ce cas les recherches des valeurs approximatives de f{x) demandent des méthodes essentiellement différentes de colles dont nous venons de parler. Comme le degré de précision des valeurs approchées des fonctions se détermine par la limite de leurs erreurs, il est clair que l'on doit prendre pour la représentation de f{x) celle des expressions qui, parmi toutes les autres de même forme, s'écarte le moins de f{x) dans l'intervalle, où l'on cherche sa valeur approchée. Or les expressions approximatives des fonctions, qu'on trouve par les principes du calcul différentiel, ne satisfont jamais à cette condition; elles ne donnent la valeur de f{x) avec la plus grande précision que dans le voisinage d'une même valeur
de X, ou, ce qui revient au même, daus un iutervalle iufiuimeut resserré. Par conséquent, lorsque x varie entre les limites plus ou moins étendues, comme cela a lieu dans la pratique, on est obligé de modifier plus ou moins tes expressions approximatives de f{x) qu'on trouve d'après les méthodes ordinaires.
§ 2. Dans notre Mémoire intitulé: ti Théorie des mécanismes connus soKS le nom de parallélogrammes» nous avons traité le cas, oii l'on cherclie l'expression approximative des fonctions sous la forme d'un polynôme et nous avons donné la solution de ce problème :
Trouver les modifications qu'on doit apporter dans la valeur approchée de f{x), donnée par son développement suivant les puissances croissantes de x — a, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x^=a — h et X ^ a -h- h, h étant une valeur assez petite.
La solution de ce problème procure facilement les éléments des paraléllogrammes qui remplissent les conditions les pins avantageuses pour la précision du jeu de ce mécanisme. Mais en cherchant à résoudre les autres questions de cette espèce, nous sommes parvenu à reconnaître combien il est important d'avoir une méthode générale pour la solution des problèmes analogues à celui que nous indiquons ici, et consistant à déterminer les expressions qui, parmi toutes les antres de même forme, entre deux limites données s'écartent le moins d'une fonction quelconque f(x).
C'est de la solution de pareils problèmes que nous allons maintenant nous occuper.
§ 3. Nous commencerons par exposer un théorème général relativement à la solution de ces problèmes, qu'on peut énoncer de la manière suivante :
Etant donnée une fonction quelconque F{x) avec n paramètres arbitraires p^, P%i- • • -Pn' '"^ s'agit par un choix convenable des valeurs
Pi, P21 Pn '^^ ^cïîrfre minimum la limite de ses écarts de séro entre
x^^ — h et x^ -i-h.
Passant aux applications de ce théorème, nous montrerons comment il sert à obtenir les équations qui fournissent la solution du problème, où l'on se propose de représenter des fonctions sous la forme d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle. — En définitive, nous montrerons le parti qu'on peut tirer de la résolution de ces équations dans certains cas particuliers, résolution que l'on effectue à l'aide des méthodes analogues à celles dont on se sert dans l'Analyse de Diophanie, et qui donne naissance à plusieurs théorèmes algébriques d'un genre tout-à-fait nouveau.
§ 4. Remarquons encore que les cas particuliers, qui seront traités ici, sont très importants pour la solution de ce problème général:
Etatd donnée la valeur approchée de f{x), déduite des méthodes ordinaires, soit sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d^une fraction, trouver les changements qu'il faut faire subir aux coefficients, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre x = a — h et x^=a-i~h, h étant une valeur assez petite.
Mais nous ne nous arrêterons pas cette fois à ce problème, résolu en partie dans le Mémoire cité plus haut et dont la solution fera l'objet d'un autre Mémoire.
§5. La fonction quelconque F{x), entre les limites a;= — h et x = -^h, ne s'écartera pas de zéro plus que d'une certaine quantité i, si toutes ses valeurs depuis x=^ —h jusqu'à .x=: -t-h sont comprises eutre — i et -h i, et que parmi elles il y en ait au moins une égale à -t-i ou — L. — Supposons que cette valeur de F{x) réponde à x^=x^. Comme F (x), pour toutes les valeurs de x comprises entre x= —h, x^-t-h, ne doit pas surpasser -+- L, ni devenir inférieure à — L, il est clair que la valeur x = Xj, qui réduit F(x) àzti-, doit être ou l'une des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F{x) devient soit maximum soit minimum, ou l'une des valeurs limites de x, c.-à-d. 3;= -t-fe, x=^ — h. D'après cela, et en faisant abstraction du cas où la dérivée F[x)^oxirx^ x^ devient infinie, nous concluons que a;, doit vérifier l'une de ces équations
{x — h) {x-i-h) = 0, F'ix) = 0,
et par conséquent celle-ci
(x — h)(x-t-h)F'(x)^0, ou
{x'—h'')F'{x)=iO.
La même chose aura lieu pour toutes les valeurs de x qui, entre les limites x=: — h, x = -t-k, réduisent F{x) soit à -t- JD, soit à — L, ou, ce qui revient au même, qui vérifient l'équation
D'après cela, en désignant par
les valeurs de x dont nous venons déparier, nous concluons que les équations (1) F^{x) = L^ (x'' — h^) F'(x) = 0
auront ^j. solutions communes
X = Xj, X^y. . . .X ,
où ic,, ic,,, . . .a; sont des valeurs réelles, différentes entre elles et comprises entre x^ — h et x=:-t-h.
C'est en ayant égard à ces solutions communes des équations (1) que nous chercherons à déterminer les valeurs des paramètres p^, p^,- ■ . p de la fonction F{x), pour lesquelles la quantité L, qui désigne, comme nous l'avons vu, la limite des écarts de F{x) de 0 entre x^ — h et x^-t-h, devient la plus petite possible.
§ 6. Pour simplifier ces recherches nous laissons de côté le cas, où F{x) et ses dérivées par rapport à x, p^, Ps,- ■ ■ ■?„ cessent d'être finies et continues entre x^ — h et x^-t-h, et dans cette hypothèse nous allons établir le théorème suivant:
Théorème 1.
La guantiié L qui désigne de combien la fraction F{x) s'écarte de zéro entre x^ — h et x^ -t-h, n'est pas réduite à sa plus petite valeur, si le système des équations
dp, 1 dp^ 3
«'a pas d'autres solutions que
X, = 0, Xa = 0,.
a:,, a^j,. . . .x^ sont des valeurs de x, pour lesquelles la fonction F{x), entre x= — h et X = -^71, atteint ses valmrs extrêmes -t-L et — L;Pj,p^,. . ,p t les paramètres arbitraires de F{x).
Déuioiisfratiou.
Ce théorème découle évidemmeût des deux propositions suivantes que nous établirons d'abord;
1) Si les équations (2) ne sont possibles qu'autant que \ = 0, Xj = 0,. . . ,X^^0, on trouvera des valeurs finies ^i, N^. . . .N^ satisfaisant aux fj. équations
dF{i
2) Au moyeu des valeurs finies i^,, N^,. ■ • .-N^ qui vérifient les équations (3) on peut assigner un système de valeurs des paramètres p^ , ^i,....^„ avec lesquelles la fonction iï' (a;), depuis x=^ — A jusqu'à a; =^ -h A, n'atteint ni la limite -i- L, ni la limite — L, et par conséquent, reste comprise dans des limites plus étroites.
Démonstration de la première proposition.
§ 7. Quand il s'agit d'équations du premier degré, dont les coefficients et les termes connus ont des valeurs finies, on parvient toujours à leur résolution en quantités finies, si toutefois, en les résolvant par une des méthodes usitées, on ne tombe pas sur une équation, où toutes les inconnues disparaissent et le terme connu ne se réduit pas à zéro. Or, si cela se présentait dans la résolution des équations (3), on pourrait les combiner de manière à
où toutes les incoimues N^^ N^, N^,, .- . .N^ disparaissent et le terme
F{x,)\-,-F(x,yA,^....^F{^^)\.
ne s'annule pa^, ce qui suppose qu'on parviendrait à vérifier les
dp, 1 dp, 2 ^^ ■ • ■ dpi i^ '
sans réduire l'expression
à zéro, et par conséquent, sans faire
A, = 0, Xj = 0, . .
Donc, tant qu'on ne peut vérifier les équations (2) par des valeurs deXjjX;, . . .\, autres qne \ = 0,\^=Q,. . . ."X =^0, ou est certain de trouver des valeurs finies N^, N^,. . . .N^ satisfaisant aux équations (3), ce qu'il s'agissait de prouver.
Démonstration de la seconde proposition.
§ 8. Soit a une quantité positive, infiniment petite, iVj, N^,. . . .N^ des valeurs finies qui satisfont aux équations (3), ^^0(3;) la valeur que prend la fonction F(x) quand on change ses paramètres
Pi, P2, P„
en
Pi — ^1 "î i'a — -^a "î ■ ■ ■ -Pn — ^n "■
Comme il ne s'agit que du cas, où la fonction F(x) et ses dérivées par rapport à a;, ^j, Pa, ■ . ■ -Pn restent finies et continues pour toutes les valeurs de X comprises entre xt= — h et x^ -t-li (les seules valeurs de x que nous aurons à considérer), la fonction F^(x\ qu'on trouve en changeant dans l'expression de F(x) les quantités
Pli i'a,-- -P»
Pi — -^1 "> P2 — A^2 M, ■ - ■ .p„ — iV„ o, peut être représentée ainsi (4) P.(x) = FW-[^^iV,-H^i^.H-....-H^iV.]»H-&>,
OÙ B est une fonction de a et de x, qui ne devient pas infinie pour o ^ 0.
D'après cela il est aisé de montrer que, depuis x = — h jusqu'à x^=-t-k, la valeur numérique de F(x) reste au-dessous de L, en supposant bien entendu, que la quantité L n'est pas nulle, ou, ce qui revient au même, que la fonction F{x), entre x:= — h etx=^-i-h, n'est pas constamment égale à zéro.
Pour s'en assurer nous remarquerons que d'après la formule (4) et eu vertu des équations (3) on trouve pour x = Xy
i\ {x^) = F(Xi) — F(x,) a-i-a^B = F(x,) (1 — «) -h o^ B,
et comme F(x^) d'après (1) se réduit h ± L, valeur différente de zéro, et que w, par notre supposition, est une quantité positive infiniment petite, la valeur numérique de cette expression de F^ (a;j) est évidemment an-dessons de L.
La même chose a lieu, si l'on donne à x une valeur dont la différence avec 3;, ne surpasse pas une certaine limite finie. — Eu effet, d'après les équations (1) et (3), pour x^x^ les expressions
âpi > dp2 " ''Pn
ont la même valeur ±L, autre que zéro, et en vertu de la continuité des fonctions qui composent ces expressions, elles ne peuvent varier brusquement. D'où il suit que dans le voisinage àe x^=:Xj ces expressions auront des valeurs différentes de zéro et de même signe. Mais tant que cela a lieu, l'équation (4), où « est positif et infiniment petit, donne pour F^ (x) une valeur numériquement au-dessous de F(x\ et par conséquent au dessous de L, qui est la limite des valeurs de F{x) entre x=^ — h et x^ ~t-h.
On reconnaît semblablement que la valeur numérique de F(x) reste inférieure à X-, si a; est dans le voisinage de ces valeurs
11 reste à prouver que cela a lieu aussi pour toutes les autres valeurs
de a;, comprises entre x = — hetx= -t-h. Or, comme a;^,x^,. . . .x sont les seules valeurs de x pour lesquelles la fonction F(x), entre x^^ — h et x = -t-h, atteint ses valeurs limites — L et -+- L, et que Fo(a:) ne diffère de F(x) que par des termes infiniment petits, il est clair, que dans le cas, où a: n'est pas dans le voisinage de .t;,, ic^,. . . .a: , les fonctions .Fq (a;) et F(x) ne peuvent s'approcher ensemble infiniment près de — X- et de -i- L, et par conséquent, les valeurs de F^ (x) seront comprises dans des limites plus étroites.
Ainsi on parvient à reconnaître que, depuis x ^ — A jusqu'à x = -i~k, la fonction F^{x) qu'on trouve en changeant dans la fonction F{x) les paramètres
Pi, P2,. ■- -Pn en
ne peut atteindre ni la limite -+■ L, ni la limite — L, ce qui prouve la proposition.
§ 9. Le théorème que nous venons de donner nous servira pour trouver les équations, qui déterminent les valeurs des paramètres Pi, p^,- . ■ -p avec lesquelles la fonction F(x} s'écarte le moins de 0 entre 3:= — h et x^-*-h. Ou trouverait facilement ces équations, si l'on connaissait d'avance le nombre n, qui désigne combien de fois, depuis x = — h jusqu'à x = -t-k, la fonction F{x), avec les paramètres cherchés, atteindra ses valeurs extrêmes — i et -i-i; et l'incertitude, qui plane ordinairement sur la valeur de fji, produit la principale difficulté des présentes questions de minima. Nous allons montrer maintenant comment on peut toujours lever cette difficulté jusqu'à un certain point, et même complètement dans plusieurs cas spéciaux.
Relativement au nombre |j; il y a deux hypothèses à faire: 1) [i surpasse w, nombre des paramètres arbitraires <le F{x), 2) ji. ne surpasse pasw. Chacune de ces hypothèses, comme nous verrons plus tard, peut avoir lieu; examinons-les.
§ 10. Le nonére |j. surpasse n. Dans ce cas il n'est pas important de connaître la vraie valeur de ^ ; car, fx étant plus grand que n, la série
contiendra au moins n~t-l valeurs différentes, et alors d'après le § 5 les équations
doivent avoir au moins « -4- 1 solutions communes, ce qui entraine n -»- 1
équations entre m -i- 1 quantités inconnues, savoir: n paramètres clierchés de F(x) et la quantité L qui désigne de combien la fonction F(x) s'écartera de zéro entre les limites: x^ — h, x=^ -t-k. Par la résolution de ces équations on aura toutes ces inconnues, si toutefois on ne tombe pas sur des équations identiques, ce qui ne peut avoir lieu que dans des cas exceptionnels. Nous ne nous arrêterons pas à présent à ces cas particuliers, car ils ne se rencontrent point dans la solution des questions dont nous devrons nous occuper.
Donc, si le nombre jj: est plus grand que n, on se passera tout-à-fait des équations (2). D'ailleurs, il n'est pas difficile de remarquer que dans ce cas elles ne donnent rien ni par rapport h L, pi, p^,. . . .p^, ni par rapport à a;, , a^j, . . . .x^; car, \3. étant plus grand que n, le nombre des équations (2) est au-dessous de celui des inconnues Xj, \,. . . .X .
§ 11. Le nombre ]j. ne surpasse pas n. Dans ce cas les équations (2), par l'élimination de fjL inconnues Xj, X^,. , . .X , fournissent n — [in- 1 équations entre n -*- ^ quantités
Pi, P2, Pn^
D'autre part, en faisant dans les équations (1)
on trouve encore 2[i. équations entre p^, p^,. . . .p^, x^, x^,. . . .x et L. Donc, on aura en tout « -H fi. -H 1 équations entre le même nombre d'inconnues
Pj, Ps: Pn' ^1' ^2' %^ ^■
Par la résolution de ces équations on parviendra à déterminer et la quantité L et les paramètres cherchés^,, Ps,::P„ de la fonction F(x). Mais comme ces équations changent essentiellement avec la valeur du nombre p., et pour embrasser tous les cas possibles, on examinera séparément ces n hypothèses:
[JL^ I, 2, 3, K,
les seules possibles à cause de [i<« et jx > 0.
§ 12. Tant qu'on ne saura rien d'avance sur le nombre ii, on ne pourra connaître les paramètres cherchés de F(x), avec lesquels elle s'écarte le moins de zéro depuis x= —h jusqu'à x=-i-h, qu'en comparant entre
elles les valeurs de L, trouvées dans les différentes hypothèses sur fji, savoir: H.>« et [).:= 1, 2,....n. Remarquons que l'importance de l'exameu de divers systèmes des paramètres entrant dans F{x) et du choix de celui qui donne la solution cherchée tient à la nature de notre problème, où l'on cherche le minimum minimorum de L, ce qui exige qu'on ait les valeurs de tous les minima possibles. Mais souvent on parvient facilement à reconnaître que les équations (2), dans le cas de \, X^,. . . .X autres que 0, sont impossibles pour certaines valeurs de fj.; alors le nombre des hypothèses possibles sur la valeur de p. diminue, et par là la solution de notre problème se simplifie notablement.
Un de ces cas, à la fois le plus intéressant et le plus fréquent, est celui, où d'après la nature de la fonction F{x\ les équations (2) entraînent
tant que ij. ne surpasse pas n. Alors, suivant le théorème 1, on ne pourra réduire i à sa plus petite valeur sans faire (a > », et, comme nous venons de le voir {cas de f* > n), la quantité L et les paramètres cherchés de F{x) seront déterminés par la condition que les équations
aient au moins n -+- 1 solutions communes. Comme ces solutions sont
nous concluons, en vertu de ce que nous avons vu dans le § 5 par rapport à ces quantités, que les w -»- 1 solutions communes de nos équations seront nécessairement inégales et comprises entre x= — h eta;=H-A.
§ 13. Pour montrer le parti que l'on peut tirer de ce que nous avons établi ci-dessus, nous allons examiner spécialement ces trois valeurs de F{x):
■P(„\ P\ ^"~' -^Pi ^"^^ ■+-.... + jin— 1 x-t-Pn V
p{x) — Pi'^"~'~'-+i'2^"~'~''-^----^P«— J— i'g-'--Pn— i Y
J)„i+la:'-^J),^-I^,œ'— l-l-...,-+-ii„a;-i-l '
où Y est une fonction de x qui reste finie et continue, ainsi que ses déri-
vées, depuis x^ — A jusqu'à x=~i-h. La solution de notre problème, pour ces trois valeurs de F{x), est d'autant plus importante qu'elle se rattache évidemment à la représentation approximative des fonctions soit sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'uue fraction avec un dénominateur donné ou arbitraire.
Premier cas.
§ 14. Dans ce cas ou parvient facilement à reconnaître que les équations (2) supposent
si fx ne surpasse pas n.
En effet, la différentiation do
par rapport à ^j, ^j^, . . . •i>„i, p„ nous donne
dpi ' dpj , . ■ . ■ ^jj^^i T ^p^
En vertu de cela, les équations (2) deviennent
X, a;,"~' -I- X„ir ""' -+-... -i-l x,"~'^ = 0, \x" '^ -t-\x^""~^ -t- . . . -t~X x"~^ = 0,
et, en prenant la somme de ces équations, après les avoir multipliées respectivement par les quantités quelconques K^,, ^n-^i- ■ ■ --^i' ^oi nous obtenons
<ï>(a:) = fi:„^a;''~'-i-5:„^3:"~^*-i- -^K^x-^E^.
Or, comme 'ï*(iï) — -£'„,a:''~' -i- Z„^3;"~^ -i- -^K^x-^-K^^
peut représenter toutes les fonctions entières de degré au-dessous de n, on pourra faire
^{x)^x — x^){x—Xg). . . .(x- — x^) = x^~^ — {x^-i-Xg-+- . . .-t-xjx^~^-i- -H {aij a^g -1- . . , . -I- 3;„j X ) x^~^ . . . . ,
si II ne surpasse pa^ n, et pour cette valeur de <!• (x) l'équation précédente devient
d'où résulte
les quantités Xj, x^, x^,. . . .x étant toutes différentes entre elles. De la même manière on trouverait
en prenant
^(x)={x — x,) (x~Xs) .... (x — x^),
^{x) = {x — x^) (x — rCg) .... {x — ^^i).
De ce que nous venons de prouver par rapport aux équations (2) dans le cas de
et du § 12, ou déduit ce théorème:
Théorème %
Les quantités p^, p^,. .. .p^^, prêtant choisies de manière à ce que ta fonction
F{x) = p^x^"* -^- p^x"~^ -i- . . . --t-îi„iiC-«-j)„ — Y
s'écarte le moins possible de zéro depuis x^= — h jusqu^à x^-^-Ji, les équations
Fa(a;)£a — 0, {3? — K')F'ix) = 0
ont au moins n-t-\ solutions communes, différentes entre elles et comprises entre x= — h et x =::^ -t- k. La quantité L désigne la limite des écarts de F{x) de zéro entre x = — h et x = ~*-k.
Deuxième cas.
ÂaX"'-*' A, X""
§ 15. En cherchant à résoudre notre problème pour cette valeur de F{x), on pourra bien se borner au cas, où le dénominateur de la fraction
A^x*"-!- A^x"*—'-!- -*-A„ias-i-A^
ne s'éyanouit pas entre x = — h et a; = h- ft. En effet, d'après la nature du problème, la fraction cherchée doit être nécessairement l'une de celles qui ne cessent d'être finies depuis x^ — h jusqu' à. x^-t-h. Par conséquent, si son dénominateur
contenait des facteurs s'annulaat entre x=~'ketx^=-t-h, son numérateur
devrait être divisible par tous ces facteurs. En vertu de cela la fraction cherchée serait réductible à la forme plus simple, oii le dénominateur est la fonction A^^x^ -i- A^x^~^ -t- . . . . -t- A^^x -*- Â^, dépourvue de tousses facteurs susceptibles de s'annuler entre a; = — ft et =; -i- fe, et le numérateur une fonction de la même forme que
mais de degré inférieur à w — 1 d'autant d'unités qu'on trouve dans la
fODCtiOD
de facteurs linéaires qui s'évanouissent entre x:=—hetx=^-t-h. Ainsi notre problème sur la valeur de
p/~\ __ Pi ^"~^ -»- P2 ic""' -t- -«-gn— 1 ^-t-Pn Y
se réduit toujours au cas, où le dénominateur ne s'annule point entre les limites x^ — h et x^::= -t-h. — C'est de ce cas que nous nous occuperons maintenant.
Comme Y, par hypothèse, est une fonction qui reste finie et continue,
ainsi que ses dérivées, entre x^= — ^ et :c = -i-A, et que le dénominateur de la fraction
ne s'annule pas dans ces limites, il est clair que dans cet intervalle ni la fonction
ni ses dérivées par rapport à x, ^,, p^,- . . ■i'„,,i'„ ne cesseront d'être finies et continues. Donc, pour cette valeur de F{x) le théorème du § 6 aura lieu.
D'autre part, on reconnaît aisément qu'avec cette valeur de F{x) les équations (2), dans les cas de it.<«, supposent que
En effet, pour cette valeur de F{x) et en faisant pour atréger
At^ x^ -+- Â^ a;"""' -*-....-*- A^^ x -+- A^ =^ cp {x), on trouve
dFjx) __ a"-' dF(x) a»-' dF{xl x àE{:x) J
(ip, <p (ai) ' (ipï ç (x) ' ■ ■ ■ ' Sp„i (p (x) ' dpn f (*) '
En vertu de cela, les équations (2) deviennent
<pK) <P(X2) ■ ' ■ ■ ^(V '
~¥l^)~ çla^ ■ ■ ■ ■ ç(3,^ 1
.iï% . , v-^v-
ç(Xi)^<pW <pM
où 9 (a; J, 9 (a;^} .... 9 (3; ) sont des valeurs différentes de zéro, car la fonction
9(a;)= J(,a:*"-i- JjO;""'-!-. . . ■ -*- A^^x -\- A^
ne s'annule pas entre a; = — feeta;=-t-A, et les valeurs a;^, aij,. .. .a;^, comme nous l'avons vu (§ 6), sont comprises dans ces limites.
En multipliant les équations précédentes respectivement par les quantités
et prenant leur somme, on a
\ ■» {x^) \ <^ (ar^) V * {"y)
OÙ
En répétant les raisonnements employés dans le premier cas, on conclut que cette équation, où <p(a:J, i:^{x^,....(^{x^ sont des valeurs différentes de 0, entraîne X, = 0, X^ = 0, . . . . X =; 0, tant que [t ne surpasse pas n.
C'est pourquoi nous parvenons, comme dans le cas précédent, à ce théorème:
Théorème 3.
Les quantités p^, p^,. . . ■P„i, P^ étant choisies de manière à ce que la fonction
p/\ Pitc"~'-*-P;a:"~'-K.-..-i-f>n-ta'-'-yn y
i yjjf ^ x^-l- A x''^~'-t- ~\- A X~t-A '
depuis ic = — h jusqu'à x = -t-h, s'écarte le moins de zéro, les équations
ont au moins « -i- 1 solutions communes, différentes entre elles et comprises entre x := —h et x = -*- h. La quantité L est la limite des valeurs de F{x) entre x^ — h et x=~t-îi.
Troisième cas.
§ 16. On peut toujours supposer que la fraction
p,j:"-'-'-H PiX"~'-^-i-....-t-p„^i tX-^p„i
^Pn— i— i^-t-gn— f
est réduite à sa forme la plus simple. Dans cette supposition, et en remarquant que la fraction qui résout notre problème de minimum ne cessera d'être finie entre x=: — ft et a; = h- A, on conclut que son dénominateur restera différent de zéro entre ces limites, et dans ce cas ni la fonction
Pn-l-i-i a^' -^-Pn-l^ ai'-i ■+-... .-^- p„x-i-l
ni ses dérivées par rapport à s, ^^, p^,. . . ■P„j, p„, ne peuvent devenir infinies ou discontinues pour les valeurs de x que nous aurons à considérer. Donc, le théorème du § 6 sera applicable aussi à cette valeur de F{x).
Pour tirer de ce théorème les équations relatives kp^, p^,. . . .p„i, p„, L, nous commencerons par chercher les valeurs de
dF(x) df>) dF{x) dF{x) dp, ' dpj j . . . . ^^ ^ , ^^^ .
D'après l'expression de F{x), et en faisant pour abréger
nous trouvons
dF{x) a"-'-i àF(x) a;"-'-' dFjx) x dF(x} __ 1
#1 <?("') ' ^P% '^i^) ' ' ' ^Pn—l—\ VW '^J'n— I Ç(*)'
djPn—i-t-i" Ç*W ' <ïi>n-;-i-î'~ T^a;) '■""■iii„i^ (i)=(x)' (ïj^„ ~ ip!(4 *
Dès lors les équations (2) deviennent
n n'est pas difficile de montrer que ces équations, dans le cas de p. ^ w et X, , Xg , . . , , X autres que 0, entraînent celles-ci :
Pour le prouver, prenons la somme de ces équations après les avoir multipliées respectivement par les facteurs arbitraires
ce qui nous donne
en faisant pour abréger
D'après cette équation on trouverait
comme dans les cas précédents, si par un chois convenable des quantités
^„i,, ^u-i^ -^1' ^0. Of, C,„ Cj, C?!
dans la valeur de
^i(c) = fix)[B^i^x"~'~'-i-B^i^x*'~'~''+- -t-B.x-^B,]
—X'^(x)[Gix'-'-*-Ci^x^^'-t- -i-G^x-i- Cj
on pouvait faire
^ix)={x-x;)(x-x^). . . .(x-x^)^x^-'-ix^-t-Xs-t-. . ..•*~x^)x^-''-^-...., ^{^={x—x^{x—x^. . . .{x—xJ^a^~^—ix^-^-x^-i-. . . . -t-x^x'^~'-i- . . . ,,
^(x)=(x-x^}{x—x,) {ie-x^^)^x^'~^~{x^-i-x^'i-....-^-x^^a^~''\- . . .
D'après cela, pour prouver que les équations (2), dans le cas de tA<w et \, ^2!- • • "V ^^^^^^ 1"® ^' entraînent les équations (5), il suffit de montrer que la formule
— x<\>(x)[CiX^~' -i- Ci y~^-i- -i-C^x -t- G'j]
peut représenter toutes les valeurs de * (a;) mentionnées plus liant, si les équations (5) ne sont pas satisfaites. C'est ce que nous allons faire. Comme la fraction
Ma) ^__ Pi a"—'—' -«-jiait"— '— '-t- -+-Pn—l—i ^-^Pn—l
est irréductible, et que son dénominateur
n'est pas divisible par x, il en résulte que les fonctions tf{x) et X'\iix) sont premières entre elles et, par conséquent, qu'on peut trouver des fonctions M et JV satisfaisant à cette équation:
D'où nous tirons
= <f{x)[^{x)M—x^(x)Q] — X']>ix)[^(x)N~<p{x)Ql
Q étant une fonction quelconque. De cette expression de <ï> (x) on conclut qu'elle est représentée par la formule
<P i^) [K-i-i a^"^'"' -»- K-l-^ 3^"~'~' -+■ -H S, a; H- BJ
— x<\>{x)[GiX^~'-i-q^x'^''-i- -t-G^x~*- C,],
si toutefois le choix convenable de Q abaisse les degrés des fonctions
respectivement au-dessous de n — l, l. Or, comme nous le verrons tout à l'heure, on y parvient toujours dans le cas oii les équations
ne sont pas satisfaites, en prenant pour Q le quotient de la division (le 'î> (x)M par x -^i (x).
En effet, pour cette valeur de Q la fonction
se réduit à. R, E étant le reste de la division de 'JE* (x) M par x -^ (x), et par conséquent, elle est de degré inférieur à celui de x^ (x) ou x"^K En passant à la valeur de
nous remarquerons que les équations
<û(x)M — x^ix)N=l, <P(x)M--x'^(x)Q = M donnent
D'où résulte cette expression de Q:
et par là
*(.)W ,(.)«-*{.)» *W-a=*(«)*W-s<pW__
D'après cette valeur de
*(3;)y-9(rr)-?
on reconnaît aisément que son degré sera inférieur à ï, tant que les équations
ne seront pas satisfaites, ou, ce qui revient au même, tant que le degré de la fonction
t)j(x)=^ja!"'~'~'-i-Pjai''"'~^-i-. . . .-^P„i__iX-*-p„i
surpassera n — l — d — l,ouii — l — 2, d étant égal à w -i- 1 — i»..
Pour s'en assurer, on remarquera que dans ce cas, la fonction <-ï>(a;) étant seulement de degré ^ — 1, le terme ^^ sera de degré inférieur à [X — 1 — (jj, — l — 1} ;=: L Quant à l'autre terme de la valeur de
il est aussi de degré inférieur à l, car B, coraine nous l'avous vu, est de degré inférieur à celui de x^{x), et la fonction
ne peut pas être de degré plus élevé que l.
Ainsi nous parvenons à reconnaître que, dans le cas où les équations
ne sont pas satisfaites et où Q est le quotient do la division de * {x} M par 3}-\)(x), les expressions
sont respectivement de degrés inférieurs à « — letl, ce qu'il fallait démontrer.
De la même manière on parvient à reconnaître que, dans le cas où les équations
ne sout pas satisfaites, les degrés des fonctions
sont respectivement plus petits que » — l eil, tant qu'on prend pour Q le quotient de la division de <ï> (ce) JV" par 9 {x).
En vertu de quoi, comme nous l'avons vu, les équations (2), pour [>.<n et \, \,....\ autres que zéro, entraînent certainement ces équations
i'nW-Hl = 0- Pn-l-^. = 0, . . . .p„,^, = 0, OÙ
D'où découle, d'après le § 12, le théorème suivant:
Théorème 4.
Les quantités p^, p^,. ■ . -p^ étant choisies de manière à ce que la fonction
depuis a; = — h jusqu'à a: = -h ft, s'écarte le moins possible de zéro, le nombre des diverses solutions communes aux deux équations
et comprises entre x^ — h et x^-\-h ne peut être inférieur à n-t-l de d unités, à moins qu^on n''aii
Pi=^, P2 = ^'--- -Pd = 0' Pn-l^v = <*' Pn-l-^. = 0, . . . .p„i^^ ^ 0.
La quantité L est la limite des valeurs de F{x) entre x=: — h et
Comme chaque racine commuoe aux deux équations eutraine une relation particulière entre leurs coefficients, il est clair que par ce théorème ou obtiendra n -i- 1 — d équations entre les quantités
Pn Pi, Pn, A
que les fonctions ^ (x) — X^ (x — h^) F' {x) contiennent, et corarae on a, en même temps,
i'i = 0, i'8=0, Pa = 0,
Pn-l-^, = 0. Pn-l-^^ = 0, . . . .p„t^^ = 0,
on aura en définitive » n- d -h 1 équations entre les n-t~l quantités cherchées: p^, p^,. . . p^, L. D'où il suit que, sauf le cas de d^O, ces équations ne sauront être satisfaites à moins que les données du problème elles mêmes ne vérifient certaines conditions, ce qui nous porte à conclure que le nombre d ne cesse d'être égal à 0 que dans des cas exceptionnels, où les quantités comprises dans la fonction Y avec la valeur donnée de h vérifient certaines équations.
Abstraction faite de ces cas, on aura
et alors, suivant le théorème démontré, le nombre des diverses solutions communes aux deux équations
i?î (x) — Xî = 0, (x^ — h') F' {x) = 0
et comprises entre 3; = — h &i x=:-t-h sera au moins égal à w -f- 1 , comme cela a lieu toujours pour les deux autres valeurs de F{x) déjà considérées.
§ 17. Pour montrer l'application des théorèmes relatifs aux trois valeurs particulières de F{x) nous chercherons la solution de ces trois problèmes;
1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la forme ^"~*'/'i*"~'~'~-Pb^"~^"'~' • ■ •'^V„—i^-^Pn^ s'écarte le moins possible de sêro entre les limites x=^ — li et x^= -t-Jt?
2} Quelle est la fraction qui, parmi celles de la forme
Aq x"— '— >-i- A^ a;"-^— «-I- -1- A„i^ a^-i- A— i— i '
ayant leméme dénominateur Af^x" ^-t-A^x*^ *-<-.. .,-*-j1^j^3h-j4^__j
s'écarte le moins possible de zéro entre les limites ic = — h et x^-i~h?
3) Quelle est la fraction qui, parmi toutes les autres de la forme
entre x=^ — )i et x = -t-h s'écarte le m.oins possible d'un polynôme donné
§ 18. Tous ces problèmes ne sont, éyidemment, que des cas particuliers de ceux, dont nous nous sommes occupés dans les §§ 14, 15, 16, et d'après les trois théorèmes démontrés ci-dessus on parvient facilement aux équations qui déterminent leurs solutions. Mais, en passant à la recherche des résultats définitifs, on reconnaît tout de suite que les équations qui déterminent les quantités cherchées
Pu Pa^ Pn-V Pn
ne peuvent être résolues à l'aide des méthodes connues d'Algèbre, si ce n'est quand le nombre de ces quantités est très limité; car, ces équations étant de forme très compliquée, leur résolution, dans le cas de plusieurs inconnues, demande des calculs tout-à-fait impraticables. Donc, si l'on cherchait à résoudre nos problèmes au moyen de ces équations, on ne saurait aller au-delà d'un petit nombre de cas particuliers qui, pris isolément, ne présentent pas beaucoup d'intérêt. — Nous montrerons dans les paragraphes suivants qu'on peut donner la solution générale de nos problèmes, en les réduisant aux questions d'Analyse indéterminée.
Nous parviendrons à opérer cette réduction, en observant qu'en vertu des théorèmes démontrés plus haut la solution de ces problèmes est caractérisée par une propriété très simple dont jouit un système de deux équations, composées des fonctions cherchées, et dont l'expression analytique, comme on verra, fournit des équations indéterminées de second degré entre les polynômes cherchés contenus dans les fonctions et certains autres polynômes qui jouent le rôle d'inconnues auxiliaires. C'est à l'aide de ces équations indéterminées que nous obtenons la solution définitive de nos problèmes, solution qu'on ne pouvait trouver à l'aide des méthodes ordinaires d'Algèbre.
§ 19. La même méthode peut être avantageusement employée dans plusieurs autres cas et, entr'autres, dans les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions, soit sous la forme d'un polynôme, soit sous la forme d'une fraction quelconque, où elle donne la solution du problème mentionné dans le § 4. C'est ce que nous nous proposons de faire dans un autre Mémoire, oii l'on verra combien la solution des problèmes particuliers, que nous donnerons à présent, est importante pour les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous une forme rationnelle assignée.
Sur la foncfion qui, parmi celles de la forme
s'écarte le moins possible de zéro entre les limites x~ — hi\x = -+-k.
§ 20. Gomme la fonction
n'est que la valeur de
p^x"~' -i-p^x"^^ -i- . . . '-t-p„yi^-t-pn — T
pour le caSj où !'= — d", nous concluons, eu vertu du théorème 2, que, les coefficients
ï>l, P2, Pn-V Pn
étant choisis de manière à ce que l'expression
F(p) = x"-i-p^^x^~^-^p^x^~^-i- . . . .-^-Pn^^^X-^-p^
— 296 ~ s'écarte le moins possible de zéro entre x = — h et x = -t-h,\e5 équations
OQt au moins n-h- 1 solutioDS communes, diflFérentes entre elles. Supposons donc que
x — Xç,
soit l'une de ces solutions. Il n'est pas difficile de s'assurer qu'alorsl'expression
sera divisible par {x — rc^f. En effet, d'après la première des équations précédentes, l'expression
[x'^ — Ji^) [F^{x) — n)
s'annule pour x = ajp. De plus, comme sa première dérivée est
2{x'~lf) F{x)F'{x)-\-2x {F^{x) — I/),
elle se réduira aussi à zéro pour a; =; ic,, en vertu des mêmes équations, ce qui nous prouve que l'expression
{x' — k^) {F^{x) — U) est divisible par {x — a;^)".
La même chose a lieu par rapport aux autres solutions, communes aux équations (6), et comme le nombre de ces solutions, différentes entre elles, n'est pas au-dessous de «-*- 1, il en résulte que l'expression
est divisible par n-t-\ facteurs différents entre eux
(a; — Xof , {X — x^)\ {x — x^)\ (a; — a;^*,
et, par conséquent, par leur produit
{x — x^^ {x — a^i)^ {x — x^^. . . .{x — xj^.
Mais l'expressioii
{a?-~h^) {F^(x)~U), où
F{x)^x'*-t-pix"~^--i-PjX^~'-t-. . . ■■+-p„iX-i-p^,
n'étant que de degré 2»-i-2, le quotient de la division de. cette expression par le produit
(x — Xa)" [x — Xjf {X — xj'. . . .(x — a;^)^
ne peut être qu'une constante. Donc
Cette équation n'aura lieu, évidemment, que si a; -h A et a; — h sont au nombre des facteurs
X — Xq, x — X^, X — Xj,. . . .X — X^.
Or, si l'on suppose
X — Xfi'^X'^-h, X — x^^x — hj
cette équation, divisée par (x -t-h) {x — k) = x^ — K\ devient
en dénotant par ^ (x) la fonction entière
yC{x — Xg). . . .(x — xj.
C'est à l'aide de cette équation que nous trouverons la fonction FXx) qui, parmi celles de la forme :c"-*-^,a;"~' -i- p^x'^~^ -+• .... -*- p„iX -t- p^, a'écarte le moins possible de zéro entre x^— hetx^=-i-'k. La quantité L, comme nous le savons, détermine la plus grande valeur de cette fonction pour x comprise entre les limites x^ — h et x^-i-h.
§ 21. Pour trouver la fonction F{x) d'après l'équation (7), remarquons que celle-ci devient
[F{x) — * (x) Vx^ — hf\ \Fix) -*- # {x) Vx^ — h^~\ = L\
et par là
F{x)—^ix)Vx''—¥ = ^
D'où nous tirons
^ y^^TT^ + ^^ -
* {^) <[> (k) [F (x) -f- * (a:) Vx^ - A»] '
ce qui prouve que la fraction ^-^ est la valeur de Vx^—h^ exacte jusqu'aux termes de l'ordre ^-j^ inclusivement.
Mais ceci ne peut avoir lieu que si ^^ est l'une des fractions convergentes de Vx^ — ¥, que l'on trouve par sou développement en fraction continue. De plus, comme les fonctions F{x), <[> (x), en vertu de l'équation (7), sont nécessairement premières entre elles, et que
F(x) ^ x"^ -t- PjX"~^ ~i- p^x^~^ -t- .... -t-p„iX-i-p^,
numérateur est de degré n, et que ses parties, à un facteur constant près, sont égales à F(ic) et ^{x). On aura doue
en dénotant par -^^ celle des fractions convergentes de Vx^ — h^, dont le numérateur est de degré n. Quant à la constante Gf,, on trouvera sa valeur, en remarquant que la fonction F{x) doit être de îa forme
x^ -i- PiX"~^ -i- p^x"~^ -h- -t-Pn^i^-^-Pn-, et que, par conséquent, le
coefficient de x" doit être égal à 1 .
§ 22. D'après le développement de Vx^ — h^ en fraction continue il n'est pas difficile de trouver la série de ses fractions convergentes et, par là, celle que nous avons désignée par ^ et qui détermine les fonctions F{x) et ^{x). Mais on peut trouver directement les valeurs des fonctions P„ ^tÇ„i comme nous allons le montrer.
D'après l'identité
(3; — Vx'^ — h') {x H- yx^ — h") = h\ qu'on vérifie aisément, on a
et par là on trouve
2x-i-Vx^ — h'^ — x
2x-t-Vx^~h^-
D'où l'on voit que l'expression Vx^ — ¥ se développe en fraction continue
et que le quotient complet est égal à Vx^ — h^-h-x. Donc, en dénotant par la série des fractions convergentes de
OD a
e„ (Vx' - h' -^x)-^'(/„^'
et par là
Comme
k-' = {x-+- Vx^ — k') {x — y^^-h^) ,
cette valeur de P^ — Ç,„ Vx^ — h^ noua donne
-p«. — Qm y^^-i^= ix — y^'^^^} {P^^ — g^., Vï^^^^),
ou, ce qui revient au même,
Pm — Qm. t^^^ - h*
En faisant dans cette formule
la série d'équations:
,Vx'~h'
F^~QaV^
= x—Vx'-
, — . Vx'~V,
P, — Ç, Va^ — Aï
qui, étant multipliées entre elles, donnent
P„-fc/g3g (^ virri.).-..
P, ~ Ç, -/sîï ftï '
D'où nous concluons en remarquant que la première fraction convergente de
est égale à y, et que, par conséquent,
p^ =.x,Q^=^ 1, P, ~ (?j Vx' — h' =^x — Vx^ — h\ L'équation
^n — "^n y'^^-h'' ={x— Vx' — ft^)",
par le changement du signe de Vx^ — ¥, devient
^« -*- Qn y^^~^^ = (a; -+- y^^^^)", et dès lors nous avons
D'après cela la fonction cherchée F(x), qui est égale, comme nous l'avons vu (§ 21), à CoP„, s'exprime ainsi:
F(x) = G, fa^'^g^»^(''-/g^^" .
Cette valeur de F{x\ développée selon les puissances de x, a pour premier terme 2"""' G^^^, et F{x) devant être de la forme
x" -H^|ic"~' -\- p^^~^ -i- . . ■ --i-PiX-t-p^,
il s'ensuit que 2"^' (7^=1. D'où
et, en portant cette valeur de Cp dans l'expression précédente de F{x), nous trouvons définitivement
Telle est la valeur de la fonction F(x) qui, parmi celles do la forme 3;" ■+-^,3;''"' ~t-p^x"~^ -t- . . . .-*~p„iX-*-p„, s'écarte le moins ] de zéro entre x = — A eta;=-i-ft.
§ 23. La valeur trouvée de F{x) fournit aisément la limite des écarts de zéro de cette fonction entre x^ — h et x^-t-h, limite que nous avons désignée par L.
En effet, remarquons que l'équation (7), pour x = h, donne
F^{h) — L^ = (i, et par là
L=±Fih).
Mais, en faisant x = h dans la valeur trouvée de F(x\ on a
D'après cette valeur de L, et ea remarquant que cotre fonction F{x) est celle qui, parmi toutes les autres de la forme
x^ -+- p-^x"~^ -\- f^x^~'' -i~ .... -*-p^^y<^-^Pm
s'écarte le moins de zéro entre x = — ^ et 3; ^ -+- A, nous parvenons à ce théorème :
Tbéorème 5.
La valeur numérique de la fonction x** -*- p^x"~~^ -*-. . . .-t-p^, entre x^^ — h et = -^ h, ne peut rester inférieure « 2 (g-l .
§ 24. De ce théorème se déduisent plusieurs autres; uous en indiquerons quelques-uns.
Théorème 6.
Si la fonction f(x) est de la forme x'*-+'Pj^x"~^-+-. . . •-•-i'„, eï gue la différence entre deux valeurs f(a — h), f(a-t-h) soit inférieure à ii^j , la première dérivée de f( x) change de signe entre x^a — h et x := a -i- h.
Pour le démontrer supposons le contraire, savoir, que f (x) ne change pas de signe entre x:=a — h et x = a-i-k. Dans cette supposition, la fonction
depuis x^ — h jusqu'à x^-t-Ji, ne pourrait être que constamment croissante ou décroissante, et par conséquent, resterait comprise entre ses deux valeurs extrêmes
fla-^h)-^f{a~k)f{a-h)-na-
fia-^h)-^
D'où il suit que sa valeur numérique, depuis x:=^ — h jusqu'à
et, par conséquent.
serait inférieure à 2 /-^ ) , cette valeur, d'après l'énoncé du théorème, étant numériquement plus grande que
/(a-70-/(a + ft)
Mais comme la fonction
est de la forme
ceci ne peut avoir lieu en vertu du théorème 5, ce qui prouve le théorème énoncé.
Théorème 7.
Si la valeur mimérique de l'intcgraîe
f (:«""' -\- Âx^"' ~t- . ...-*- K}dx
est inférieure à -- I "^ -^| , on trouvera au moins une racine de Véguation œ"~' -I- A x"'^^ -^- . . . .-t- K:=0
entre x = Hf, et x = H.
Pour le prouver, nous remarquerons qu'eu faisant
n r (^"""' -+- A 3;"~* -i-. . . .-i-K) dx = f{x\ H,= a~h,
on trouve
f(a -t-Ji) — f(a — h)^n\ (x -*-Ax -\- . . . .--i-E)dx,
^ Sa
et comme, suivant le théorème, l'intégrale définie
I (x -i~ Ax -\-. . . .-h- K)dx
est numériquement inférieure à ~ f ~ °] , il en résulte que la valeur numérique de f{a-i-h) — f{a — h) est au-dessous de 4 (yj . D'où, en remarquant que
f(x) = n\ (x"""' -+- A a:""* -i- ....-*- K)dx
est une fouction de la forme
nous concluons en vertu du théorème précédent que l'équation
f'{x) = n {x"~^-f- Ax*^~^-*-. . . .~i-K) = 0
doit avoir au moins une racine comprise entre a — k=^Hf^, a-*~h = Hj ce qu'il s'agissait de prouver.
Théorème 8.
Le nombre des variations de signes dans la suite
f(x) = x" -i-Ax"~^ -t- . . . .-t-K,
change toujours, quand on passe de la substitution quelconque x = t à celle déterminée par la formule a; ^ fit 4 (/"^tf-, en prenant le radical avec le signe contraire à celui de jM.
Nous ne traiterons ici que le cas où f(t) et f (t) sont positives. Mais on reconnaîtra aisément que la même démonstration est applicable à tous les cas.
Pour prouver notre théorème dans le cas où f{t} et f'(t) sont positives, nous allons montrer que, ces valeurs étant au-dessus de zéro, au moins l'une des fonctions
m, fix)
change de signe entre ic = f — 4 y -^ et z = (. En eflFet, si les fonctions f{x), f{x) demeuraient positives entre ces deux limites, la valeur
serait positive et au-dessous de f{x}, et par conséquent, la valeur numérique de
ft')-^('-4J^2?)
resterait au-dessous de f{t), ou, ce qui revient au même, au-dessous de
5sible, car, eu vertu di
Mais cela est inadmissible, car, eu vertu du théorème 6, la valeur numérique de la différence
ne peut être inférieure à
à moins que f {x) ne change de signe dans les limites
Donc, il est certain que dans ces limites au moins l'une des fonctions f{x), f {x) cesse d'être positive.
Comme notre théorème devient évident, si f{x) change de signe entre x = t — 4l/-^', x^=^t^ nous n'avons qu'à examiner le cas où, dans ces limites, la fonction f{x) demeure positive et f [x) change de signe.
Puisque fit) est positive, il est clair que dans le cas, où f'{x) change de signe entre x = t — 4 y-^ et x = t, elle doit passer du négatif au positif. Mais ce changement de signe fera disparaître deux variations de signes dans la suite
car, par hypothèse, f{x) est positive depuis x=:t — ^j/"^^' jusqu'à 3;=^, et f"(x) ne saurait être négative, quand la fonction f(x) passe du négatif au positif, ce qui prouve notre théorème. Dans le cas particulier, où l'équation
n'a que des racines réelles, le théorème que nous venons d'établir entraîne celui-ci :
Théorème 9.
Si Véqiiation
f{x) = a;" -h- ^ a;"~' -t- . . . . -t- ff ^ 0
n'fl que des racines réelles, quelle que soit la valeur de t, on trouvera toujours Vune de ses racines entre x^t et x = t — 4 y-T^, en prenant le radical avec le signe contraire à celui de ô- .
Théorème 10.
Si V équation x' ~*~^ -t- As? ~''^ -i- . . . . -t- J x -*- K ^ Q ne contient que
si-i-i îi-i-i
des puissances impaires de x, entre les limites — 2 l/y-K', -•- 2 l/ô-^ t**^ trouvera au moins urne de ses racines.
En effet, si l'équatiou
x'^-^' -)- A x"-' -+- H- Ja; -H Z = 0
n'avait point de racines entre
la même chose aurait lieu pour celle-ci
x"'-^' -+- Ax^'-' -+-....-*- Jx—K= 0, qu'on trouve, en changeant le signe de a; dans l'équatiou
D'où, en prenant le produit de ces équations, on serait porté à conclure que dans les mêmes limites l'équation
{x^^-^' -+- A x'^-' ~t-....-^^Jxf — K' = 0
n'a pas de racines. Mais comme la fonction
x'^-^' -+- Ax"'-' -I- . . . .-i-Jx
s'annule pour x^ 0, cela suppose que sa valeur numérique, depuis
x = — 2 l/^^ jusqu'à x= -t-2'i/^K, reste au-dessous de K, ce qui est inadmist:ible, car, d'après le théorème 5, la fonction de la forme x^'^' -*-PiX'^ -i- ■ ■ ■ ■■-t-p^[^J, entre ces limites, ne peut rester numériquement au-dessous de
D'où résulte notre théorème.
Théorème H.
Si Véquation
ne contient .qu'un terme — Sq a^^ avec la puissance paire de x, et que ce terme soit de signe contraire à celui du terme connu K, on trouvera au
Sl-l-l 21-1-1
moins une de ses racines entre les limites x^ — 2 A/-^ ff, a; = -+- 2 1/ -^ ff . En remarquant que l'équation
ce''-^' -t- Ax"'-' -t- -t-Jx-i-K—K^x'^^O
par le changement de a; en — x devient
af^-^' -^ Ax"^-' -^^ . . . .-*-Jx~ K-t- K^a^'^ = 0,
et que ces équations, multipliées entre elles, donnent
(x^^-^''^Ax^'-'-t-....-t-Jxf — {K—E,x'^f^O,
nous concluons, comme dans la démonstration précédente, que cette équation n'aurait point de racines entre
si aucune
des racines
del'
'équation
-i-Jx
yX^
n'était comprise dans ces limites, et par là qiie la valeur numérique de la fonction
x'''-^'-^Ax''-'-t-....-t-Jx,
depuis a; =: — 2 l/|-E jusqu'à x^=-i-2y^K, resterait au-dessous de celle de K — K^x^*: Or cela est évidemmeut impossible, si l'expression K — Kf,x^^ s'anuule dans ces limites, la valeur numérique n'étant jamais au-dessous de zéro. — Mais cela ne peut avoir lieu non plus, si dans ces limites l'expression K — K^x^*- ne s'annule pas; car dans ce cas, ff',, et K étant de même signe, la valeur numérique de K — ^o^^* i"^ste au-dessous de celle de K, et, d'après ce que nous venons de voir dans la démonstration du théorème précédent, la fonction
3^^-^^-i-Aa^'~'-i- -HJic,
dans les limites
îi-)-i
i' = -2|/iK, ^=-.-2j/iK,
ne peut rester numériquement au-dessous de K, et, à plus forte raison, d'une valeur numériquement plus petite, ce qui prouve notre théorème.
§ 25. Les théorèmes que nous avons donnés et plusieurs autres de la même espèce ne sont pas les seuls résultats qu'on puisse tirer de la valeur de la fonction entière qui, parmi celles de la même forme, s'écarte le moins possible de zéro entre les limites données. Nous allons montrer maintenant le parti que l'on peut en tirer par rapport h, V interpolation.
Soit fix) l'expression exacte des valeurs que l'on cherche à représenter approximativement par la fonction entière
A ■+■ Bx -+- Cx^ -t-. . . .-t- ifa;"~' et
f(x,), fix,), .... fixj
les « valeurs de f{x) au moyen desquelles on détermine les coefficients A, B, C,. . . .Hde l'expression cherchée de f{x). Comme l'on trouve les coefficients
en égalant entre elles la fonction f(x) et son expression cherchée
A-t-Bx-t-Git^-i- .... -\-Hx''~\
pour x^x^, x^,. . . .x^, la différence de ces deux fonctions se réduira à zéro pour toutes ces valeurs de a;. Mais d'après cela, tant que la fonction
f(x)et SCS dérivées f'{x), f'{x), f'-'*~'^{x\ f^'*\x) ne cessent d'être finies
et continues dans les limites où sont comprises x, x^, x^,. . . .3;^, on trouve
f(x)—{A^Bx-i-Cx^-^....-t-Hx''~') = ^^^{x~-x^){x—x^)....{x—x^),
où a est une quantité moyenne entre x, x-i, x^,.... x^.
§ 26. Comme la différence
fix) — {A'i-Bx-\-Cx^-i- -t-Hx''^')
désigne l'erreur de la valeur approchée de f{x) obtenue d'après la formule
f(x) = A-i-Bx-i-Gx'-i-. . . .-i-iZic"~\
l'équation précédente nous montre que le degré de précision des valeurs de f(x), qu'on trouve d'après cette formule, ou, ce qui revient au même, d'après l'interpolation, sera plus ou moins grand selon les valeurs de l'expression
fXT^ {3; — a;J (x — x^) (x — xj.
Puisque cette expression, dans l'étendue où l'on fait l'interpolation, peut atteindre des limites plus ou moins cousidérable selon les valeurs de x^, x^,. . . .x^, il est clair que le degré de précision des valeurs, obtenues par l'interpolation, dépend non seulement de la nature de la fonction interpolée et du nombre de termes f{x^), f{x^. . . -({x^, dont on se sert pour l'interpolation, mais aussi du choix plus ou moins convenable de ces termes. Plus l'expression
fX^r^ i^ — ^i) (^—^2) ■ ■ ■ ■ (^ — ^J
s'approche de zéro dans les limites de l'interpolation, plus les valeurs
f{x,), f{x,\ .... f{xj
sont avantageuses pour la précision des résultats. Mais comme l'on ne sait rien sur l'expression exacte de la fonction interpolée f(x), et par là sur la relation entre la valeur de /" (et) et celle de x, Xj, x^,. . . .x^, il ne reste dans le choix de f{Xi), f(x^). . . -fixj qu'à chercher à diminuer autant que possible le facteur
(a; — a;,) {x — x^)....{x — xj
entre les limites d'interpolation.
Doue, sous le rapport de la précision des résultats d'interpolation, à tous les systèmes des valeurs de
fi^^), f{x,) .... fK\
on préférera celui dans lequel la fonction
entre les limites d'interpolation, s'écarte le moins de zéro, et par conséquent, d'après le § 22, on prendra
s'il s'agit d'interpoler entre les limites
x = — Ji, x^'+.'h.
§ 27. La formule que nous venons d'obtenir nous montre, que les valeurs qu'on doit prendre pour aij, x^,. . . .x^, dans l'interpolation entre les limites x = ~h ^i x= -i-h, sont les n racines de cette équation ;
(a: -*. Vù-fi — /ja)"-i-(3: - Vx^ — h^)» „
Or, si l'on fait
x:=h cos<p, cette équation devient
ces («9) = 0.
D'où il suit
k étant un nombre entier quelconque.
Donc, les n racines de l'équation
et, par conséquent, les valeurs ie x^, x^,. . . .x^ dont nous venons de parler s'expriment ainsi:
(9) ^c'^^S' fecos|^,....Acos'^"~''".
L'avantage de ces valeurs de x^, x^,. . . .x^ sur celles équidistantes
qu'on emploie ordiiiaironiont dans l'interpolation, se manifeste très clairement. Eu effet, d'après lu § 23, dans le cas où
(X-..) ix-..) .... (.-x.) = ^->''^'''';<-'^-"^'-,
le produit
{3; — xj {x — x^) . . . . (x — x^\
depuis x:= — k jusqu'à x=: -t-h, n'atteint que le douUc de ( -^ j , tandis que daus le cas de x^, x^,. . . .x^ équidistantes
