X -+• Bx -I- .... H

depms x^ — h jusqu'à x^-t-h^ ne peut rester numériquement au dessous de

où l'on prend leradical avec le signe contraire à celui de la quantité B-i--~'h\ D'après ces théorèmes on démontre plusieurs propositions très simples

par rapport à la résolution des équations. En voici quelques unes: SiVé

x''-^' -i- Ax^~^' -t. -t-Ix~i-K=0

ne contient que des puissances impaires de x, on trouvera, entre les limites

■il-t-l 21+1

(tu moisis Vwne de ses racines.

Si l'équation

n'a qite des racines réelles, quelle que soit la valeur l, &n trouvera toujours au moins l'une de ses racines entre

en prenant le radical avec le signe contraire à celui de ^. Si la valeur numérique de l'intégrale

{x -i- Ax -^-Bx -^. . . .~\--K)dx

est inférieure à ; (- — r — °\ , on trouvera au, inoins une racine de

V équation

ai" -\- Ax^~^ -+- Bx'^"^ -t-, . . . -I- £■ = 0.

entre x = îlet x = Hf,.

On trouvera toujours au moins une racine de l'équation

x'^-^' -^ An?'^ -t- Bx'''—' -i- Gx"'~' -i- -+'Hx^-i-Ix-i-K=0

entre les limites

^ = - 2 /p [i ^ j yji'Y^';

où [JL est le nomire des racines imaginaires de l'équation

^3;'^-+-ac^-*-i- -^Hx^'^K:=^0,

et p la limite inférieure de leurs modules. Si Véquation

x^-^'^Ax'^-'-t- ±K^x}^'-+- -i-Ix±K = Q

ne contient qu'un terme K^x^*-' avec la puissance paire de x et que son expo-

sant 2\ ne surpasse pas "X, cette équation a au moins une racine comprise entre les limites

Outre ces théorèmes et certains autres de la même espèce, nous montrons le parti que l'on peut tirer de nos recherches par rapport à VinterpO' lation.

28 septembre 1857,

Sur l'interpolation des valeurs fournies par les observations.

18 (30) MAEs 1858.

(Bull. pîiy3.-mat]iém,, T. XVI, p. 363—358).

Si le nombre des valeurs interpolées surpasse celui des termes que l'ou conserve dans leur expression, l'interpolation peut être exécutée par diverses méthodes. Mais ces méthodes, dans chaque cas particulier, sont loin d'être également bonnes; elles différent entre elles, soit par la prolixité plus ou moins grande des calculs, soit par la grandeur de l'erreur moyenne à craindre, tant qu'il s'agit d'interpolation des valeurs fournies par les observations, et conséquemment affectées d'erreurs. Comme on ne peut gagner au delà d'une certaine limite, sous un de ces rapports, sans perdre sous l'autre, il est impossible de donner une méthode d'interpolation qui soit en général préférable à toutes les autres; car, suivant le cas, on tient plus ou à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats. C'est ainsi que le chois de la méthode d'interpolation dépend du nombre des valeurs à interpoler. Si ce nombre est assez petit, les données d'interpolation n'offrent que bien peu de ressources pour atténuer l'influence de leurs eireurs sur celle du résultat cherché, et alors il est important d'en tirer tout le parti possible pour diminuer l'erreur moyenne à craindre, ce qu'on ne peut faire qu'à l'aide de la méthode des moindres carrés. Dans le cas contraire, le nombre considérable des données qu'on a à sa disposition, nous dispense de recourir à la méthode des moindres carrés qui exige des calculs trop longs. Dans ce cas, à la simplification des opérations numériques, on peut bien sacrifier une partie plus on moins considérable de ce que les valeurs interpolées offrent pour apprécier le résultat cherché. Dans le Mémoire swr les fractions contimies, présenté à l'Académie en 1854, nous avons traité l'interpolation d'après la méthode des moindres carrés, et nous sommes parvenu à une série qui doune directement les résultats d'une telle interpolation, indispensable, comme nous venons de le voir, si le nombre des va-

leurs à ioterpoler est assez petit. Dans le présent Mémoire nous montrons comment, d'après nos méthodes, on parvient à d'autres formules d'intei-polation qui peuvent remplacer avec avantage celle dont nous venons de parler, tant que son application, à cause du grand nombre des valeurs interpolées, d'une part, cesse d'être importante, et de l'autre, devient peu praticable.

Nous ne traitons pas les différents cas particuliers que peut présenter l'interpolation suivant le uombre, plus ou moins grand, des valeurs interpolées; nous nous bornons à considérer celui qui est la limite de tous les autres, oîi le nombre des valeurs interpolées est infini. Quoique, en réalité, ce nombre ne soit jamais infini, les formules qu'on trouve dans cette supposition, peuvent être cependant d'une application utile; car elles présentent la limite vers laquelle convergent très rapidement les résultats d'interpolation, à mesure que ce nombre augmente, et il ne sera pas difficile devoir, dans chaque particulier, de quel degré d'approximation ces formules sont susceptibles d'après les valeurs interpolées.

Ainsi, entre autres formules, nous parvenons à celle-ci:

/■(X)^!^^;)^^-.- \f(x)dx-\f{x)dx J-H \f(x)dx-\f(x)dx^lfix)dx j-^^^—

-H \f{x)dx~\fix)dx^\fix)dx~\ f{x)dx p:^i^

72 "Ta

-/5-I-1 ya-i ys— 1 ys-t-i

->- \f{x) dx - \f{x) dx->- \f{x) dx- \f(x) dx + \f{x) dx p?-::i-^^i^!±ii'

J.^f{x)dx-\{ix)i:i^\f(x)ix^\t{x)dx^\f{x)ix~{f(x) rfil !" ^' ^ "*;/'"-■ °' ^

Bion que cette formule contienne des intégrales, pour évaluer ses termes avec une approximation suffisante et au delà de celle que les erreurs des données elles mêmes comportent, on n'a besoin ordinairement que d'un nombre très limité de valeurs de /"(a;) entre x = — a et x^-\-a. Mais

tant qu'on a uu nombre suffisant de valeurs de f(x), cette formule peut être avautageusement employée pour l'interpolation; car ici, d'une part, les opérations numériques, eu égard à la complication du problème, sont assez courtes, et de l'autre, l'influence des erreurs des valeurs interpolées sur celles du résultat chercbé est notablemeut atténuée.

Pour s'en assurer remarquons que toute la difficulté de l'interpolation, d'après cette formule, se réduit à l'évaluation des intégrales

{f{x)dx, [f{x)dx, Uix]

■) dx^ etc.

d'après les valeurs connues de f{x). Or, quoique le nombre des différentes opérations arithmétiques que cela exige croisse à l'infini avec celui des valeurs interpolées de f{x), ces deux nombres ne sont que du même ordre de grandeur, tandis que dans la 'méthode des moindres carrés le premier est d'un ordre supérieur relativement au second. D'autre part, la composition ■de cette formule montre que l'erreur moyenne du résultat, provenant de celles des valeurs interpolées, est en général du même ordre de grandeur que l'unité divisée par la racine carrée de leur nombre, comme cela a lieu dans la méthode des momdres carrés.

Quant à la détermination des intégrales

f(x)dx, \f{x)dx, f{x)dx,

etc.

qui entrent dans notre formule, elles peuvent être évaluées d'après les valeurs connues de f{x)^ avec une approximation plus ou moins grande. Mais si ces valeurs sont assez rapprochées, on pourra souvent, dans leur évaluation approximative, se contenter de cette formule très simple:

^■■■■--(\- \,) f (^„,) -t-CiH-x^- rc^,) f(x^)] . où

f(x,), f{x,),. . . . f{i,), /-(a;,^,),. . . . «a^^J, f(x^,), fix^)

étant les valeurs connues de f{x), et

celles de a;, comprises entre a;:::^^ et x=H. — L'erreur de cette expression de l'intégrale I f{x) dx, comme il est aisé de le reconnaître, sera toujours inférieure à