X -I- r i^B^^ -I- ZfR

au dessous de m, tout en laissant ses termes, coufonnement aux conditions du problème, de degré ne dépassant N; car il est clair que la limite de ces degrés sera la même pour les deux solutions de notre problème

comme pour les polynômes X, J, Z déterminés par les formules

Après s'être convaincu que pour chaque valeur donnée de li notre problème n'a qu'une solution, nous passons maintenant à l'étude de la relation, qui existe entre ses solutions pour les diverses valeurs de i\^.

Nous avons vu que pour toutes valeurs de JN*", inférieures au degré de 'Pu^Ti^ et à celui de VUl^IL^^ notre problème a la solution suivante:

tp (f 7?j = z-i- Yfn^n^^zfn^K, = c,

ou en supprimant, conformément à la remarque précédente, le facteur constant C,

tp [fE) = 1 .

Donc en désignant par n^ le plus petit des degrés des fonctions VR-^R^, i^R ^ -B, , nous aurons pour toutes les valeurs de N, depuis N^= 0 jusqu'à JV=H(i exclusivement.

En passant aux plus grandes valeurs de N, désignous par % {fBj = X„ -I- r, flitit' H- Z, fj»,'B„ ,pj (fB) = X, -1- r, fBJt} -+- Z, flt^'B,,

<Pp (tiî) = Xp H- r, fWjc} -H z, fïjp;,

la suite de diverses valeurs de la fonction

obtenues en résolvant notre problème quand on prend pour N successivement

H(^ , ng -I- 1 , n,) -I- 2 , . . . .

Comme le même système des polynômes X, T, Z et, par suite, la même valeur de la fonction 9 (^-S) peut se présenter dans les diverses hypothèses concernant le nombre i\^, nous supposerons pour plus de généralité que

correspond aux valeurs de i\'" depuis N=nf, jusqn'à N = n^ exclusivement, que

o (f-ïï) = cp, (fB)

correspond aux valeurs de .V depuis N=:n^ jusqu'à N=n^ exclusivement, etc., en général que

représente la solution du problème depuis N= n jusqu'à N=^n exclusivement.

§ 9. En abordant l'étude de la suite des fonctions

que l'on obtient, comme nous venons de voir, en résolvant notre problème ponr les diverses valeurs de A', nous allons considérer en premier lieu comment on détermine les solutions de notre problème. En désignant les degrés des fonctions i^R^R^, 'fR^B^ par X, V, et remarquant que, d'après les conditions du problème, les degrés des termes de l'e

ij{\^B) = X^7fB^R^^-i-ZyB^^R^

ne doivent dépasser N, nous en concluons que les polynômes X, Y, ^doivent être de la forme suivante:

Z=P^x''-^''+-P^x''-^'-^-^- -t-Px-k-^-^PN-i'+u

OÙ

i,, 4, Av, Ly+i,

M„ M^, ilf^„ J/:v,,+i,

sont des coefficients constants au nombre 3N — X — X'-i-3. En substituant ces expressions des polynômes X, Y, Z dans la formule

9 (fli) = X-i-Yfn^^-i-Z-^B^^

et remplaçant les radicaux

par leurs développements suivant les puissances descendantes de x, nous trouverons pour !a fonction 9 (l/iî) un développement de la forme suivante:

Z, x^ -i~ E^ x''-^ -^- -+- K^,^ x'"+^ -i- 7ir^.^+i x'"-i- ,

oii les coefficients

sont des fonctions connues, linéaires par rapport aux 3^ — >. — X'-+-3 coefficients des polynômes X, Y, Z. En passant au cas où les polynômes considérés présentent la solution de noire problème et désignant par m le degré jusqu'au quel peut s'abaisser le degré de l'expression cp (vR) par ces polynômes, nous voyous que dans ce cas ies polynômes X, T, Z doivent satisfaire aux équations

K^ = 0, K,^0, Ky„, =. 0, K^^^+y = C,

où C est une quantité différente de 0 (elle sera calculée à l'aide des coefficients des polynômes X, Y, Z dans la solution considérée de notre problème). On voit de là que les équations

K^ = 0, K,= 0, K^^ = 0, /"Cv™+i = C,

ne peuvent se trouver incompatibles lorsqu'on les résout par rapport au quantités

D'autre part, il est facile à voir que ces équations ne peuvent avoir plus d'uue seule solution. En effet en admettant le contraire et supposant que

représentent les deux systèmes des polynômes X, Y, Z dont les coefficients vérifient ces équations, nous en déduirons que l'expression

<p (f 7?) = X H- r fR, ïl^ -H Z fË^^, pour

se réduisant à la différence

x-i- r fn^-t-z' -i^i\^ B, — (x" H- Y" fu, Ji/-t- z"fM^l

sera de degré inférieur à m, ce qui est contraire à l'hypothèse que m est la limite inférieure du degré de l'expression X -+- T Vli^Ii^ -\- Z \^ U^' R,^ dans notre cas.

En vertu de ce qu'on vient de voir, nous concluons que les équations

K^ = 0, K., = i), K^,,„ = 0, iir„,,„^i = G,

ne peuvent se trouver ui iiicojinMtibles, ni indéterminées, lorsqu'on les résout par rapport aux quantités

At A'- ■ ■ ■ Av+iî

M„ if„ M,.,^i,

et cela suppose, comme on le sait, que le nombre d'équations n'ost pas inférieur à celui des quantités inconnues; donc:

iV - Hi -I- 1 > 3 iV — X — X' -4- 3 ,

ce qui donne

m< — (2iV—X— X'-i-2).

Cette formule est déduite dans l'hypothèse de N non inférieur aux nombres A et V, degrés des fonctions VB^B^ et VR^R^; dans le cas contraire, l'expression

ne peut contenir tous les trois termes; mais il n'est pas difficile à montrer que même dans ce cas la formule

peut servir à déterminer la limite du degré de ç {VM).

En effet, si JV"<X' et ^X la fonction sera, d'après le §7, de la forme