X-y T^=n^ ^a ^ . ft, x^ = -— -f

ou trouve que le produit

i limites 3; = — /t, œ = -1- A, ne reste pas inférieur au triple de [yj . Par exemple, pour

on trouve qu'avec ces valeurs de a^j, ^r^, . . . .a:^ le produit

daus les limites x = — h, x = -*-'h, atteint les valeurs suivantes:

De plus, en cherchant le maximum maximormn de cette fonction entre x = ~h, x^^-t-Ji, dans le cas de n grand, on trouve pour sa valeur asymptotique l'expression

où le facteur de (-^\ tend évidemment vers 00, à mesure que le nombre n augmente.

§ 28. Comme la valeur de /"'"' (a), dans l'expression de l'erreur d'interpolation

reste inconnue, on ne peut se représenter nettement combien ou diminue

son maximum maximorum, entre x^ — h et x = -i-h, en remplaçant les valeurs équidistantes a:,, aSj,,. . . .a;„ par celles déterminées par les expressions (9). Mais il est facile de s'assurer que, outre le cas exceptionnel, où /■'"'{O) = 0, le rapport de maximum maximorum de l'expression

et de son facteur

{x — x^) (x — x^) . . . . (x — xj,

qu'on trouve entre x = — h et x=-t~h, en prenant les deux systèmes des valeurs de x^, x^,. . . .x^ dont nous avons parlé, tendent vers la même limite, à mesure que h s'approche de zéro.

En effet, soient E, M les plus grandes valeurs des expressions

(x — Xj) {x — x^) . . . . Ix — x^),

dans le cas oà Xj, x^,. . . .x^ sont déterminées par (9), et oîi x reste entre les limites — h et -t-h. Comme le rapport

sera compris entre la plus graude et la plus petite des valeurs que peut avoir l'expression

depuis x^ — ft jusqu'à x:=:-i-h, et que a est une quantité restant dans les mêmes limites que x, x^, x^,. . . .x^, qui sont dans le cas actuel — h et -H h, nous trouvons

en désignant par û une valeur comprise entre — 1 et -i- 1 . De la même manière nous obtenons

eu désignant par E\ M' les plus grandes valeurs des expressions

j ^ ^^ (x — (Tj) (x — x^) . . . . (x — xJ, (x — x^)(x — x^ .... (x — xJ,

qu'on trouve entre x = — h et x = -*-1i, en prenant Xj, x^,. . . .x^ équidistantes, et en désignant par û^ une quantité comprise entre — 1 et -i- I . Or, en divisant l'une par l'autre les valeurs de

E . M /W (0 ft)

ce qui prouve que le rapport des valeurs

tend vers l'unité, quand A s'approche de zéro et que f^"^{ôîi), ('■"HOyh), pour A ^ 0, ne s'annulent pas, ce qu'il s'agissait de montrer.

Nous avons vu que le rapport ^ reste inférieur à y . Donc, en vertu de ce que nous avons prouvé, il est certain que le rapport ^, outre le cas exceptionnel /''"*(0) = 0, sera nécessairement au-dessous de 1, tant que ft sera assez petit.

Sur la fraction qui, parmi toutes celles de la forme

et avec le même dénominateur ^oiï''~'*"'-4-.^ia;"~'~'H- — -i-^„;i, s'écarte le moins possible de zéro entre les limites x = — h %\ x ~ -^h.

§ 29. La fraction dont il s'agit peut être mise évidemment sous la forme

et comme cette expression n'est qu'un cas particulier de celle-ci:

j), a:»~' -H ffi x"~ii -I- -t- j)n y

Aa ^"^ ■*- ^1 x^-^ -^-....-t-Am ^'

que nous avons traitée dans le g 15, nous concluons du théorème 3, que la fraction cherchée

x" + «'x»— 1 -i-...,-»-pt»— lixH-pW

que nous dénoterons pour abréger par F{x), doit jouir de cette propriété:

Dans les équations

on trouve au moins n-t-1 solutions communes, différentes entre elles et comprises dans les limites x = — Ji, x^-t-h.

Conformément à ce que nous avons dit dans le § 15, nous supposons que le dénominateur

AgX''~'~' -t- A^x^'''"" -t- .... --i-^„,,

ne s'annule pas entre x^ — h et x^-i-h.

§ 30. En faisant pour abréger

x"-^px"~'-i- .... -Hj?*"~''a;--4-jo'"'= U,

Aax'*~'~' -t- A^x"~^^ -i- .... -*~A^i^ = v,

nous trouvons

et par là les équations

F^(x)~L^ = 0, (x^ — h^) F'ix) = 0

se réduisent à celles-ci:

du dv

D'après cela on reconnaît aisément que, x =^ x^^ étant une solution commune des é(iuations

cette valeur de x vérifie aussi les deux équations suivantes:

{x^ — h^)(U^~LH'') = 0,

d(x^~h-')[m-L'vi)

En effet, la première de ces équations est une conséquence immédiate de celle-ci:

Quant à !a seconde, elle se réduit à la forme

2rr(!7»-i''t.'') + 2{x=-»)(p^-i't.|)=0, OÙ, en vertu de l'équation

pour x^Xf,, le premier terme s'évanouit, et le second, par la substitution de — à la place de Vv, devient

'^~~^ Y dx ^ dxp

ce qui sera 0 d'après l'équation

dont a; = fl7„ est une racine.

Mais tant que x= x^ vérifie les deux équations

la fonction

t pour facteur {x — x^^.

De ce que nous venons de montrer par rapport à la solutiou commune aux deux équations

il résulte que la propriété de la fraction cherchée — = F{x\ énoncée plus haut, suppose que la fonction

est divisible par les « -i- 1 facteurs

[x — x^^, {x — x^f, {x — x^^, . . . . [x — xj^,

oùx^, x-^^ x^,. . . .x^ sont des valeurs inégales et comprises entre x^ — Ti et ai == H- A. D'où il suit que cette fonction est divisible par le produit

et que ce diriseur n'a point de facteurs communs avec v; car la fonctiou î?, par la supposition, ne s'annule pas entre »:= — h et ^-t-h, et ^01 ^1! ^2- ■ • -^n sont comprises dans ces limites.

Mais comme 'les fonctions U et v sont respectivement de degrés n et n — l — 1, le degré de (a;^ — h^) (U^ — L^v^} ne peut surpasser celui du produit

{x — x^f {x — Xjf (x — x^y'....(x — xj^

et par là le quotieut de la division de

par

(x — Xaf {x — x^f i:i~x^Y {x — \Y

ne peut être qu'une quantité constante. Donc on aura (x'^—¥) (U^^L^v^)=Co(x — xJ^(x — x^f{x — x^Y ■ ■ • ■ {^ — %f- Cette équation suppose que deux des facteurs

X — Xf„ X — Oïj, X — X^j .... X — x^

sont respectivement égaux à

x-t-Ji, X — h.

Or si l'on fait

X Xg^ X-h-kj X Xj^ = X — h,

cette équation devient

U'—L^v'' = C,ix-t-îi){x~h)ix — x^f {x~xj\

et par là

ou

en faisant pour abréger

y Q; (x—x^) . . . .(x — xJ=W.

§ 31. C'est d'après l'équation

lP—W\x''-^k^) = L^v^

que nous chercherODS la fonction P, désignant, comme nous l'avons vu, lo numérateur de la fraction

qui, parmi toutes les autres de même forme, s'écarte le moins de zéro, depuis x^= — h jusqu'à x^-t-h. Nous supposerous qu'après la décomposition de la fonction

V =: Ai;,x'*^^'~^ -i~ A^x"~'~^ -t- .... -+-Â^,^

en facteurs linéaires on trouve

où «j, ffij,. . . . sont des valeurs différentes entre elles. Comme la fonction v, par la supposition, ne s'évanouit pas entre x^ — h et x^ ~t-h, les quantités a^, o^,. , . . ne peuvent avoir d'autres valeurs réelles, que celles qui ne sont pas comprises dans les limites x = — h, x = -t-h. D'autre part, puisque la fonction v est de degré n — l — 1 , et que v est égale à Al, {x — ocj' {x — txj' ..... on aura

Enfin, comme

(x' — h^) W=y~GQ{x~Xg) (x — Xj) (x—x^) .... (x—x^),

et que x„, x^, x^,....x^ sont des valeurs comprises entre x^ — h et x=-i-'k, la fonction (x^ — A^)TF ne pourra s'annuler pour a; = aj, «j, . . . .

§ 32. En passant à la détermination de U d'après l'équation

V^—W^ix'' — h^) = Pv\

nous commencerons par chercher toutes les solutions de l'équation

^^—^^(a^ — A^) = (7Wiî,3,

où (x^ — h^} Y ne s'annule pas pour a; =^ a^, «g, . . . . , la fonction v étant i en i'acteurs linéaires de la manière suivante :

v = Ao {x — kJ' ip — a-J^ ....

Pour y parvenir convenons de désigner par Ej, e^- . . . l'unité prise avec l'un de deux signes rt , par P la partie rationnelle de l'expression

(K;^-^'.)/^ (1/.-;=^;~-sV;;t») ■•■■ OU, ce qui revient au même, de celle-ci:

et par Q Vx^ — h^ sa partie affectée du facteur irrationnel Vx^ — ¥. D'après cela on trouve

et ces formules, multipliées entre elles, nous donnent

=(ïA'r(^'r--(--»j"' (--«.)""•■■•

D'où, en remarquant que le produit

{x — ctjf' {x — a^f' ....

est égal à v^, à un facteur constant près, nous concluons que les fonctions P et Q ainsi déterminées yériâent cette équation

De plus, on reconnaît aisément que les fonctions P et Ç V^âTT^ ne s'annulent pas pour a; = a, ,«,,...,, et que leur rapport ■ — ^ pour ces valeurs de x, se réduit respectivement à S|, s^

Pour le mettre en évidence, remarquons que x=^a^ réduit à zéro ou l'expression

ou l'expression

selon que e^ =: -h 1 ou Sj = — ■ 1, et que pour cette valeur de x, aucune des expressions

•tf (c — h -,/ x-t~h -%/ x — h -t/m-k-h

i/ïEï,y^, i/ï^eyïï|,....

ne peut s'annuler, les quantités a^, a^, «g,. . . . étant inégales entre elles. D'après cela, les formules (12) pour x = a.^ donnent ou