PAR M. VINCENT-AUGUSTIN FRIBAULT

Toutes les sciences sont Touvrage de Tesprit humain travaillant sur certaines données, à Faide de certains principes , suivant certaines méthodes , avec telle ou telle de ses facultés et de leurs lois ; examiner les données que peut supposer une science , les principes sur lesquels elle repose, les méthodes qu'elle suit, les facultés et les lois de Fesprit qui peuvent concourir à sa formation , c'est faire sa métaphysique.

Cela posé, il me sera facile de déterminer tout ce que peut et doit comprendre une dissertation sur la métaphysique de la géométrie.

Qu'est-ce que la géométrie? C'est une science qui a pour objet la mesure de l'étendue. Chaque proposition géométrique n'est auU^ chose que Fexpression d'une propriété de l'étendue; la géométrie suppose donc d'abord la conception de l'étendue. Mais ce n'est point seulement telle ou telle étendue que le géomètre considère , c'est toutes les étendues réelles et possibles qu'il est donné à Fintelligence de concevoir dans l'espace ; le géomètre doit donc admettre non-seulement Fétendue, mais encore Fespace; il doit admettre non-seulement un espace déterminé qui renferme un corps donné , mais encore un espace infini qui contienne tous les corps réels et possibles. Otez la conception de Fétendue , toute la géométrie est renversée; ôtez la conception de Fespace, toute hi géométrie n'est plus que la réunion des propriétés de certaines grandeurs renfermées dans des espaces déterminés, et non ce qu'elle est réellement, c'està-dire , l'ensemble des propriétés de toutes les grandeurs réelles et possibles; les conceptions d'étendue et d'espace peuvent donc être regardées comme les données géométriques, données sans lesquelles la géométrie ne saurait exister, et l'examen de ces données doit être la première partie de cette dissertation.

Après Fexamen de ces données, vient naturellement celui des principes sur lesquels repose la géomé-

trie. Il faut distinguer deux sortes de principes géométriques qui ont été trop souvent confondus, les uns improductifs , les autres productifs ; les uns desquels on ne tire aucun résultat , mais sans lesquds tout résultat serait impossible à obtenir ; les autres , au contraire , qui renferment en eux toute la géométrie ; les premiers sont les axiomes ; les seconds ]M)nt les définitions. Qu'on passe en revue tous les théorèmes de la géométrie , On se convaincra facilement que les axiomes et les définitions jouent toujours le rôle que nous venons d'indiquer ici ; on verra que la géométrie, quoique sans les axiomes elle ne puisse exister, n'est pas cependant bornée aux axiomes; on verra en même temps que le géomètre, quoiqu'il ne puisse rien tirer des axiomes, ne pourrait, sans eux , obtenir aucun résultat ; on verra enfin que la géométrie tout entière sort des définitions avec le secours des axiomes.

Après avoir examiné les principes d'une science, il est naturel de passer aux méUiodes avec lesquelles Fintelligence humaine tire cette science des principes qui la renferment. Il existe diverses méthodes suivies par les géomètres, soit pour la solution des problèmes, soit pour la démonstration des théorèmes, et l'examen des définitions et des axiomes doit être suivi de l'énumération et de la description de ces méthodes.

Enfin, une fois les méthodes géométriques énnmérées et décrites , il restera à reconnaître toutes les facultés et les lois de Fintelligence qui peuvent concourir à la formation de la géométrie, tant celles qui peuvent être nécessaires pour l'établissement des principes que celles dont les méthodes ne sont , en quelque sorte , que les divers modes d'exercice.

Ainsi :

i^ L'examen des conceptions d'étendue et d'espace, données géométriques ;

SUR LA MÉTAPHYSIQUE DE LA GÉOMÉTRIE

â<^ L'examen des axiomes, principes sans lesquels ne peut exister la géométrie ;

^^ L'examen des définitions, principes desquels se Ure toute la géométrie ;

4* L'examen des méthodes que suivent les géomètres;

5® L'examen des facultés et des lois de Tesprit qui peuvent concourir à la formation de la géométrie.

Tels sont, à ce qu'il me semble , tous les objets que peut et doit embrasser une dissertation sur. la métaphysique de la géométrie.

Je n'entreprendrai point de passer tous ces objets eo revue ; ni mon temps , ni mes forces , ni les bonies de cette thèse ne me le permettent : je laisserai entièrement de c6té la quatrième et la cinquième partie, en je ne résoudrai point toutes les questions que peuvent offrir les trois premières.

On a souvent agité et Ton agite encore cette question : Quelle est la part de l'expérience dans les connaissances humaines? Suivant les uns, toutes nos connaissances dérivent de l'expérience sensible; toutes nos connaissances ont été primitivement des notions individuelles sensibles, et elles ne sont autre diose que les résultats de l'abstraction et de la généralisation opérant sur ces notions ; suivant les autres , il n'est point , il est vrai , de connaissances que l'esprit puisse acquérir indépendamment de toute expérience ; mais il y a des connaissances que l'expérience seule ne saurait engendrer.

A laquelle de ces deux philosophies la géométrie esl-elle favorable? Les données et les principes de la géométrie peuvent-ils être dérivés de l'expérience seule , ou , s'ils ne sont pas empiriques , l'intelligence humaine pourrait-elle cependant les posséder sans le secours de l'expérience ? Enfin , quelle est la part de Texpérience dans la géométrie? Telle est la question que mon intention est surtout de résoudre.

11 est une autre question célèbre que l'examen des axiomes me fournira l'occasion de rencontrer, mais à laquelle je m'arrêterai peu , c'est celle de l'identité de nos connaissances. Les uns veulent que toutes les propositions soient identiques; les autres admettent des propositions non identiques ; il n'y a point un jugement, suivant les premiers, qui ne soit soumis à la loi d'identité ; il y a , suivant les seconds , des jugements soumisà cette loi et des jugements qui ne lui sont point soumis. Je pourrais discuter à fond cette question à l'occasion des axiomes géométriques, mais j'aime mieux n'en parler qu'en passant pour traiter dans toute son étendue la question que j'ai énoncée plus haut; savoir : Quelle est la part de l'expérience dans hk géométrie?

J'indiquerai toutes les questions que peutoffiir mon snjet et que je ne résoudrai pas , suivant qu'elles se

présenteront à la place qu'elles doivent occuper dans cette dissertation.

DONNÉES GÉOMÉTRIQUES OU CONCEPTIONS DE l'ÉTENDUE ET DE l'espace.

Les conceptions de l'étendue et de l'espace peuvent être examinées , comme toutes lès connaissances humaines, ou dans le sujet qui les possède, ou relativement à leur objet.

Si on les envisage sous le premier point de vue , on peut se demander : Quels sont leurs caractères actuels , et quelle est leur origine ? Si on les envisage sous le deuxième point de vue , on recherche si leurs objets ont une existence réelle , si nous passons légitimement de la connaissance à l'existence, si nous avons raison de croire aux choses auxquelles nous croyons.

Ainsi, quels sont les caractères actuels des conceptions d'étendue et d'espace?

Quels ont été leurs caractères primitifs ?

Avons-nous raison de croire à l'étendue et à l'espace auxquels nous croyons ?

Telles sont les trois questions que présente l'examen des conceptions de l'étendue et de l'espace.

Je laisserai de c^té la troisième pour rechercher les caractères actuels , et surtout les caractères primitifs , d'abord de la conception d'étendue , ensuite de la conception d'espace.

Je rechercherai les caractères actuels de chaque conception avant de rechercher leurs caractères primitifs ; il me semble plus prudent de constater l'actuel avant de rechercher le primitif, que de rechercher le primitif avant d'avoir constaté l'actuel. En effet, qu'on veuille d'abord rechercher le primitif, on sera forcé de faire une hypothèse, et lorsque, partant de cette hypothèse , on essayera de reproduire l'actuel, on sera forcé d'en faire une seconde pour confirmer la première, de sorte que l'actuel et le primitif pourront être à la fois hypothétiques. Qu'on commence au contraire par rechercher l'actuel, on n'aura point d'hypothèse à faire, on aura des faits à observer; lorsqu'on aura découvert tous les caractères dont sont marquées actuellement ies connaissances humaines, il sera plus facile de découvrir ceux dont elles étaient marquées primitivement; et , dans le cas où le primitif ne pourra être découvert, l'actuel du moins restera tout entier.

Conception de Vétendue,

Il n'est personne aujourd'hui qui ne croie à certaines qualités des objets externes ; savoir : l'étendue et la figure ; ce n'est point une croyance nécessaire , mais une croyance naturelle , une croyance irrésistible, telle que la croyance à la stabilité des lois de la nature, etc.

FRAGMENTS PHILOSOPHIQUES

Tels soDt les caractères actneb de la croyance à Téiendae; quels ont été ses caractères primitife? Peut-^lle dériver logiquement de rexpériencc sensible ou non?

Ayant de répondre à cette question, avant de rechercher comment peut naître en nous la conception d'une qualité des objets extames , il est une autre question à résoudre : Comment atteignons-nous ces objets externes eux-mêmes? Comment sortons-nous de nous-mêmes? Entre nous et le monde extérieur est un intervalle immense ; et, si Ton admet le monde extérieur, il faut Tavoir obtenu d'une manière rigoureuse.

Avant de rechercher Torigine de la conception d'étendue , cherchons ce qui nous fait sortir de nousmêmes , et , pour mieux le découvrir , concevons un instant séparées notre intelligence et notre sensibilité, et nous serons ainsi à même de reconnaître jusqu'où va la puissance de chacune d'elles.

Je me suppose donc encore non sorti de moi-même dépour\ u de toute faculté et de toute loi intellectuelle, sans autre faculté que la sensibilité , c'esl-Â-dire la capacité interne de sentir.

Autour de moi sont placés des corps dont j'ignore Texistence ; je suis muni d'organes sensibles qui me sont aussi inconnus; dans cet état, que pourrai-je connaître? Quelle chose existera pour moi? Sortirai-je de moi-même?

En présence de tous les corps , à l'aide de tous les organes sensibles , de la vue et du tact , comme de l'ouïe, de l'odorat et du goût, ma sensibilité éprouvera mille et mille modifications qui non-seulement ne me feront pas sortir de moHnême , mais qui me seront même inconnues ; je ne pourrai point connaître les modifications de ma sensibilité , puisque je ne connaîtrai point ma sensibilité elle-même , dépourvu , comme je suppose que je le suis , de toute faculté de connaître , et par conséquent de la conscience.

Il n'existera donc rien pour moi , réduit à la sensibilité. A la sensibilité je joins la conscience ; que connaltrai-je alors?

Aussitôt que la conscience sera réunie à la sensibilité, toutes mes modifications internes, qui tout à l'heure m'étaient cachées , m'apparaltront marquées chacune de leurs caractères divers , les unes douces et agréables, les autres fortes et pénibles. En un mot, doué non-seulement de la sensibilité , mais encore de la conscience , je saurai tout ce qui se passera en moi.

De ce que je saurai tout ce qui se passera en moi , serai-je forcé de concevoir quelque chose hors de moi? Percevant ces modifications internes , sortirai-je de moi-même? Je ne le crois pas; je ne crois pas que mes modifications toutes seules puissent m'apprendre qu'elles ont été produites par certains objets et que ces

objets sont hors de moi. Pour que mes modifications me fissent concevoir des objets externes, il faudrait qu'à tout fait je dusse concevoir une cause ; or , dans l'état où je suis par hypothèse , un fait pour moi n'appelle point sa cause; je ne sais pas ce que c'est qu'une cause ; il se passe en moi certains faits , ma conscience les aperçoit , il n'y a rien de plus pour moi.

Ainsi , pourvu seulement de la sensibilité et de la conscience, je n'atteindrai point le non-moi ; pour cela il faudrait l'intervention d'une loi nécessaire de l'intelligence , la loi de causalité. Je suppose la loi de causalité réunie à la sensibilité et k la conscience , et je vais atteindre le non-moi.

La sensibilité éprouve une modification , ma conscience me l'atteste ; je crois que cette modification a une cause , car je suis soumis à la loi de causalité ; je suis certain que je ne suis pas cette cause, ma conscience me l'atteste; donc cette cause est hors de moi.

1^ loi de causalité m'a donc révélé le non-moi ; cette loi me force de concevoir des causes externes à mes modifications internes, que je n'ai pas causées moimême. Quelles sont ces causes? Quelle est leur nature? Quelles sont leurs propriétés? Leurs propriétés peuven^elles m'être révélées par la loi de causalité ? Pour répondre à cette question, il faut d'abord déterminer ce que signifie ce mot propriétéi. On a rangé en deux classes toutes les propriétés des objets externes; on a distingué certaines propriétés h l'existence desquelles nous croyons , mais qui nous sont entièrement inconnues , telles sont l'odeur , la saveur , la chaleur et certaines autres que non -seulement nous croyons exister, mais encore que nous connaissons : telles sont l'étendue , la figure , etc. ; les unes ont été appelées qualités premières , et les autres qisalUés secondes. Si , dans la question qui a été posée plus haut, il s^agît des qualités secondes , la loi de causalité me les révélera ; s'il s'agit, au contraire , des qualités premières , la loi de causalité ne me les révélera pas.

Aussitôt que ma sensibilité éprouve quelques modifications et que la loi de causalité me force de leur eoncevmr des causes externes , les caractères divers dont elles sont marquées me forcent d'attribuer aux causes que je leur conçois des propriétés diverses qui correspondent à ces caractères ; ainsi je conçois hors de moi des causes odorantes, savoureuses , chaudes, elc.« qui fassent naître en moi les modifications diverses que nous avons appelées sensations d'odeur , de saveur, de chaleur; mais toutesces causes odcnrantes, savoureuses, chaudes, sont^Ues matériellesouimmatérielles? sontrce des esprits ou des corps? Je ne puis le savoir; il n*est aucune sensation qui me force de concevoir une cause étendue et figurée ; ce qui pourra paraître évident k

SUR LÀ MÉTAPHYSIQUE DE LA GÉOMÉTHIE

Ii7

celui qui considérera atteniivemeot jatqa*où va la poi^ sance de chacan de nos sens»

El d'abiml, il y a trois sens , savràr : Todorat, le goût et rouie , qui sont regardés par tous les pbilosophes comme incapables de nous faire sortir de nousmêmes.

On a souvent recherché si la vue , sans le secours du toucher, pouvait atteindre les objets externes. On a fait beaucoup d'expériences dont les résultats n*offrent rien de ppsitif , et Fopinion qui a [Hrévalu jusqu'à ce jour en Europe est que la vue sans le toucher ne saurait atteindre retendue.

Cest au toucher que presque tous les philosophes attribuent la puissance d'atteindre l'étendue. Cela étant , nous devons soumettre ce sens à l'analyse la plus sévère , afin de bien voir s'il a réellement plus de puissance que les autres, ou si au contraire, comme nous l'avons dit, il n'est aucune sensation qui puisse nous révéler une cause étendue.

Je possède maintenant la conscience , la sensibilité et la loi de causalité ; je sais qu'il existe un non-moi dont j'ignore la nature ; dans cet état , je touche un corps ; que se passe-t-il en moi ? Ma sensibilité éprouve une sensation de résistance que ma conscience perçoit , et la loi de causalité me force de concevoir à one modification interne une cause externe résistante; je touche de nouveau un corps , nouvelle sensation de rétislance aperçue par ma conscience, nouvelle cause résistante conçue hors de moi ; enfin, autant de corps je toucherai , autant de sensations de résistance j'éprouverai , autant de causes résistantes je concevrai : mais ces causes résistantes seront-elles liées entre dies? me parât iront-elles agrégées les unes aux autres? de ce que j'aurai la notion de plusieurs causes résistantes, s'ensuivra-t-il que je croirai h leur continuité? en un mot aurai-je atteint l'étendue ? car l'étendue n*est antre chose qu'une continuité de causes résistantes ; je ne le crois pas. Qu'on ne dise pas que mon organe est divisé, que je touche une étendue divisible d'abord avec un doigt , puis avec un second , puis avec un troisième , et que je parcours ainsi successivement tous les points de l'étendue : je ne sais ni la nature ni l'existence de mon organe ; je ne distingue pas un doigt, je ne sais pas que j'en ai. Qu'on ne dise pas avec on philosophe de nos jours (M. de Tracy ) , que la notion d'étendue est imphquée dans la sensation de rérâtance ; oui, sans doute, la notion d'étendue étant acquise, toute cause résistante est pour nous étendue; mais la question est de savoir comment nous acquérons la notion d'étendue ; et pour arriver à voir comment une notion naît en nous, il ne faut pas la supposer acquise.

Pour moi ,''je pense que la sensation de résistance ne peut pas plus que lei autres sensations; je pense que tous les sens ont été doués d'une puissance égale;

que tous les sens, sans la loi de causalité , ne peuvent nous conduire hors de nous-mêmes ; que tous les sens, avec la loi de causalité, nous révèlent des causes externes ; et qu'aucun d'eux n'atteindrait l'étendue sans l'intervention d'un nouveau principe de notre nature.

Quel est donc ce nouveau principe de notre nature qui ajoutera à la notion des causes externes que nous possédons, la notion de causes continues? C'est un principe qui n'est ni contingent , ni nécessaire , que nous pourrons appeler perception , avec Reid , dont nous n'adoptons pas du reste entièrement les opinions sur la matière qui nous occupe. Ce principe n'est point nécessaire , en ce que , sans certaines conditions contingentes, il n'a point d'application possible : ce principe n'est pas entièrement contingent, en ce que, certaines conditions admises , il ne peut pas ne pas s'appliquer. Enlevez les sens et la matière , le principe de perception périt ; mais supposez que nous éprouvions des sensations de résistance et que la loi de causalité nous force de concevoir hors de nous des causes résistantes, le principe de perception s'ajoutant à cette loi , nous force de concevoir des causes continues.

Ainsi , pour me résumer en peu de mots , muni de la seule sensibilité , je ne connaîtrai absolument rien; muni de la sensibilité et de la conscience, je ne connaîtrai que les modifications de ma sensibilité ; muni de la sensibilité , de la conscience et de la loi de causalité , non-seulement j'atteindrai mes modifications internes, mais encore je croirai k des causes externes; muni de la sensibilité , de la conscience , de la loi de causalité et de la perception, non-seulement j'atteindrai des causes externes , mais encore je croirai à des causes étendues.

Que conclure de tout cela relativement à l'origine de la croyance à l'étendue?

L'étendue ne nous est point donnée par l'expérience ; car, qu'on suppose les sens dépourvus de tout principe intellectuel , ils n'atteindront ni le non-moi, ni le nan^ moi étendu. D'autre part , sans le secours de l'expérience, l'étendue ne pourrait nous être connue ; car, supposez l'absence de toutes sensations , il n'y a plus d'application possible ni du principe de causalité ni du principe de perception. Ainsi l'expérience, tout impuissante qu'elle est pour nous révéler l'étendue , est cependant nécessaire pour que l'étendue nous soit révélée ; et pour être exact, il faut dire que l'étendue nous est révélée par un principe de notre nature 4 l'occasion de l'expérience.

Conception éC espace.

Il n'est personne, ce me semble , qui s'obaervant avec bonne foi , dans le silence des préjugés et des passions , ne retrouve en lui la croyance à un espace , un, infini, immense, qui n'est |)as la somme de tous

FRAGMENTS PHILOSOPHIQUES

les espaces détermioés , mais qui les renferme et les dépasse tous; c'est une croyance nécessaire, absolue, universelle.

Tels sont les caractères actuels de la croyance à Tespace. Quelle est son origine? par cela qu'elle est nécessaire , elle ne saurait être tirée logiquement de Texpérience ; Texpérience ne nous offre que des faits contbgents ; toutes les facultés travaillant sur Texpérience , ne peuvent tirer d'elle que ce qu'elle contient, c'est-à-dire le contingent ; ainsi l'expérience ne pourra jamais engendrer une connaissance nécessaire.

L'intelligence cependant, toute expérience détruite, pourraitrclle posséder la croyance à l'espace? je ne le crois pas. Supposez toute expérience détruite, supposez que l'étendue ne nous ait jamais été révélée par le principe de perception à l'occasion de l'expérience, concevrons-nous jamais un espace qui renferme dans son sein toutes les étendues déterminées?

Si l'expérience ne peut point engendrer la croyance à l'espace, et que cependant, toute expérience détruite , celte croyance ne puisse exister dans l'intelligence humaine , comment l'espace nous est-il révélé avec le secours de l'expérience? Pour répondre à cette question , il faut d'abord supposer une loi nécessaire de notre nature , en vertu de laquelle nous ne pouvons concevoir un corps qui ne soit dans un lieu, loi à laquelle est soumis tout être intelligent primitivement comme actuellement , qu'il la connaisse ou qu'il ne la connaisse pas ; loi qui sans doute ne saurait exister pour l'intelligence , toute expérience détruite , mais aussi que l'expérience ne saurait engendrer ; loi qui a sans doute un primitif psychologique , mais qui ne saurait avoir un primitif logique. La question à résoudre est donc celle-ci : Quel est le primitif psychologique de la loi de l'espace? Il suffit d'un fait individuel, que je vais décrire, pour expliquer comment la loi nécessaire de l'espace se développe dans notre intelligence.

Je suppose que mon intelligence ne possède pas encore la loi de l'espace; je suis soumis à cette loi , sans le savoir : alors j'ai la notion d'un corps. Soumis à la loi de l'espace qui me gouverne à mon insu et lui obéissant instinctivement, je conçois ce corps dans un lieu déterminé , et je conçois en même temps un rapport entre ce corps et ce lieu , de telle sorte qu'il existe alors sous l'œil de ma conscience un fait individuel double, qui peut se résoudre en deux éléments trèfrdistincts, savoir : la notion d'un corps déterminé, et la notion d'un lieu déterminé ; plus , la notion du rapport du lieu contenant au corps contenu. La première partie de ce fait est entièrement individuelle et contingente ; elle peut varier avec ses deux élémenls : la seconde , au contraire , tout individuelle et toute contingente qu'elle nous apparaisse, réunie à la première,

n'est cependant de sa nature ni individuelle ni contingente ; et si je fais abstraction de l'individuel du corps et du lieu, il restera dans mon intelligence le rapport de corps à lieu, lequel ne m'apparattra plus contingent et individuel , mais nécessaire et universel.

Or, dès que le fait double apparaît à ma conscience, je ne suis pas libre de faire ou de ne pas faire abstraction de sa partie individuelle ; cette partie s'abstrait d'elle-même, indépendamment de ma volonté, et j'ai la notion du rapport nécessaire, universel, absolu de corps à lieu. Aussitôt que cette notion m'apparatt , je ne puis m'empêcher de l'appliquer à tous les cas possibles , et je possède le principe nécessaire de l'espace : Tout corps est dans un lieu.

Tel est le fait individuel à l'occasion duquel il me semble que le principe de l'espace peut se développer dans notre intelligence. Je vais maintenant essayer de montrer que la conception de l'espace est une application de ce principe , et que le principe de l'espace nous conduit à l'espace infini , comme le principe de causalité nous conduit à la cause première, comme le principe du temps nous conduit à la durée éternelle.

Dès que je possède la notion d'un corps déterminé, je conçois ce corps dans un lieu qui le contient, et, ce corps supposé détruit, la conception du lieu qui le contenait reste dans mon intelligence : ceci est une conséquence du principe de l'espace ; ce lieu , je ne puis pas ne pas le concevoir lui-même dans un autre lieu capable de le contenir, et dont la conception restera dans mon esprit, si ce premier lieu est supposé détruit. Ce second lieu , je le concevrai dans un troisième plus vaste, lequel je concevrai dans un quatrième plus vaste encore, et ainsi de suite ; de sorte qu'à mesure que je m'éloignerai du corps duquel je s^rai parti , je rencontrerai toujours des lieux de plus en plus vastes ; et, comme je n'arriverai jamais à un lieu limité que mon intelligence ne conçoive pas être ren* fermé dans un lieu plus vaste , je traverserai successivement des espaces de moins en mcnns limités, jusqu'à ce que j'arrive à un espace indéfini , c'est-à-dire un espace dont je ne saisirai point les bornes , mais auquel j'en concevrai ; et enfin à un espace infini , c'est-à-dire à un espace auquel je ne pourrai point concevoir de bornes, espace qui contiendra tous les espaces limités, et au delà duquel je ne concevrai rien , parce qu'au delà de l'infini l'intelligence humaine ne peut rien con-

cevoir.

C'est ainsi, ce me semble, qu'étant posé ce principe : Tout corps est dans un lieu, l'intelligence humaine s'élève, de la notion d'une étendue limitée , par des conceptions successives d'espaces de plus en plus vastes, à un espace un , infini , immense , qui contient tous les lieux limités , tant les réels que les possibles ,

SUR LA MÉTAPHYSIQUE DE LA GÉOMÉTRIE. 139

et qui n'est lui-même contenu dans aucun. De même qu'étant posé ce principe : ToiU ce qui commence à exis- 1er a une cause ^ l'esprit humain s'élève , de la notion de certains phénomènes , par des conceptions successives de causes secondes de phis en plus puissantes , jusqu'à une cause première, étemelle, toute-puissante, qui a causé tout ce qui existe, et qui n'a point de cause au delà d'elle.

Pour me résumer sur Forigine de la croyance à l'espace, la croyance à l'espace n'est point une application primitive, immédiate, instinctive de la loi de Tespace inconnue à notre intelligence ( car il n'y a de conceptions primitives que celles qui sont individuelles et déterminées) ; elle est, au contraire , une application ultérieure , médiate , rationnelle de la loi de Tespoce possédée par notre intelligence. La loi de l'espace se développe en nous à l'occasion d'un fait individuel que j'ai décrit ; et l'intelligence , possédant cette loi, est conduite de la notion d'une étendue limitée à un espace illimité. L'expérience ne peut point engendrer la conceplion de l'espace, et supposez la loi de l'espace bannie de l'intelligence , jamais l'espace n'existera pour nous ; l'expérience cependant est nécessaire pour que l'intelligence possède la conception de l'espace ; car, supposez la notion d'étendue détruite , il n'y a point d'application possible de la loi de l'espace ; et , pour être exact, il faut dire que l'espace nous est révélé, à l'occasion de l'ei^périence , par un principe nécessaire de notre nature.

PRINGIPCS GéOMÉTBlQUES, 00 AXIOMES ET DÉFINmONS.

Axiomee.

L'examen des axiomes offre trois questions : Quel est le nombre des axiomes? Quelle est leur nature? Quelle est leur origine ?

Il est cinq axiomes avec lesquels je pense qu'on peut tirer des définitions toute la géométrie ; ce sont les suivants :

Le tout est plus grand que sa partie.

Le tout est égal à la somme de ses parties.

Deux grandeurs égales à une troisième sont égales entre elles.

Deux grandeurs équivalentes à une troisième sont équivalentes entre elles.

D'un point à un autre on ne peut mener qu'une seule ligne droite.

La question qui regarde la nature des axiomes est double ; on peut se demander s'ils sont identiques ou non identiques, nécessaires ou contingents.

Et, d'abord, les axiomes sont-ils identiques ou non identiques ?

Une proposition eMXidenlique, lorsque l'intelligence ne peut pas posséder son sujet sans posséder en même

COUSn. — TOME II.

temps son attribut ; lorsque la notion de son attribut est la notion ou une partie de la notion de son sujet ; ainsi cette proposition : tous les corps sont étendus , est une proposition identique , parce que la notion d'étendue est contenue dans la notion de corps ; au contraire , une proposition est non identique, lorsque la notion de son attribut diffère totalement de celle de son sujet, lorsque le sujet et l'attribut expriment deux notions dont l'une n'est pas contenue dans l'autre ; ainsi cette proposition : Joui changemeni a une cause , est une proposition non identique , parce que la notion de cause diffère totalement de la notion de changement.

D'après ces définitions, la question de l'identité des axiomes doit être ainsi posée :

L'intelligence peut-elle posséder le sujet de chaque axiome géométrique sans posséder en même temps son attribut ? le sujet et l'attribut de chaque axiome expriment-ils deux notions dont l'une soit contenue dans l'autre ? Je pose cette question sans entreprendre de la résoudre. Je dirai seulement que j'incline à la négative, et que je ne sais pas s'il ne serait point possible de montrer que certains axiomes , tels que : Le tout est plus grand que sa partie. Deux grandeurs, etc. , ne sont point soumis à la loi d'identité.

Les axiomes géométriques sont-ils nécessaires ou contingents ?

11 est évident qu'ils sont nécessaires : il n'existe aucun cas auquel nous les concevions ne pas pouvoir s'appliquer; il n'est aucun tout que nous puissions concevoir plus petit que sa partie ou égal à elle ; il n'est aucunes grandeurs égales à une troisième que nous puissions concevoir non égales entre elles.

Je passe à la troisième question qui m'occupe particulièrement : Quelle est l'origine des axiomes ?

Par cela même que les axiomes sont nécessaires , ils ne peuvent être dérivés logiquement de l'expérience ; j'ai démontré plus haut que l'expérience ne peut engendrer aucune connaissance nécessaire.

Si les axiomes ne peuvent être dérivés logiquement de l'expérience, pourraient-ils cependant, sans le secours de l'expérience, apparaître à notre intelligence? Je ne le crois pas. Si l'expérience ne nous eât jamais fourni les notions sensibles d'un tout et d'une partie, jamais cet axiome : Le toui est plus grand que sa partie, n'eût apparu à notre intelligence.

Comment donc cet axiome peut-il apparaître à l'intelligence humaine, avec le secours de l'expérience? J'ai déjà résolu cette question , lorsque j'ai décrit le fait individuel à l'occasion duquel se développe en nous , selon moi , le principe nécessaire de l'espace ; je vais décrire de la même manière , mais en moins de mots, l'origine psychologique de ce

iSO

FRAGMENTS PHILOSOPHIQUES

principe néceessure : Le tout est plus graoc} que sa partie.

L'expérience me fournil les notions individuelles sensibles d'un tout et d'une partie ; mon intelligence > qui obéit instinctivement à toutes les lois nécessaires de sa nature qu'elle ne connaît pas , obéit alors instinctivement à noire axiome nécessaire : Le tout, etc., axiome sous l'empire duquel elle est placée et qui lui est alors inconnu, et je suis forcé de concevoir certain rapport entre le tout individuel et la partie individuelle que m'offre l'expérience. Aussitôt ma conscience perçoit un fait individuel composé de deux parties , dont l'une est empirique et l'autre absolue, savoir : un tout individuel et une partie individuelle; ensuite : un rapport entre ce tout et cette partie. Ce rapport m'apparait contingent tant qu'il reste attaché aux éléments contingents de la partie empirique du fait ; mais de sa nalure il n'est pas contingent, et , dès que le fait tombe sous ma conscience, sur-le-champ, indépendamment de ma volonté , la partie empirique du fait s'abstrait elle-même , et il reste dans mon intelligence la conception du rapport entre tout et partie , lequel rapport m'apparatt nécessaire , universel , absolu. Dès que j'ai la notion de ce rapport, je le conçois nécessairement existant entre tous les touts et toutes les parties ; je ne puis concevoir un tout plus petit que sa partie; je possède l'axiome nécessaire : Le tout est plus grand que sa partie.

Ce que je dis de cet axiome , je le dirai de tous les autres. Tous les axiomes me paraissent être des propositions nécessaires qui , par cela qu'elles sont nécessaires , ne sauraient être dérivées logiquement de l'expérience ; qui cependant , sans le secours de l'expérience, ne sauraient apparaître à l'intelligence ; qui apparaissent tous à l'intelligence, chacun à l'occasion du fait individuel double, d'un fait individuel composé de deux parties, dont l'une absolue se sépare de l'autre qui est empirique, dès que le fait apparaît à la conscience.

Une dernière observation sur les axiomes géométriques, c'est que ces axiomes ne sont pas particuliers à la géométrie ; qu'ils jouent un grand rôle dans cette science, parce qu'ils expriment des rapports entre des grandeurs , mais qu'ils peuvent trouver leur application dans d'autres sciences; qu'ils ne sont autre chose que des principes du sens commun, des principes que toutes les intelligences ne peuvent s'empêcher d'admettre , des lois nécessaires de notre nature , telles que la loi des substances , la loi de causalité , la loi du temps, la loi de l'espace, la loi morale, la loi du mérite et du démérite, et autres lois dont la réunion forme la raison universelle, absolue, nécessaire, raison qu'il faut bien distinguer de la faculté de raisonner.

DÉFlNmOlf.

De ce que j'ai avancé plus haut que les définitions sont les principes féconds de la géométrie, il ne faudrait pas conclure que toutes les définitions sont fécondes; car pour quiconque voudra parcourir les livres des géomètres, il sera évident que, s'il y a beaucoup de définitions, plus ou moins fécondes, il en est aussi quelques-unes tout à fait infécondes.

Pour me mettre plus à même de distinguer les définitions fécondes des définitions infécondes et d'assigner ensuite l'origine des notions qu'elles expriment, il me parait utile de ranger les définitions en diverses classes, suivant les notions diverses qu'elles sont destinées à exprimer.

Je rangerai en conséquence les définitions en trois classes : j'appellerai les une^ définilions élémeniaires, les autres définitions complexes^ les autres définiliom de rapport.

Quelles sont les notions exprimées par chacune de ces définitions diverses? Pour répondre à cette question d'une manière satisfaisante , il faut remonter au but de la géométrie.

La géométrie, comme je l'ai dit déjà, a pour objet la mesure de l'étendue ; or l'étendue a trois dimensions , longueur, largeur et profondeur. Si l'on considère ces trois dimensions réunies, ou deux seulement d'entre «lies , savoir : la longueur et la laideur, ou une seulement , savoir : la longueur, ou enfin si on suppose Tabsence de ces éléments, ou aura toutes les notions renfermées dans les définitions que j'ai app^ lées élémentaires, notions auxquelles on a donné les noms suivants, corps, surface, ligne, point. J'ai appelé ces définitions élémentaires, parce qu'elles expriment les notions dont la connaissance est indispensable pour l'intelligence des autres définitions.

Les géomètres considèrent les corps, les surfaces, les lignes soumises à diverses conditions, modifiées de diverses manières; ainsi ils considèrent la ligne droite et la circonférence du cercle, la surface plane, le prisme, la pyramide, la sphère, le cylindre; ce sont ces diverses espèces de lignes, de surfaces, de corps que considèrent les géomètres, dont les notions sont renfermées dans les définitions que j'ai appelées complexes, définitions que j'ai appelées ainsi parce qu'elles expriment des collections de concepts, savoir : les concepts de certains éléments, c'est-à-dire du corps, de la surface, de la ligne, et en outre les concepts des modifications diverses auxquelles ces éléments sont soumis.

Enfin les géomètres considèrent diverses espèces de rapports établis entre les diverses espèces de corps, de surfaces, de lignes. Ce sont ces divers rapports dont les notions sont contenues dans les définitions

SUR LA MÉTAPHYSIQUE DE LA GÉOMÉTRIE

de troisième classe que j*ai appelées définitions de rapports. Tous les rapports qui peuvent être établis entre les notions géométriques peuvent se ramener à quatre, savoir : les rapports d'égalité, de similitude, d^équivalence et de symétrie. Ces rapports ne peuvent pas exister entre toutes les notions géométriques; mais il n'est point de notions géométriques entre lesquelles ne puisse exister un de ces rapports au moins. Entre des lignes il peut exister le rapport d'égalité ; entre des surfaces il peut exister, outre ce premier rapport, des rapports d'équivalence ou de similitude ; entre des corps , les quatre rapports peuvent exister.

Ainsi dans la première classe de définitions que j'ai établies sont renfermées seulement quatre notions, savoir : les notions de corps, de surface, de ligne, de point.

Dans la seconde classe sont renfermées les notions des diverses espèces de corps, de surfaces , de lignes que considèrent les géomètres.

Dans la troisième , enfin , sont renfermées les notions des diverses espèces de rapports qui peuvent être établis entre les diverses espèces de corps , de surfaces, de lignes.

Quelles sont maintenant, parmi ces définitions, les fécondes et les infécondes ?

Les définitions de la première classe sont toutes infécondes ; des notions de corps, de ligne, etc. , il ne peut sortir assurément aucune proposition géométrique.

Les définitions de la troisième classe sont toutes fécondes ; ainsi, aux yeux de tous les géomètres, la définition des triangles semblables est une définition très-féconde.

Parmi les définitions de la seconde classe , il y en a de fécondes, il y en a d'infécondes.

Reste à cbercher maintenant comment sont entrées dans l'intelligence toutes les notions renfermées dans les définitions. Je les passerai en revue suivant qu^elles se rencontreront dans les classes de définitions que f ai éublies. Je commencerai par les définitions élémentaires.

Quelle est l'origine des notions de corps, de surface, de ligne, de point? Sont-elles dérivées de l'expérience sensible ou non ?

Pour résoudre cette question , il n'y a qu'à chercher ce que nous ofire l'expérience. L'expérience nous ofire des corps qui ont certaines limites au moyen desquelles nous reconnaissons leurs figures ; ces limites, qui sont des surfaces, ont elles-mêmes des limites, qui sont des lignes ; les lignes ont des limites qui sont des points. Si l'expérience nous ofire des corps existants par eux-mêmes, et des surfaces, des lignes, des points, qui, quoique non existants par eux-mêmes , existent cependant joints aux corps , il suit que les notions de corps , de surface , de ligne ,

de point , sont des notions empiriques, dont la pre* mière est une notion concrète, et les trois autres des notions abstraites.

Je viens aux définitions complexes. Quelle est l'origine des notions qu'elles renferment? Peuvent-eHes être dérivées de l'expérience?

Non , sans doute , car les objets de ces notions sont des figures régulières et parfaites , tandis que l'expérience ne nous offre que des figures grossières et imparfaites ; c'est sur des lignes tout à fait droites , des surfaces tout à fait planes , des sphères tout à fait rondes que travaille le géomètre, et nous ne trouvons dans l'expérience que des lignes à peu près droites , des surfaces à peu près planes , des sphères a peu près rondes.

Si l'expérience ne peut engendrer en nous des notions de figures parfaites, ces notions pourraient-elles cependant, sans le secours de l'expérience, exister dans Tintelligence? Je ne le pense pas. Bannissez de l'intelligence toute notion empirique des dimensions de l'étendue , l'intelligence concevra-t-elle jamais des figures étendues réguHères? Bannissez de l'intelligence toute notion empirique de ligne, de surface, de corps , l'intelligence concevra4-elle jamais des lignes droites , des plans, des polyèdres? Non certes; et toute expérience détruite , jamais des notions de figures parfaites n'existeront dans l'intelligence.

Que si l'expérience ne peut engendrer ces notions dont nous cherchons l'origine, et que cependant, sans l'expérience, elles ne puissent exister dans l'intelligence, comment l'esprit humain a-t-il pu acquérir ces notions avec le secours de l'expérience?

Si le temps me l'eût permis , j'aurais passé en revue toutes les figures régulières , soit surfaces , soit corps , soit lignes , sur lesquelles travaille le géomètre , et j'aurais tenté d'indiquer l'origine des notions de chacune d'elles ; mais ce sera assez pour moi d'énoncer mon opinion.

Je pense que , parmi les figures sur lesquelles travaille le géomètre , il en est qui ont été conçues nécessairement par l'intelligence à l'occasion de figures imparfaites offertes par Texpérience, et qu'il en est aussi qui sont l'ouvrage arbitraire des géomètres combinant à leur gré certains éléments.

Je placerais dans la première classe les notions de ligne droite , d'angle , de circonférence , de cercle , de plan , de prisme , de cylindre , etc.

Je placerais dans la deuxième classe les notions de toutes les figures inscrites et circonscrites; des angles ; des triangles et polygones inscrits dans les cercles ; des prismes inscrits dans des cercles , dans des cylindres ; des pyramides inscrites dans des cônes , et beaucoup d'autres notions encore.

Ainsi , je mettrais en avant que la notion de ligne

FRAGMENTS PHILOSOPHIQUES

droite est entrée nécessairement dans i'inteHigence da géomètre, à loccasion d*une ligne presque droite offerte par Texpérience. Comment autrement Tintelligencedu géomètre aurait-elle pu acquérir cette notion? Est-ce qu'elle aurait été formée par le géomètre combinant à son gré divers éléments? Seraient-ce les notions de point et de plus court chemin? Mais la notion de ligne droite peut exister dans rintelligence sans la notion de plus court chemin ; la définition ordinaire de la ligne droite n'est pas satisfaisante ; tous les géomètres en couTiennent. L'opinion que j'ai énoncée me parait la plus vraisemblable.

Ce que je dis de la ligne droite , je le dirais du plan, de l'angle, de la ligne perpendiculaire, des lignes parallèles, du cercle, du cylindre, du cône, de la sphère , etc.

Ainsi, je dirais que la notion de surface plane s'est présentée à l'intelligence du géomètre , à l'occasion d'une surface presque plane ofierle par l'expérience ; je dirais qu'à la vue d'un cercle grossier, imparfait, offert par l'expérience , le vrai géomètre a placé surle-champ un point au milieu du cercle, et qu'il a conçu immédiatement l'égalité de toutes les distances du point central aux points de la courbe.

Je ne parlerais pas de la même manière des figures inscriteset circonscrites et de beaucoup d'autres figures ; je croirais, au contraire , que les géomètres, après avoir conçu, à l'occasion de l'expérience, des angles et des cercles , des prismes et des cylindres , des pyramides et des cônes , ont inscrit à leur gré des angles dans des cercles , des prismes dans des cylindres , des pyramides dans les cônes ; il me serait facile de citer beaucoup d'antres figures formées par les géomètres combinant k leur gré certains éléments.

J'arrive aux notions de rapports , desquelles je ne dirai qu'un root. Nul doute que ces notions ne sont point empiriques, puisque l'expérience n'offre rien de parfait et que c'est sur des rapports parfaits que travaille le géomètre ; nul doute non plus que ces notions ne pourraient point exister dans l'intelligence , toute expérience détruite; bannissez de l'esprit humain toute notion d'égalité ou de similitude imparfaite, l'esprit humain concevra-t-il jamais l'égalité ou la similitude parfaite? L'on pont donc dire avec vérité que sans Inexpérience ou avec l'expérience seule , les notions des rapports géométriques ne peuvent être acquises par l'intelligence.

Pour ce qui regarde les définitions , je conclus que, parmi les notions qu'elles renferment, les unes , mais en petit nombre, sont empiriques; que les autres en plus grand nombre ne sauraient exister pour l'esprit, toute expérience détruite , mais que cependant Texpérience seule ne saurait les engendrer. Les notions empiriques sont renfermées dans les définitions élémen-

taires; ce sont les notions de corps, de surface, de ligne , de point ; les notions non empiriques sont renfermées dans les déônitions complexes et les définitions de rapports.

Ce serait ici le lieu d'énumérer et de décrire 1^ les méthodes géométriques ; ^ les facultés et les lois de l'esprit qui peuvent concourir à la formation de la géométrie ; mais j'ai déjà dit plus haut que je ne traiterais pas ces deux points.

CONCLUStON.

Nous avons passé en revue i<* les données géométriques, c'est-à-dire les conceptions d'étendue et d'espace ; 2" les principes géométriques , c'est-à-dire les axiomes et les définitions.

Nous avons vu 1^ que les conceptions d'étendue et d'espace et les axiomes ne pouvaient point exister pour l'esprit , toute expérience détruite , mais qu'ils ne pouvaient être dérivés logiquement de l'expérience ; ^^ que , parmi les notions renfermées dans les définitions , les unes sont empiriques et les autres non empiriques; que ces dernières ne pourraient point exister pour l'esprit, toute expérience détruite, mais que l'expérience est impuissante pour les en^ gendrer.

De tout cela on peut conclure , ce me semble , que la géométrie n'est point favorable à la philosophie empirique , et qu'elle ne contrarie en rien au contraire cette autre philosophie qui admet que certaines connaissances peuvent être engendrées par l'expérience, mais qui prétend aussi que l'expérience seule ne saurait engendrer toutes les connaissances, quoique, toute expérience détruite, il ne peut exister pour l'intelligence aucune connaissance.

Sans doute, avant toute expérience, il ne peut exister aucune connaissance dans l'intelligence humaine ; ou du moins c'est une chose que , dans notre état actuel , nous ne saurions concevoir ; mais, de ce que Texpérience est indispensable pour qu'une connaissance, quelle qu'elle soit, existe dans l'intelligence, s'ensuit-il que toutes nos connaissances sont engendrées par l'expérience seule? De ce que, l'expérience détruite , le nécessaire comme le contingent ne peut exister pour nous , s'ensuit-il que le nécessaire dérive de l'expérience conmie le contingent? Non. Jamais on ne pourra faire sortir le nécessaire de l'expérience : or, si le nécessaire ne peut être dérivé de l'expérience, et que néanmoins , avant l'expérience , il ne puisse exister pour l'intelligence, quelle est donc son origine ? Comment cette origine diflère-t-elle de celle du contingent ?

J'ai déjà décrit plus haut l'origine de deux principes nécessaires , savoir : Tout corps est dam un lieu : Le tout est plus grand que sa partie. J'ai dit que le pri-