OCTOBRE

(Bull. phy3.-mathém., T. XVI, p. 145—149).

Dans le Mémoire intitulé : Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes (Mémoires des savants étrangers, Tom. VII), nous avons traité la représentation approximative des fonctions sous la forme d'un polynôme, et nous sommes parvenus à la solution de ce problème :

Déterminer les modifications qu^on doit porter dam la valeur approchée de f(x) donnée par son développement suivant les pmssances croissantes de X — a, quand on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs entre X = a — h et X = a ~-i-h, h êta/nt une valeur pm considérahle.

Dans le présent Mémoire nous donnons le théorème général relatif à la solution des problèmes de cette espèce, problèmes qui peuvent être énoncés ainsi :

Éto/nt donnée une fonction quelconque avec des paramètres arbitraires

Pf, p^, p^; il s^agit par un choix convenable des valeurs p^, p^, p„,

de réduire au minimum la limite de ses écarts de 0 entre x = — h et x = -i-h.

D'après ce théorème on reconnaît aisément que dans les recherches des valeurs approximatives des fonctions, soit sous la forme d'un polynôme

1*1 ^"~' '+'%*''"* -i~. . . . -+■ Pn i^-*-p„, soit sous la forme d'une fraction

avec un dénominateur donné, les quantités Pi, p^, ■ ■ • ■ Pn se déterminent par la condition que, dans l'étendue où l'on cherche à réduire au minimum la plus grande des erreurs, l'erreur atteint au moins n-t-1 fois sa valeur limitative.

Tel était notre point de départ dans le Mémoire cité plus haut, Mémoire, où, comme il vient d'être dit, nous avons traité la représentation des fonctions sous la forme d'un polynôme. Mais le même théorème montre que cette condition s'altère dans le cas, où l'on cherche la représentation des fonctions sous la forme d'une fraction, ayant ses deux termes arbitraires, et qu'alors la condition dont il s'agit doit être rempiacée par la suivante:

p„-t-^.,<^'-i-Pn— 1-1-2 ^'~'-^- ---i-PnX-i-l'

est la fraction qui, depuis a; = — k jusqu'à x^-t-h, s'' écarte de la fonction donnée Y moins que toutes les autres fractions de la même forme, le nombre des valeurs réelles et inégales de x, pour lesquelles la différence

Pn—t+\X''-t-Pn-î-i-i'' ^-t--.--t-p„x-t-\

entre x = — li et x:=-t-h atteint ses vcdeurs limitatives -+- L et — L, ne peut être inférieur à n -i-l de d unités, à moins qu'on n'ait

;), = 0, iJ2 = 0, Pi = 0,

Pn-i-^^ = 0, 2J^,^^ = 0, . . . . P„^i^a = 0.

Dans cet énoncé on fait abstraction du cas, où la fonction Y et ses dérivées, pour des valeurs de a; comprises entre 3;=: — h et x= -i-h, cessent d'être finies et continues, et on suppose que la fraction

'~" -<-■■■■-*- Pn-l

Pn—l-,-1

est réduite à la forme la plus simple,

En passant ans applications, nous cherchons la solution de ces problèmes:

1) Quelle est la fonction entière qui, parmi toutes celles de la forme

x" -f-p^x"~^ -t-p^x"~^ -t- . . .-+-i?„,ic-t-iî„

s'écarte le moins possible de 0 entre les limites x = — h et x--=-i-h?

2) Quelle est la fraction qui, parmi toutes celles de la forme

et avec le même dénominateur

s'écarte le moins de zéro entre x^^ — A et x^-i-h7

3) Quelle t

t la fraction qui, parmi toutes celles de la forme

i-i>Wx

entre x= — h ^i x^-t-h, s'écarte le moins possible d'un polynôme donné

Malgré toute la complicité des équations qui déterminent les coefficients inconnus p^, p^-, ■ ■ ■ ■ p„, p , f" , ' . ■ ■ ij'"^'', nous parvenons à la solution définitive de nos problèmes, en les réduisant à des questions de V Analyse indéterminée. La même méthode peut être avantageusement employée dans plusieurs autres cas et entr'autres, dans les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous la forme rationnelle, où cette méthode fournit la solution de ce problème:

Étant d<mnée la valeur approchée de f{x), que Von trouve à l'aide des méthodes ordinaires, soit sous la forme d'um polynôme, soit sous la forme d'uMe fraction, trouver les modifications que Von doit faire subir aux coefficients de ces expressions de fix), quand on cherche à réduire au minimum la limite de leurs erreurs entre x = a — h et x = a-t-h, % étant wae valeur assez petite.

C'est ce que nous nous proposons de faire dans un autre Mémoire, où l'on verra combien la solution des problèmes particuliers, que nous donnons à présent, est importante pour les recherches générales sur la représentation approximative des fonctions sous la forme rationnelle. Pour cette fois nous nous bornons à montrer le parti qu'on peut tirer de notre méthode en ce qui concerne les propriétés des fonctions entières et fractionnaires. Ainsi nous parvenons à établir des théorèmes d'une espèce tout-à-fait nouvelle, tels que:

Tliéorùme,

La valeur numérique de la fonction

x"^^ -+- Ax"~'~^ -+- 5ic"""'~* -h- . . . . entre x = — h et x= -\-h, ne peut reste*' inférieure à 2 ( y j .

TlicorèHi«.

Dans les limites x^—1i et x^ -\-h oà la fraction it''-t-ff'a;"~'-i- -i-p("— ') a-4-pW

A a;»—'*— 1^1- À -c** — l — g I -I- jl I X'-t- 1

~ 708 — ne devient -^, sa valeur numérique ne peut rester au dessaus de

[j. étcmt le nombre des racines imaginaires de l'équation et f) la limite inférieure de leurs modules.

Tiiéoi'èinv.

La fmictimi

„ . „i „ n— II

x-i-Ax ^ -t- Bx -!-....-(-——,

depuiti x=. — h jusqu'à x=-i-li, nepeutresternmnériquementaudessoîis de

[4±yiMrp](A)°-',

OÙ l'on prend le radical avec le signe contraire à celui de A.

Tlicorèiiic.

La fonction