X-i- Y fR^^ -t- Z fM

se réduira au seul terme X; et comme le moindre degré de X est 0 et ce degré correspond à la réduction de cette expression aune quantité constante, le problème considéré, pour toutes les valeurs indiquées de N, aura pour solution

(p (fR) = X -H r fB^-^ Z fn^^= G.

Pour les valeurs de JV" qui, n'étant inférieures au degré de "l/'Ti^^iîg^, sont inférieures au degré de VR^R^ ou, au contraire, n'étant inférieures au degré de yR^R^^ sont inférieures à celui de i^R^R^^ l'expression

(^{fR) = X'^YfR^-^ZyBfB^

considérée dans notre problème n'aura que les deux termes : ou

X^YfR^\ ou

x-i-z P'WIL,

suivant que le nombre N sera inférieur au degré de la fonction VB^^ R^ ou à celui de la fonction VR^K^. Dans l'un et l'autre cas, comme il est aisé à voir, notre problème se résout à l'aide de fractions continues; sans nous arrêter à ces cas particuliers, nous nous occuperons maintenant de la résolution générale de notre problème dans l'Iiypotlièse où la fonction

peut contenir tous les trois termes.

§ 8. Comme l'expression

et chacun de ses termes ne changent pas leurs degrés après la multiplication des trois polynômes X, Y, Z par une quantité constante, nous ferons abstraction de facteurs constants communs à tous ces polynômes et compterons pour une solution toutes celles qui ne diffèrent que par de tels facteurs. Cela posé, nous allons maintenant montrer que pour chaque valeur donnée de N notre problème n'aura qu'une seule solution. Pour ie démontrer supposons le contraire et soient

les deux solutions de notre problème, m le degré de l'expression

Zh- y f\ E./ -+- Z i^n^^,

réduit an minimum pour ces polynômes, K et li' les coefficients respectifs de a;™. Nos solutions étant supposées différentes, les rapports y,, y^, j^, ne peuvent se réduire à une quantité constante et, par conséquent, les trois différences:

ne peuvent disparaître à la fois. En prenant ces différences pour les valeurs des polynômes X, Y, Z dans l'expression